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高中数学北师大版必修4学案:1.7 正切函数 Word版含解析

§ 7 7. 1 7. 2 7. 3

正切函数 正切函数的定义

正切函数的图像与性质 正切函数的诱导公式

1.理解任意角的正切函数的定义. π ? ? 2.能画出 y=tan x?x∈R,x≠2+kπ,k∈Z?的图像.(重点) ? ? ? π π? 3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性,及其在区间?-2,2?内 ? ? 的单调性.(重点) 4.正切函数诱导公式的推导及应用.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 正切函数的定义、图像及性质

阅读教材 P36~P38“动手实践”以上部分,完成下列问题. 1.正切函数的定义 π 在直角坐标系中,如果角 α 满足:α∈R,α≠2+kπ(k∈Z),且角 α 的终边与 b 单位圆交于点 P(a,b),那么比值a叫作角 α 的正切函数,记作 y=tan α,其中 α π ∈R,α≠2+kπ(k∈Z). 2.正切线 如图 1-7-1 所示,线段 AT 为角 α 的正切线.

图 1-7-1 3.正切函数的图像与性质 图像
? ? ? ? ? π ?x?x∈R,x≠ +kπ,k∈Z ? 2 ? ? ? ? ?

定义域 值域 性 质 奇偶性 周期性 单调性 对称性

R 奇函数 周期为 kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为 π π ? π ? 在?-2+kπ,2+kπ?,k∈Z 上是增加的 ? ? ?kπ ? 该图像的对称中心为? 2 ,0?,k∈Z ? ?

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数 y=tan x 的定义域为 R.( (2)正切函数 y=tan x 的最小正周期为 π.( (3)正切函数 y=tan x 是奇函数.( ) ) ) )

(4)正切函数 y=tan x 的图像关于 x 轴对称.( 【解析】

? ? ? ? ? π (1)y=tan x 的定义域为?α?x≠2+kπ,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

(2)y=tan x 的周期为 kπ(k∈Z),最小正周期为 π.
? ? ? ? ? π (3)因为 y=tan x 的定义域?x?x≠2+kπ,k∈Z ?关于原点对称,且 tan(-x) ? ? ? ? ?

=-tan x,故为奇函数. (4)由图知,正切函数图像既不关于 x 轴对称,也不关于 y 轴对称.

【答案】 教材整理 2

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

正切函数的诱导公式

阅读教材 P38~P39 例 1 以上部分,完成下列问题. 正切函数的诱导公式 角x kπ+α 2π+α -α π-α π+α π 2+α π 2-α 函数 y=tan x tan α tan α -tan α -tan α tan α -cot α cot α 函数名改变, 符号看象限 函数名不变, 符号看象限 记忆口诀

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) ?3π ? (1)tan? 2 -α?=cot α.( ? ? ) )

(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角.( (3)tan(kπ-α)=-tan α.( 【解析】 )

π ?3π ? ? ? (1)tan? 2 -α?=tan?π+2-α?= ? ? ? ?

?π ? tan?2-α?=cot α,所以(1)正确. ? ? (2)无论角 α 是哪个象限的角,诱导公式都适合,故(2)正确. (3)tan(kπ-α)=-tan α,故(3)正确. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________

解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________

[小组合作型] 利用定义求正切 值 如图 1-7-2,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P,Q 是单位圆 π 上的两点,O 是坐标原点,∠AOP=6,∠AOQ=α,α∈[0,π).

图 1-7-2 (1)若已知角 θ 的终边与 OP 所在的射线关于 x 轴对称,求 tan θ; ?3 4? (2)若已知 Q?5,5?,试求 tan α. ? ? 【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后,利用正切函数的定义求解. 【自主解答】 ? 3 1? P? , ?, ? 2 2? ? 3 1? 故 θ 的终边与单位圆交于 P′? ,- ?, 2? ?2 1 -2 3 =- 3 . 3 2 (1) ∵角 θ 的终边与 OP 所在的射线关于 x 轴对称,且

则 tan θ=

?3 4? (2)∵∠AOQ=α 且 Q?5,5?, ? ?

4 5 4 ∴tan α=3=3. 5

b 1.解决本题的关键是熟记正切函数的定义,即 tan α=a. 2.已知角终边上的一点 M(a,b)(a≠0),求该角的正切函数值,或者已知角 α 的正切值,求角 α 终边上一点的坐标,都应紧扣正切函数的定义求解,在解题 过程中,应注意分子、分母的位置. sin α 3.tan α=cos α知其中两个,可求另一个.

[再练一题] 3 1.角 α 的终边经过点 P(-b,4)且 cos α=-5,求 tan α 的值. 【导学号:66470022】 【解】 由题意知 cos α= -b 3 3 3.又 cos α=-5<0, 2 2=-5,∴b=± b +4

∴P 在第二象限,∴b=3. 4 ∴tan α=-3.

利用诱导公式求值或化 简 ? 3π ? sin?π+α?· cos?π-α?· tan?- 2 -α? ? ? (1)化简: ; π 3π ? ? ? ? + α + α ? ? ? ? tan 2 · cos 2 ? ? ? ? 3π 2π tan 4 -tan 3

(2)求值:

. ? 4π? ? π? 1+tan?- 3 ?· tan?-4? ? ? ? ?

【精彩点拨】 解答本题可依据先用周期性或关于-α 的诱导公式,把角绝 对值“化小”,再利用恰当的公式化简.

【自主解答】

(1)原式=

?π ? ?-sin α?· ?-cos α?· tan?2-α? ? ? ?-cot α?· sin α = sin αcos α· cot α =-cos α. ?-cot α?· sin α

π? π? ? ? tan?2π-4?-tan?π-3? ? ? ? ? (2)原式= π? π ? 1+tan?π+3?tan 4 ? ? π π -tan4+tan3 3-1 = = =2- 3. π 3+1 1+tan3

在使用诱导公式化简时, 一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判 断角所在象限. 一般地, 我们将 α 看作锐角(实质上是任意角), 那么 π-α, π+α, π π 2π-α,2+α,2-α 分别是第二、三、四、二、一象限的角.

[再练一题] 2.(1)化简: tan?540° -α?tan?α-270° ?tan?α+180° ? ; tan?α-180° ?tan?810° +α?tan?-α-360° ?

cos?α+π?sin2?3π+α? (2)若 a= ,求 a2+a+1 的值. tan?4π+α?tan?π+α?cos3?-α-π? 【解】 = (1) tan?540° -α?tan?α-270° ?tan?α+180° ? tan?α-180° ?tan?810° +α?tan?-α-360° ?

tan?-α?tan?α-90° ?tan α ?-tan α??-cot α?tan α = tan αtan?90° +α?tan?-α? tan α?-cot α??-tan α?

tan α· cot α· tan α =tan α· cot α· tan α=1. cos?α+π?sin2?3π+α? (2)a= tan?4π+α?tan?π+α?cos3?-α-π? = ?-cos α?sin2α -cos α· sin2α = tan α· tan α?-cos3α? sin α sin α ?-cos3α? cos α· cos α·

-cos3αsin2α = 2 =1, sin α?-cos3α? ∴a2+a+1=1+1+1=3.

正切函数的图像及应 用 利用正切函数的图像作出 y=|tan x|的图像,并写出使 y= 3的 x 的 集合. 【精彩点拨】 【自主解答】 先化成分段函数,再借助正切函数的图像作图. π ? ? ∵当 x∈?kπ-2,kπ?时,y=tan x≤0, ? ?

π? ? 当 x∈?kπ,kπ+2?时,y=tan x>0, ? ? π ? ? kπ-2,kπ?k∈Z, ? ?-tan x,x∈? ? ? ∴y=|tan x|=? π? ?kπ,kπ+2?,k∈Z. ?tan x,x∈? ? ? ? 如图所示.

? ? ? ? ? π 使 y= 3的 x 的集合为?x?x=kπ±3,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

1.三点两线画图法 π π ? π ? ?π ? “三点”是指?-4,-1?,(0,0),?4,1?;“两线”是指 x=-2和 x=2.在 ? ? ? ? ? π π? 三点、两线确定的情况下,类似于五点法作图,可大致画出正切函数在?-2,2? ? ? 上的简图,然后向右、向左扩展即可得到正切曲线. 2.如果由 y=f(x)的图像得到 y=f(|x|)及 y=|f(x)|的图像,可利用图像中的对 称变换法完成;即只需作出 y=f(x)(x≥0)的图像,令其关于 y 轴对称便可以得到

y=f(|x|)(x≤0)的图像;同理只要作出 y=f(x)的图像,令图像“上不动下翻上”便 可得到 y=|f(x)|的图像. 3.利用函数的图像可直观地研究函数的性质,如判断奇偶性、周期性、解 三角不等式等.

[再练一题] 3.求下列函数的定义域. (1)y= 1 ; 1+tan x

(2)y= tan x+lg(1-tan x). 1+tan x≠0, ? ? (1)由? π x≠kπ+2?k∈Z?, ? ? π ? ?x≠kπ-4?k∈Z?, 得? π ?x≠kπ+2?k∈Z?, ?
?

【解】

? ? π π ∴函数的定义域为?x|x≠kπ+2且x≠kπ-4,k∈Z?. ?

(2)要使函数 y= tan x+lg(1-tan x)有意义. ?tan x≥0, π 则? ?0≤tan x<1.由正切函数的图像可得 kπ≤x<kπ+4,k∈Z.∴ ?1-tan x>0
? ? π 原函数的定义域为?x|kπ≤x<kπ+4,k∈Z?. ? ?

[探究共研型]

正切函数的性 质 探究 1 正切曲线在整个定义域上都是增加的吗? 不是,正切函数的定义域是
? ? π π? ? ? . 正切曲线在每一个开区间 ?kπ- ,kπ+ ? (k ∈ Z) 上是 2 2 ? ? ? ?

【提示】

? ? ? π ?x?x≠kπ+ ,k∈Z 2 ? ? ?

增加的,但在整个定义域上不是增加的. 探究 2 函数 y=tan x 的周期是多少?y=|tan x|的周期呢? y=tan x 的周期是 π,y=|tan x|的周期也是 π.

【提示】

探究 3

函数 y=tan x 的图像有什么特征?

π 【提示】 正切曲线是被互相平行的直线 x=kπ+2(k∈Z)所隔开的无穷支曲 线组成的,是间断的,无对称轴,只有对称中心. 已知 f(x)=-atan x(a≠0). ? π π? (1)判断 f(x)在 x∈?-3,3?上的奇偶性; ? ? (2)求 f(x)的最小正周期; (3)求 f(x)的单调区间; ?π π? (4)若 a>0,求 f(x)在?4,2?上的值域. ? ? 【精彩点拨】 的符号. 【自主解答】 ? π π? (1)∵f(x)=-atan x(a≠0),x∈?-3,3?, ? ? 通过 f(-x)与 f(x)的关系判断奇偶性,求单调区间时注意 a

∴f(-x)=-atan(-x)=atan x=-f(x). ? π π? 又定义域?-3,3?关于原点对称, ? ? ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)的最小正周期为 π. π π? ? (3)∵y=tan x 在?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)上单调递增, ? ? π π? ? ∴当 a>0 时,f(x)在?kπ-2,kπ+2?上单调递减, ? ? π π? ? 当 a<0 时,f(x)在?kπ-2,kπ+2?上单调递增. ? ? ?π π? (4)当 a>0 时,f(x)在?4,2?上单调递减, ? ? π 故 x=4时,f(x)max=-a,无最小值. ∴f(x)的值域为(-∞,-a].

1.由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像. 2.由函数的图像又可以直观地总结函数的性质.函数的主要性质包括定义

域、值域、周期性、奇偶性和单调性.

[再练一题] 4.画出函数 y=tan |x|的图像,并根据图像判断其单调区间、奇偶性. 【解】 由 y=tan |x|得,

π tan x , x ≥ 0 且 x ≠ ? ? 2+kπ?k∈Z?, y=? π ? ?-tan x,x<0且x≠2+kπ?k∈Z?. 根据 y=tan x 的图像,作出 y=tan |x|的图像如图所示:

由图像可知,函数 y=tan |x|是偶函数. π? ?π 3π ? ? 单调增区间为:?0,2?,?2+kπ, 2 +kπ?(k=0,1,2,3,?); ? ? ? ? π ? π ? ? 3π ? 单调减区间为:?-2,0?,?- 2 +kπ,-2+kπ?(k=0,-1,-2,-3,?). ? ? ? ? [构建· 体系]

5π 1.tan 6 的值为( A. 3 3 C. 3 【解析】 【答案】

) B.- 3 3 D.- 3

π? 5π π 3 ? tan 6 =tan?π-6?=-tan6=- 3 . ? ? D )
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? π? 2.函数 y=tan?x+4?的定义域是( ? ?
? ? ? π A.?x?x≠-4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? π B.?x?x≠4 ? ? ?

? ? ? π C.?x?x≠kπ-4,k∈Z ? ? ?

? ? ? π D.?x?x≠kπ+4,k∈Z ? ? ?

【解析】 【答案】

π π π 由题意得 x+4≠kπ+2,k∈Z,所以 x≠kπ+4,k∈Z. D

3.已知角 α 的终边上一点 P(-2,1),则 tan α=________. 【解析】 【答案】 由正切函数的定义知 tan α= 1 -2 1 1 =-2. -2

π? ? 4.函数 y=tan x,x∈?0,4?的值域是________. ? ?

【导学号:66470023】 π? π ? 【解析】 函数 y=tan x 在?0,4?上是增加的, 所以 ymax=tan4=1, ymin=tan ? ? 0=0. 【答案】 [0,1]

5.求以下各式的值. (1)7cos 270° +3sin 270° +tan 765° ; (2) tan 225° +tan 750° . tan?-30° ?-tan?-45° ? (1)原式=7cos(180° +90° )+3sin(180° +90° )+tan(2×360° +45° )=

【解】

-7cos 90° -3sin 90° +tan 45° =0-3×1+1=-2. (2)原式= = tan?180° +45° ?+tan?2×360° +30° ? -tan 30° +tan 45°

tan 45° +tan 30° tan 45° -tan 30°

3 1+ 3 = =2+ 3. 3 1- 3

我还有这些不足: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________


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