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四川省成都七中2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)新人教A版

成都七中 2012-2013 学年高一下学期期末考试数学试题
(特别提醒:请在答题卡上作答! ) 一、选择题(每题 5 分,共 50 分)请将选项填涂在答题卡上 1. 已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式正确的是( C ) A. a 2 ? b2 B.

1 1 ? a b

C. 2 a ? 2 b

D. ab ? b 2 故 A、B、D 都不正

确,只有 C 正确。 2.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(D )

解:依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为 A 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为 B; 若俯视图为 D,则正视图中应有虚线,故该几何体的俯视图不可能是 D 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱, 下面的几何体为正四棱柱时, 俯视图 为 C; 故选 D 3.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 2 , S4 ? 10 ,则 S6 等于(C A.12 B.18 C.24 D.42 )

4. 已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 在曲线 | x | ? | y |? 4 的内部,则半径 r 的范围是(B) A.0< r < 2 B.0< r <2 2 C.0< r <2 D.0< r <4

1

5. 如图,要测出山上石油钻井的井架 BC 的高,从山脚 A 测得 AC ? 60 m, 塔顶 B 的仰角 ? ? 45? ,塔底 C 的仰角 15? ,则井架的高 BC 为( A. 20 2 m B. 30 2 m C. 20 3 m D. 30 3 m B )

B
C

A
第 5 题图

?x ? y ≥ 0 ? 6.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?0 ≤ x ≤ 3 ?

D



A.3

B.6

C.8

D .9

2

7. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7n ? 45 ,则使得 ? Bn n?3

an 为整数的正整数 n 的个数是( D bn
A.2 B.3

) C.4 D.5

8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? (b ? c)cos C ,则△ABC 的形状是 ( A A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形



9. 已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? ay ? 1 ? 0 ,给出如下结论: ①不论 a 为何值时, l1 与 l2 都互相垂直; ②当 a 变化时, l1 与 l2 分别经过定点 A(0,1)和 B(-1,0); ③不论 a 为何值时, l1 与 l2 都关于直线 x ? y ? 0 对称; ④当 a 变化时, l1 与 l2 的交点轨迹是以 AB 为直径的圆(除去原点). 其中正确的结论有( B ). A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④

10. 在△ABC 中,E , F 分别是 AC , AB 的中点, 且 3 AB ? 2 AC , 若 最小值为(A ) A.

BE ? t 恒成立, 则t 的 CF 3 4

7 8

B.

6 7

C.

4 5

D.

3

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)请将答案填在答题卡上 11. 不等式

x?2 ≤ 0 的解集是 (?1, 2] x ?1

12. 已 知 直 线 l : ax ? (1 ? 2a) y ? 1 ? a ? 0 . 不 通 过 第 四 象 限 , 则 a 的 取 值 范 围 是

1 ? a ?1 2

.

4

13.过直线 l : y ? 2 x 上一点 P 作圆 C : x 2 ? y 2 ? 16 x ? 2 y ? 63 ? 0 的切线 l1 , l2 , 若 l1 , l2 关于直 线 l 对称,则点 P 到圆心 C 的距离为 .3 5

14. 若 方 程

x2 ?1 x ?1

? kx 有 两 个 实 数 根 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是
.

0 ? k ?1 或

1? k ? 2

15.下列命题:
5

① ?ABC 中,若 A ? B ,则 cos 2 A ? cos 2 B ; ②若 A,B,C 为 ?ABC 的三个内角,则

4 1 9 ? 的最小值为 A B?C ?

③已知 an ? sin

n? 16 19 (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 中的最小项为 ; ? 6 2 ? sin n? 3 6

④若函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,且 0 ? a ? b ? c ,则

f (a) f (b) f (c) ; ? ? a b c

⑤函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 13 的最小值为 29 . 其中所有正确命题的序号是 ②③

6

三、解答题(16—19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分)请在答题卡对应位 置规范答题. 16. {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和.若 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等差数列. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式. (Ⅱ)令 bn ? log2 a2n 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ,

17.在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a 、 b 、 c 成等比数列,

3 . 4 1 1 (Ⅰ)求 的值; ? tan A tan C 3 (Ⅱ)设 BA BC ? ,求 a 、 c 的值. 2 解: (Ⅰ) a 、 b 、 c 成等比数列,? b2 ? ac ,?sin 2 B ? sin A sin C 1 1 cos A cos C cos Asin C ? sin Acos C ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin Asin C 4 7 sin( A ? C) sin B 1 = ?????????6 分 ? ? ? 7 sin Asin C sin Asin C sin B
且 cos B ?

??2 分

7

(Ⅱ)

3 3 3 BA BC ? ,即 ac cos B ? ,而 cos B ? ,所以 ac ? 2 ①, b2 ? 2 ????8 分 2 4 2 由余弦定理,2= a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,? a 2 ? c 2 ? 5 ,②????10 分
由①②解得 a ? 1, c ? 2 或 a ? 2, c ? 1 .???12 分
2

18. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x ? (3 ? a) x ? 2(1 ? a) (其中 a ? R ). (Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? x ? 3 对任意 x ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 18 解: (Ⅰ) f ( x) ? ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] , 而 x1 ? x2 ? 2 ?1 ? a ? a ? 1 , f ( x) ? 0 等价于 ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] ? 0 ,于是 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2) 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2)

(1 ? a, ??) ;????2 分 (2, ??) ;????4 分 (2, ??) ????6 分

当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??,1 ? a) (Ⅱ)不等式 f ( x ) ? x ? 3 ,即 a ? ? 又当 x?2 时, ?

x2 ? 4 x ? 5 恒成立????8 分 x?2

x2 ? 4 x ? 5 1 = ?( x ? 2 ? ) ? ?2 ( 当 且 仅 当 x ? 3 时 取 “ = ” x?2 x?2

号). ????10 分 ? a ? ?2 ????12 分 19. 已知直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 ( a ? R ),圆 O : x ? y ? 4 . (Ⅰ)求证:直线 l 与圆 O 相交; (Ⅱ)判断直线 l 被圆 O 截得的弦何时最短?并求出最短弦的长度; (Ⅲ)如图,已知 AC、BD 为圆 O 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 2), 求四边形 ABCD 的面积的最大值.
2 2

y
D A

M
C

x
B

o

解:直线 l : y ? 2 ? a( x ? 1) ,所以直线 l 过定点 (1, 2) , 1 ? ( 2) ? 4 ,
2 2

?(1, 2) 在圆 C 内部,所以直线 l 与圆 C 相交。???3 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,直线 l 过定点 M (1, 2) ,当 l ? OM 时,弦长最短. ????4 分

? kl ? ?

1 kOM

=?

2 2 ,? a ? ? 2 2 3 ? 3 1? 2
????7 分

此时, l 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ? 所以最短弦长为: 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ? 3 ? 2

8

分 20.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?n2an ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若存在 n ? N ? ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值. 解: (Ⅰ)

n ?1 an?1 (n ? N ? ) 2

n ?1 an?1 , n ? N ? ① 2 n ?a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ? an , n ? 2 ② 2 n ?1 n 3n n ?1 ①-②: nan ? an?1 ? an ,? an ? an?1 ,????2 分 2 2 2 2 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ?

即 (n ? 1)an ?1 ? 3 ? nan ( n ? 2 ) ,又 2 a2 =2,
? n ? 2 时,数列 ?nan ? 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.

?1, n ?1 ? ?nan ? 2 ? 3n?2 (n ? 2) ,故 an ? ? 2 n ? 2 ? 3 , n ?2 ? ?n
分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 n ? 2 时, n2an ? 2n ? 3n?2 ,

.????4

?当 n ? 1 时, T1 ? 1 ;
当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ??? ? 2n ? 3n?2 ,①

3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ??? ? 2(n ? 1) ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1 ,②
①-②得, ?2Tn ? 2 ? 2(31 ? 32 ? ??? ? 3n?2 ) ? 2n ? 3n?1 = 2 ? 3 ? 3n ?1 ? 2n ? 3n ?1 = ?1 ? (1 ? 2n) ? 3n?1
9

?Tn ?

1 1 ? (n ? )3n?1 (n ? 2) ,又 T1 ? 1 也满足 2 2 1 1 ?Tn ? ? (n ? )3n?1 (n ? N ? ) 2 2

.????9 分

21. 已知定点 O ? 0,0 ? , A ? 3,0 ? ,动点 P 到定点 O 距离与到定点 A 的距离的比值是 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (Ⅱ)当 ? ? 4 时,记动点 P 的轨迹为曲线 D .

1

?

.

①若 M 是圆 E : ? x ? 2? ? ? y ? 4? ? 64 上任意一点,过 M 作曲线 D 的切线,切点是
2 2

N ,求 MN 的取值范围;

②已知 F , G 是曲线 D 上不同的两点,对于定点 Q(?3,0) ,有 QF ? QG ? 4 .试问无 论 F , G 两点的位置怎样,直线 FG 能恒和一个定圆相切吗?若能,求出这个定圆 的方程;若不能,请说明理由. 解(Ⅰ)设动点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则由 ? PO ? PA ,得 ? ( x2 ? y 2 ) ? ( x ? 3)2 ? y 2 , 整理得:

? ? ? 1? x2 ? ? ? ? 1? y2 ? 6x ? 9 ? 0 .

? ? 0, ?当 ? ? 1 时,则方程可化为: 2 x ? 3 ? 0 ,故方程表示的曲线是线段 OA 的垂直平分线;
2 ? 3 ? ? 3 ? ? 2 当 ? ? 1 时,则方程可化为 ? x ? ? ,即方程表示的曲线是以 ? ?y ?? ? ?1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? y 3 3 ? ? ? ,0 ? 为圆心, 为半径的圆. ?????5 分 ?? ? ? 1 ? ?1 ? ? 2

(Ⅱ)当 ? ? 4 时,曲线 D 的方程是 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 ,
2 2

M · E · N · DO
10

故曲线 D 表示圆,圆心是 D ? ?1,0? ,半径是 2 .

x

①由 DE ?

? 2 ? 1?

2

? ? 4 ? 0 ? ? 5 ,及 5 < 8 - 2 有:
2

两圆内含,且圆 D 在圆 E 内部.如图所示,由 MN ? MD ? DN 有: MN ? MD ? 4 , 故求 MN 的取值范围就是求 MD 的取值范围.而 D 是定点,M 是圆上的动点, 故过 D 作圆 , MD max ? 8 ? 5 ? 13 , 故 5 ≤ MN ≤ 1 6 , 8? 5 ? 3 5 E 的 直 径 , 得 MD m i ? n
2

2

2

2

2

2

5 ≤ MN ≤ 165 . ?????9 分
②解法一:设点 Q 到直线 FG 的距离为 d , ?FQG ? ? , 则由面积相等得到 QF ? QG sin? ? d FG ,且圆的半径 r ? 2 . 即d ?

4sin ? 4sin ? ? ? 1. 于是顶点 Q 到动直线 FG 的距离为定值, FG 2r sin ?

即动直线 FG 与定圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 相切.

x1 x2 ?

n2 ?1, 1 ? m2 n 2 ? 3 ?6mn ? 6 1 ? 8m 2 ? ? ? 0 ,由此可得 8m2 ? 6mn ? n 2 ? 1 , 2 2 2 1? m 1? m 1? m

所以 x1 x2 ? 3( x 1 ? x2 ) ? 8 ? 也即 (3m ? n)2 ? 1 ? m2 ,
2

3m ? n 1 ? m2
2

? 1 ????????( ※ ).

假设存在定圆 ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 ,总与直线 FG 相切,则

d?
此时

ma ? b ? n 1? m
2

是定值 r ,即 d 与 m, n 无关,与

3m ? n

? a ? ?3 , ? 1 ??( ※ )对比,有 ? 1? m ?b ? 0
2

11

12


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