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2017版高中人教A版数学必修1课时作业16 Word版含解析

课时作业(十六)
一、选择题

指数函数的图象及性质
)

1.函数 f(x)=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则有( A.a=1 或 a=2 C.a=2 B.a=1 D.a>0 且 a≠1

答案:C 解析:由 a2-3a+3=1,解得 a=1 或 a=2,又由于 a>0,且 a≠1,故 a=2.故选 C.
x ? ?2 ,x<4, 2.已知函数 f(x)=? ?f?x-1?,x≥4, ?

那么 f(5)的值为(

)

A.32 C.8

B.16 D.64

答案:C 解析:f(5)=f(5-1)=f(4)=f(4-1)=f(3)=23=8. 2x-1 3.函数 y= x 是( 2 +1 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2x-1 答案:A 解析:函数 y= x 的定义域(-∞,+∞)关于原点 2 +1 1 -1 2 -1 2x 1-2x 对称,且 f(-x)= -x = 1 = =-f(x),所以该函数是奇函 2 +1 1+2x 2x+1
-x

)

数. 4.函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a,b 均为常数,则下 列结论正确的是( )

A.a>1,b>0 B.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 答案:D
?b,a≥b, ? 5.若定义运算 f(a*b)=? 则函数 f(3x*3-x)的值域是 ? ?a,a<b,

(

) A.(0,1] C.(0,+∞) B.[1,+∞) D.(-∞,+∞)

答案:A 解析:由定义可知,该函数是求 a,b 中较小的那一
?1? 个,所以分别画出 y=3x 与 y=3-x=?3?x 的图象,由图象很容易看出 ? ?

函数 f(3x*3-x)的值域是(0,1]. 6.已知实数 a,b 满足等式 2a=3b,下列五个关系式:①0<b<a; ②a<b<0; ③0<a<b; ④b<a<0; ⑤a=b.其中可能成立的关系式有( A.①②③ C.①③⑤ 答案:B
?1? 7.设 f(x)=?2?|x|,x∈R,那么 f(x)是( ? ?

)

B.①②⑤ D.③④⑤

)

A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数

B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数 答案:D 解析:函数 f(x)的定义域 R,关于原点对称,且 f(-x)
?1? ?1? =?2?|-x|=?2?|x|=f(x),所以 f(x)是偶函数. ? ? ? ? ?1?x ?1?|x| ??2? ,x≥0, 又 f(x)=?2? =?? ? ? ? x

?2 ,x<0,

所以 f(x)在(0,+∞)上是减函数. 二、填空题 8.函数 y=a2x+b+1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点(1,2),则 b =________. 答案:-2 解析:把点(1,2)代入,得 2=a2+b+1, ∴a2+b=1 恒成立,∴2+b=0,∴b=-2.

?2x+3,x<0, 2 9.设 f(x)=? ?2 x,x≥0,


1 则 f(x)≥2的解集是________.

? 1 ? 3 1 1 答案:?-2,1? 解析:当 x<0 时,2x+2≥2,x≥-2, ? ?

1 ∴-2≤x<0; 1 当 x≥0 时,2-x≥2,即 x≤1,∴0≤x≤1.
? 1 ? 1 综上,f(x)≥2的解集是?-2,1?. ? ? ? 3? 5 10. 已知函数 f(x)是指数函数, 且 f?-2?= 25 , 则 f(3)=________. ? ?

答案:125 解析:设 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),

? 3? 5 3 5 3 则由 f?-2?= 25 ,得 a-2= 25 =5-2, ? ?

∴a=5,故 f(x)=5x.从而 f(3)=53=125.

?a ,x>1, 11.若 f(x)=?? a? ?4- ?x+2,x≤1 ?? 2?
数 a 的取值范围为________.

x

是 R 上的单调递增函数,则实

答案:[4,8) 解析:因为 f(x)是 R 上的单调递增函数. a>1, ? ?4-a>0, 所以? 2 a ? 4 - ? 2+2≤a,

解得 4≤a<8.

故实数 a 的取值范围为[4,8). 三、解答题 1 12.设 0≤x≤2,y=4x-2-3· 2x+5,试求该函数的最值. 解:令 t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4. 1 则 y=22x-1-3· 2x+5=2t2-3t+5. 1 1 化简,得 y=2(t-3)2+2,t∈[1,4], 1 1 ∴y=2(t-3)2+2在 t∈[1,3]上是减函数,在 t∈[3,4]上是增函数. 1 5 ∴当 t=3 时,ymin=2;当 t=1 时,ymax=2. 5 1 故该函数的最大值为2,最小值为2. 13.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1). (1)若 f(x)的图象如图①所示,求 a,b 的值;

(2)若 f(x)的图象如图②所示,求 a,b 的取值范围; (3)在(1)中,若|f(x)|=m 有且仅有一个实数解,求出 m 的范围.

解:(1)f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),
2 ? ?a +b=0, ∴? 0 ?a +b=-2, ?

解得 a= 3,b=-3. (2)由 f(x)为减函数可知 a 的取值范围为(0,1),又 f(0)=1+b<0, ∴b 的取值范围为(-∞,-1). (3)由图①可知,y=|f(x)|的图象如图所示.

由图象可知使|f(x)|=m 有且仅有一解的 m 值为 m=0 或 m≥3. 尖子生题库 2x+a 14.已知函数 f(x)= x . 2 -1 (1)求函数的定义域; (2)当 a 为何值时,f(x)为奇函数;

(3)写出(2)中函数的单调区间,并用定义给出证明. 解:(1)由 2x-1≠0,得 x≠0, ∴函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}. (2)由于函数 f(x)是奇函数, 所以对任意 x∈{x|x≠0},有 2-x+a a· 2x+1 2x+a f(-x)= -x =- x =-f(x)=- x , 2 -1 2 -1 2 -1 化简得(a-1)2x=a-1, ∴a=1. ∴当 a=1 时,f(x)是奇函数. 2x+1 2 (3)当 a=1 时,f(x)= x = x +1 的单调递减区间为(-∞, 2 -1 2 -1 0)和(0,+∞).证明如下: 任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, 2 2 则 f(x1)-f(x2)= - 2x1-1 2x2-1 = 2?2x2-2x1? . ?2x1-1??2x2-1?

∵0<x1<x2, y=2x 在 R 上单调递增, ∴2x2>2x1>1, ∴2x2-2x1>0,2x1-1>0,2x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. 由于 a=1 时,f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数, 所以 f(x)在(-∞,0)上也单调递减. 2x+1 综上,f(x)= x 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递 2 -1 减.


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