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高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)


考纲要求
(1)圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景, 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的 作用; ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质; ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质; ④ 了解圆锥曲线的简单应用; ⑤ 理解数形结合的思想。 (2)曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

基本知识回顾 (1)椭圆
① 椭圆的定义 设 F1,F2 是定点(称焦点) ,P 为动点,则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中 a 为定值, 且 2a>|F1F2|)的动点 P 的轨迹称为椭圆,符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a>| F1F2|)。 ② 椭圆的标准方程和几何性质 焦点在 x 轴上的椭圆 标准方程 焦点在 y 轴上的椭圆

x2 a2

+

y2 b2

=1(a>b>0)

y2 a2

+

x2 b2

=1(a>b>0)

范围

x ? [ ? a, a ] y ? [?b, b]

x ? [?b, b] y ? [ ? a, a ]

图形

对称性 顶点

对称轴:x 轴、y 轴

对称中心:原点

A1 (?a, 0), A2 (a, 0) B1 (?b, 0), B2 (b, 0)

A1 (0, ?a), A2 (0, a) B1 (0, ?b), B2 (0, b)
短轴 B1B2 的长为:2b F1F2=2c
1 / 46

轴 焦距

长轴 A1A2 的长为:2a

离心率
a,b,c 关系

e?

c , e ? (0,1) a

a 2 ? b2 ? c 2

例题 例 1:椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P 在 椭 圆 上 , 若 | PF1 |? 4 , 则 9 2
; ?F 1PF 2 的大小为 。

| PF2 |?

变式 1:已知 F1、F2 是椭圆 C :
? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, p 为椭圆 C 上的一 a 2 b2


点,且 PF1 ? PF2 。若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b ?

例 2:若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到定直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 ( ) 2 A.y = ? 16 x B.y2= ? 32 x C.y2=16x D.y2=32x 变式 2:动圆与定圆 A:(x+2)2+y2=1 外切,且与直线?∶x=1 相切,则动圆圆心 P 的轨迹 是( ) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

变式 3:抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 P ( m,?3) 到焦点的距离为 5,则 抛物线方程为( A. x 2 ? 8 y ) B. x 2 ? 4 y C. x 2 ? ?4 y D. x 2 ? ?8 y

变式 4:在抛物线 y2=2x 上有一点 P,若 P 到焦点 F 与到点 A(3,2)的距离之和最小, 则点 P 的坐标是 。

课后作业

x2 y2 1.已知椭圆 + =1, F1、F2 分别为它的左右焦点,CD 为过 F1 的弦,则△F2CD 的 16 9
周长是( A.10 ) B.12 C.16 D.不能确定

2 / 46

2 2.设 P 为双曲线 x ?

y2 ? 1 上 的 一 点 , F1,F2 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , 若 12 ) | PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,则 △PF1F2 的面积为(
B. 12 C. 12 3 D. 24

A. 6 3

3.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 B.3 ) C.

11 5

D.

37 16

答案: 例题 例 1、 2, 120°解: ∵ a2 ? 9, b2 ? 3 , ∴ c ? a2 ? b2 ? 9 ? 2 ? 7 , ∴ F1 F2 ? 2 7 , 又 PF 1 ? 4, PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 6 ,∴ PF2 ? 2 , 又由余弦定理,得 cos ?F1 PF2 ?
?

22 ? 42 ? 2 7 2? 2? 4

?

?

2

1 ?? , 2

∴ ?F 1PF 2 ? 120 ,故应填 2,120°。 变式 1、3 解:依题意,有, PF1 ? PF2 ? 2a

PF1 ? PF2 ? 18 可得 4c +36=4a2,即 a2-c2=9,
2

PF1 ? PF2
故有 b=3。 例 2、C 变式 2、D 变式 3、D 变式 4、 (2,2) 课后作业 1.C 2.B

2

2

? 4c 2

3.解:直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等
2

于 P 到抛物线的焦点 F ?1,0? 的距离, 故本题化为在抛物线 y 2 ? 4 x 上找一个点 P

使 得 P 到 点 和 F ?1,0? 直 线 l2 的 距 离 之 和 最 小 , 最 小 值 为 F ?1,0? 到 直 线

l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,即 d min ?

4?0?6 5

? 2 ,故选择 A。

(2)双曲线

① 双曲线的定义
平面内与两个定点 F1、F2(称为焦点)的距离的差的绝对值等于常数 2a (0 < 2a < |F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线 , 符号表示: ||PF1|- |PF2||=2a (0 < 2a <
3 / 46

|F1F2|)。

② 双曲线的标准方程和几何性质
焦点在 x 轴上的双曲线 标准方程 焦点在 y 轴上的双曲线
y2 x2 - =1(a>0,b>0) b2 a2

y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0) a2 b

范围

x ? [ ? a, a ] y ? [?b, b]

x ? [?b, b] y ? [ ? a, a ]

图形

对称性 顶点 轴 焦距 离心率
a,b,c 关系

对称轴:x 轴、y 轴

对称中心:原点

A1 (?a,0), A2 (a,0)
实轴 A1A2 的长为:2a F1F2=2c

A1 (0, ?a), A2 (0, a)
虚轴 B1B2 的长为:2b

e?

c , e ? (1, +?) a

c2 ? a 2 ? b2

例题
例 3:如果方程 x2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ( ) A. (0, ??) B. (0, 2) C. (1, ??) D. (0,1) 变式 5:双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,那么 k 的值是( A.1 变式 6:曲线 B.-1 C.
65 3

) D.-
65 3

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e∈(1, 2),则 k 的取值范围是( ) 4 k A.(-∞, 0) B.(-3, 0) C.(-12, 0) D.(-60, -12)

例 4: 设 F1 和 F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 ,P(0, 2b) a 2 b2
4 / 46

是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( A.

) C.

3 2

B. 2

5 2

D.3

变式 7:过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 a 2 b2 ? 为右焦点,若 ?F ) 1PF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为(
A.
2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

变式 8:设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A , a 2 b2
) D. 5
15 2

? 使 ?F ,则双曲线的离心率为( 1 AF 2 ? 90 且 AF 1 ? 3 AF 2

A.

5 2

B.

10 2

C.

变式 9:双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且 a 2 b2
D. ?3, ?? ?

|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1,3) B. ?1,3? C.(3,+ ? ) 例 5:设双曲线 渐近线方程为(

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的 a2 b2
) B. y ? ?2 x C. y ? ?

A. y ? ? 2 x 变式 10:已知双曲线

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近 2 b2 线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF ) PF2 =( 1 ·
A.-12 B.-2 C.0 ) D.4

变式 11:双曲线

x2 y 2 =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
B.2 C. 3

A. 2 3

D.1

答案:
例题 例 3、C 变式 5、B 变式 6、C 例 4、B 解:由 tan

?
6

?

c c 3 ? 有 3c2 ? 4b2 ? 4(c2 ? a2 ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B。 a 2b 3
? 3b 2 ? ,再由 ?F1 PF2 ? 60? 有 ? 2 a ,从而可得 ? a ?
5 / 46

? b2 变式 7、B,解:因为 P? ? c , ? ? a ?

c 3 ? ,故选 B。 a 3 变式 8、B 变式 9、B e?

例 5、C 解:由已知得到 b ? 1, c ? 3, a ? c 2 ? b 2 ? 2 ,因为双曲线的焦点在 x

b 2 x?? x a 2 变式 10、 C 解:由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是
轴上,故渐近线方程为 y ? ? ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) . x 2 ? y 2 ? 2 ,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) 不妨去 P( 3,1) ,则 PF 1 ? (?2 ? 3,?1) ,

PF2 ? (2 ? 3,?1) .
∴ PF PF2 = (?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0 1 · 变 式 11 、 解 : 双 曲 线

x2 y 2 =1 的 焦 点 (4,0) 到 渐 近 线 y ? 3x 的 距 离 为 4 12

d?

3 ? 4? 0 2

? 2 3 ,选 A

(3)抛物线

① 抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线(定点 F 不在定直线 l 上) 。

② 抛物线的标准方程和几何性质
标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)
? y x

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
y ? F o x

x 2 ? 2 py( p ? 0)
y o F x ?

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
y o F ? x

图形 o F 顶点 对称性 焦点 离心率 准线方程 关于 x 轴对称

坐标原点 O(0,0) 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称

p ( ,0) 2

p (- ,0) 2
e=1

p (0, ) 2

p ( 0, - ) 2

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

③ 知识拓展
6 / 46

抛物线焦点弦的性质 设 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦,若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则
1. x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4
2p (α 为弦 AB 的倾斜角); sin 2 ?

2.弦长丨 AB 丨= x1 ? x2 ? p = 3.

1 1 2 ? ? ; FA FB p

4.以弦 AB 为直径的圆与准线相切; 5.A,O 与 B 在准线上的射影 B’三点共线,B,O 与 A 在准线上的射影 A’三点共线。

例题
例 6:斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线相交于两点 A、B,则线 段 AB 的长是 。

变式 12:抛物线 y2=2x 上的两点 A、B 到焦点 F 的距离之和是 5,则线段 AB 的中点 M 的横坐标是 变式 13:设过抛物线的焦点 F 的弦为 PQ,则以 PQ 为直径的圆与抛物线的准线的 位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上答案均有可能 变式 14:过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45? 的直线交抛物线于 A、 B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p ? ________________

课后作业

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于( ) a 2 32 3 A.2 B. 3 C. D.1 2 x2 y 2 2.双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜 a b ? 角为 30 的直线交双曲线右支于 M 点, 若 MF2 垂直于 x 轴, 则双曲线的离心率为
1.若双曲线 ( ) A. 6 B. 3 C. 2 D.

3 3

3.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线 的离心率为 。

7 / 46

4.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则双曲线方程为( A.
x2 y2 ? ?1 4 12



B.

x2 y2 ? ?1 12 4

C. )

x2 y2 ? ?1 10 6

D.

x2 y2 ? ?1 6 10

5.抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点坐标是( A. (2,0)

B. ( ? 2 ,0) C. (4,0) D. ( ? 4 ,0) 2 y ? 1 的 左、 右焦点 。 若点 P 在双曲线 上, 且 6 .设 F1,F2 分别 是双曲线 x 2 ? 9 ? ? ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 0 ,则 PF1 ? PF2 ? ( ) A. 10 7.已知椭圆 B. 2 10 C. 5 D. 2 5

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上, a 2 b2
??? ? ??? ?


且 BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P 。 若 AP ? 2 PB , 则椭圆的离心率是 ( A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

8.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P y1 ), P2 (x2 , y2 ) , P ,y3 ) 1 (x1, 3 ( x3 在抛物线上,且 2 x2 ? x1 ? x3 ,则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 ) B. FP ? FP 1 ? FP 2 3 D. FP ? FP 2 1 ? FP 3
2 2 2 2

答案:
例题 例 6、8 变式 12、2 变式 13、B 变式 14、2,解:由题意可知过焦点的直线方程为 y ? x ?

p , 2

? y 2 ? 2 px p2 ? 2 联立有 ? ? x ? 3 px ? ? 0, p 4 y ? x ? ? ? 2
又 AB ? (1 ? 12 ) (3 p)2 ? 4 ? 课后作业

p2 ?8? p ? 2。 4

x2 y 2 c a2 ? 3 1.解:由 2 ? ? 1可知虚轴b= 3,而离心率e= ? ? 2 ,解得 a=1 或 a 3 a a
8 / 46

a=3,参照选项知而应选 D。 2.B 3.3 4.A 5.解:由 y 2 ? ?8x ,易知焦点坐标是 (? 6.B

p , 0) ? (?2, 0) ,故选 B。 2 1 2

7.D,对于椭圆,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2OF ,? a ? 2c,? e ? 8.C

??? ?

??? ?

9 / 46

解圆锥曲线常用方法
(1)韦达定理的应用 例题 例 1:在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 a 2 b2

F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4x 相切,求直线 l 的方程.

课后作业 1、双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r=( 6 3
B.2
2 2



A. 3 2、设双曲线

C.3

D.6

x y ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 有且只有一个公共点,则 2 a b
) B.5 C.

双曲线的离心率为( A.

5 4

5 2

D. 5

3、已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A.

3 3

B.

3 2

C.

2 3

D.

2 2

答案: 例 1、解:(1):依题意:c=1,????????????????1 分 则: a 2 ? b 2 ? 1,???????????????????2 分
10 / 46

2 2 设椭圆方程为: x ? y ? 1 ???????????3 分 2 2

b ?1

b

将 P(0,1) 点坐标代入,解得: b2 ? 1 ???????????????4 分 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 故椭圆方程为: x 2 ? y 2 ? 1 ???????????????5 分
2

(2)设所求切线的方程为: y ? kx ? m ????????6 分
? y ? kx ? m ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ? 2

消除 y
(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx? (2m2 ? 2) ? 0

?1 ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 2) ???7 分
化简得:

m 2 ? 2k 2 ? 1?????
①?????????????????????8 分 同理:联立直线方程和抛物线的方程得:

? y ? kx ? m ? 2 ? y ? 4x
消除 y 得:

k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 ?2 ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0
化简得: ???????????????9 分 ?????????10 分

km ? 1???????? ②

将②代入①解得: 2k 4 ? k 2 ? 1 ? 0 解得: k 2 ?

1 2 2 2 , (k ? ?1舍去),故k ? , 或者k ? ? 2 2 2

当k ? 1时,m ? 2,当k ? ?1时,m ? ? 2 ??????12 分

故切线方程为: y ?

2 2 x ? 2或者y ? ? x ? 2 ??????????14 分 2 2

课后作业 1、A

11 / 46

x2 y2 b 2、D 解:双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 a a b
2

b x a , 2 y ? x ?1 y?

b ?b? 消去 y,得 x ? x ? 1 ? 0 有唯一解,所以 ? ? ? ? ? 4 ? 0 , a ?a?
2

所以

b c a2 ? b2 ?b? ? 2,e ? ? ? 1 ? ? ? ? 5 ,故选 D。 a a a ?a?

2

3、解:设 AF1 ? 1, 由△ABF2 是正三角形知 AF2 ? 2, F1F2 ? 3, 所以椭圆的离心 率e ?

F1 F2 c 2c 3 ,故选 A。 ? ? ? a 2a AF1 ? AF2 3

(2)圆锥曲线弦长问题 例题 例 2:已知椭圆 C: 离为 3 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求△AOB 面积的最大值。
x2 y2 6 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距 2 3 a b

3 , 2

课后作业 1、设 P 是椭圆 的最大值。
x2 ? y 2 ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点,求 PQ a2

2、已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的
12 / 46

四边形为正方形,两准线间的距离为 4。 (1)求椭圆的方程; (2)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当 ΔAOB 面积取得最大值时, 求直线 l 的方程。

答案: 例题 例 2、解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意
2

c 6 ? a 3 a? 3

∴b ?1,

x ? y2 ? 1 。 3 (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 。

∴所求椭圆方程为

①当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 。 ②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 。
3 3 ,得 m2 ? (k 2 ? 1) . 2 4 1? k 把 y ? kx ? m 代入椭圆方程, m

由已知

2

?

整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,
3(m 2 ? 1) ? 6km x x ? , 。 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? 36k 2 m 2 12 m 2 ? 1 ? 2 2 ? ? ∴ AB ? 1 ? k 2 ?x 2 ? x1 ? ? 1 ? k 2 ? 2 2 3k 2 ? 1 ? ? ? 3k ? 1 ?

∴ x1 ? x 2 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

12(k ? 1)(3k ? 1 ? m ) 3(k ? 1)(9k ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
2 2 2 2 2

12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4。 4 2 1 9k ? 6 k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k 3 1 当且仅当 9k 2 ? 2 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 3 k 综 上 所 述 AB m a x ? 2 。 ∴ 当 AB 最 大 时 , △ A O B面 积 取 最 大 值 ? 3?
S? 1 3 3 ? AB max ? ? 2 2 2

13 / 46

课后作业
2 1、解: 依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x 2 ? ? y ? 1? ,又因为 Q 在椭圆上,

所以 x 2 ? a 2 1 ? y 2 ,
2

PQ ? a 2 1 ? y 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 1 ? a 2 y 2 ? 2 y ? 1 ? a 2
1 ? 1 ? ? 1? a2 ? y ? ?1? a2 ? ? 2 1? a ? 1? a2 ? 1 1 因为 y ? 1 ,a>1, 若 a≥ 2, 则 ≤ 1 ,当 y ? 时, |PQ| 取最大值 2 1? a2 1? a a2 a2 ?1 ; a2 ?1 若 1<a< 2,则当 y=-1 时, |PQ|取最大值 2。

?

?

?

?

?

?

?

?

2

2、解:设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? c) a 2 b2 ?b ? c ?a 2 ? 2 ? 2 ? ? 2a ?4 ? ?b 2 ? 1 (1)由已知得 ? ? 2 ? c 2 2 2 ?c ? 1 ? a ? b ? c ? x2 ? y2 ? 1 。 ∴所求椭圆方程为 2

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 ,消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,∴ ? ? 0 ? 64k 2 ? 24(1 ? 2k 2 ) ? 0 解得 3 k2 ? 2 8k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 又由韦达定理得 ? ?x ? x ? 6 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

∴ | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 原点 O 到直线 l 的距离 d ? ∵ S?AOB ?
2 1? k2

1? k2 16k 2 ? 24 1 ? 2k 2

1 16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 | AB | ?d ? ? 。 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 2 2m 2 2 令 m ? 2k 2 ? 3(m ? 0) , 则 2k 2 ? m2 ? 3 ∴ S ? 2 ≤ ? 2 m ?4 m? 4 m 2 4 当且仅当 m ? 即 m ? 2 时, S max ? 2 m
14 / 46

此时 k ? ?

14 。 2

所以,所求直线方程为 ? 14 ? 2 y ? 4 ? 0

(3)圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 b2 x x2 y2 1.在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ; a b a y0 2.在双曲线

b 2 x0 x2 y2 ? ? 1 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k = ; P ( x , y ) 0 0 a2 b2 a 2 y0
p 。 y0

3.在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 例3、对于双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 ,过点 B(1,1) 能否作直线 m ,使 m 与双曲线交于 P, Q 2

两点,且点 B 是 PQ 的中点。

例 4、椭圆的一个焦点是 (0,5 2 ) ,且截直线 3x ? y ? 2 ? 0 ,所得弦 横坐标为

的中点的

1 ,求椭圆的标准方程。 2

课后作业

15 / 46

x2 y2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9 x2 y 2 2、已知直线 y=-x+1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中 a b 点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为 3、已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,

1、如果椭圆

B 两点,若 P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 2 (1)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (2)设过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,并且线段 AB 的中点在直线 x ? y ? 0 上, 求直线 AB 的方程。

4、已知椭圆

答案: 例3、解:假设存在直线m,设 P?x1 , y1 ?, Q?x 2 , y 2 ? ,则

2 x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y 2 ? 2 x1 ? x 2 ? 2
2 2

2

2

(1) (2) (3)

y1 ? y 2 ? 2 (4) (1)-(2)得: 2?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ? ? 0 y ? y2 ?2 ∴ 4?x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y 2 ? ? 0 ∴ k ? 1 x1 ? x 2 ∴m的方程为: y ? 1 ? 2?x ? 1? 即 y ? 2 x ? 1

y ? 2x ? 1 2x 2 ? y 2 ? 2

得 2x 2 ? 4x ? 3 ? 0

? ? ?? 4? ? 4 ? 2 ? 3 ? ?8 ? 0
2

∴m与已知双曲线无交点,即假设不成立,
16 / 46

∴m不存在。

例 4、 解: 设所求椭圆方程为

y2 x2 ? 2 ?1 (a>b>0) , 由 a 2 ? b 2 ? 50 , 得 a 2 ? b 2 ? 50 , 2 a b 2 y x2 将 3x ? y ? 2 ? 0 与 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)联立消去 y 得 a b 2 2 2 2 2 10 b ? 50 x ? 12b x ? b b ? 4b ? 0

?

?

?

?

设 A?x1 , y1 ? ,B?x 2 , y 2 ? , 则 x1 ? x2 ? 所求椭圆方程为 课后作业 1、 x ? 2 y ? 8 ? 0
y2 x2 + =1。 75 25

6b 2 解出 b 2 ? 25 、a 2 ? 75 , ? 1, 5(b 2 ? 5)

2 2 3、 y 2 ? 4 x 解:设抛物线为 y 2 ? kx ,与 y ? x 联立方程组,消去 y,得: x 2 ? kx ? 0 ,

2、

4、解: (1)∵ a 2 ? 2 , b 2 ? 1,∴ c ? 1 , F ?? 1,0? , l : x ? ?2 1 ∵圆过点 O、F, ∴圆心 M 在直线 x ? ? 上。 2 1 3 1 设 M (? , t ), 则圆半径 r ? (? ) ? (?2) ? 。 2 2 2
1 3 由 OM ? r , 得 (? ) 2 ? t 2 ? , 解得 t ? ? 2 。 2 2 1 9 ∴所求圆的方程为 ( x ? )2 ? ( y ? 2)2 ? 。 2 4 (2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0),
l A

x1 ? x2 ? k ? 2 ? 2 ,故 y 2 ? 4 x

y

B N F O x

x2 ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F,∴方程有两个不等实根, 4k 2 , 记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ), 则 x1 ? x2 ? ? 2 2k ? 1 1 2k 2 k x0 ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2 , y0 ? k ( x0 ? 1) ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1

代入

? 线段 AB 的中点 N 在直线 x ? y ? 0 上,
2k 2 k ? 2 ? 0, 2 2k ? 1 2k ? 1 1 ∴ k ? 0 ,或 k ? 当直线 AB 与 x 轴垂直时,线段 AB 的中点 F 不在直 2

∴ x0 ? y0 ? ?

线 x ? y ? 0 上。 ∴直线 AB 的方程是 y ? 0, 或 x ? 2 y ? 1 ? 0.

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分类题型
类型一:三角形面积 例 1:已知椭圆 C : 是短轴长的 2 倍. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设 O 为坐标原点, 椭圆 C 与直线 y ? kx ? 1 相交于两个不同的点 A, B , 线段 AB 的中点为 P ,若直线 OP 的斜率为 ?1,求△ OAB 的面积.

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个焦点坐标为 (1, 0) ,且长轴长 a 2 b2

2 2 2 2 例 1:解: (Ⅰ)由题意 c ? 1, a ? 2b , 又 a ? b ? 1 ,所以 b ? 1, a ? 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2 .
(Ⅱ)设 A(0,1) ,

??????4 分

B( x1 , y1 ) , P( x0 , y0 ) ,

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? 2 2 y ? kx ? 1 联立 ? 消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4kx ? 0 ??(*) ,
解得 x ? 0 或

??????6 分

x??

4k 4k x1 ? ? 2 1 ? 2k ,所以 1 ? 2k 2 ,

B(?
所以

2k 1 4k 1 ? 2k 2 , ) , ) P(? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 , 1 ? 2k 1 ? 2k ,

??????8 分

1 1 k? ?? 1 2(满足 由直线 OP 斜率为 ?1, 则 2k , 解得 (*) 式判别式大于零) ??10

?



O 到直线

l:y?

2 2 1 2 2 5 x ?1 AB ? x ? ( y ? 1) ? 1 1 3 2 的距离为 5 ,所以 ,

1 2 2 2 ? 5? ? 5 3. 所以△ OAB 的面积为 2 3

???13 分

18 / 46

练习 1:已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M (?2, 0) 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 交 于 P , Q 两点. (I)若 OP ? OQ ? ?

??? ? ????

1 ,求直线 l 的方程; 2

(Ⅱ)若 ?OMP 与 ?OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率.

练习 1:解: (Ⅰ)依题意,直线 l 的斜率存在, 因为 直线 l 过点 M (?2, 0) ,可设直线 l : y ? k ( x ? 2) . 因为 P、 Q 两点在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,所以 OP ? OQ ? 1,

??? ?

????

??? ? ???? ??? ? ???? 1 1 ,所以 OP ? OQ ? OP ? OQ ? cos ?POQ ? ? 2 2 1 所以 ?POQ ? 120? 所以 O 到直线 l 的距离等于 . 2
因为 OP ? OQ ? ?

??? ? ????

所以

| 2k | k 2 ?1

?

1 15 , 得k ? ? 15 2

所以

直线 l 的方程为 x ? 15 y ? 2 ? 0 或 x ? 15 y ? 2 ? 0 ??????6 分

(Ⅱ)因为 ?OMP 与 ?OPQ 的面积相等,所以 MQ ? 2MP , 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,所以 MQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , MP ? ( x1 ? 2, y1 ) . 所以 ?

???? ?

????

???? ?

????

? x2 ? 2 ? 2( x1 ? 2) ? y2 ? 2 y1

即?

? x2 ? 2( x1 ? 1) ? y2 ? 2 y1
2 2 ? ? x1 ? y1 ? 1 ? 2 2 ? ? x2 ? y2 ? 1

(*) ;

因为

P , Q 两点在圆上,所以

把(*)代入,得 ?

? ?x ? y ? 1 2 2 ? ?4( x1 ? 1) ? 4 y1 ? 1
2 1 2 1

,所以

7 ? x1 ? ? , ? 8 ? ? ? y ? ? 15 . 1 ? 8 ?

所以

直线 l 的斜率 k ? kMP ? ?

15 15 , 即k ? ? .???????13 分 9 9

19 / 46

类型二:与圆的知识结合

) 在该椭圆上。 例 2:已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴为 4,且点 (1, a b 2 (I)求椭圆的方程; (II)过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆经过原点, 求直线 l 的方程。
例 2:解: (Ⅰ)由题意: 2a ? 4 , a ? 2 .所求椭圆方程为

x2

y2

3

x2 y 2 ? ?1 . 4 b2

又点 (1,

x2 3 ) 在椭圆上,可得 b ? 1 .所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . ?5 分 4 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a2 ? 4, b2 ? 1,所以 c ? 3 ,椭圆右焦点为 ( 3,0) . 因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB ? 0 . 若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB 的方程为 x ? 3 . 直线 AB 交椭圆于 ( 3, ), ( 3, ? ) 两点, OA ? OB ? 3 ?

??? ? ??? ?

1 2

1 2

??? ? ??? ?

1 ? 0 ,不合题意. 4

若直线 AB 的斜率存在,设斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) . 由?

? ? y ? k ( x ? 3), ? ? x ? 4 y ? 4 ? 0,
2 2

可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 3k 2 x ?12k 2 ? 4 ? 0 .

由于直线 AB 过椭圆右焦点,可知 ? ? 0 .

8 3k 2 12k 2 ? 4 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
?k 2 y1 y2 ? k ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ? . 1 ? 4k 2
2 2

??? ? ??? ? 12k 2 ? 4 ?k 2 11k 2 ? 4 ?( )? 所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
由 OA ? OB ? 0 ,即

??? ? ??? ?

11k 2 ? 4 4 2 11 ? 0 ,可得 k 2 ? , k ? ? . 2 1 ? 4k 11 11

所以直线 l 方程为 y ? ?

2 11 ( x ? 3) . 11

??????14 分

练习 2:已知椭圆 C 中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2 ,短轴长为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆交于不同的两点 M 、N ( M 、N 不

20 / 46

是椭圆的左、右顶点) ,且以 MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A .求证:直线 l 过 定点,并求出定点的坐标.

练习 2:解: (Ⅰ)设椭圆的长半轴为 a ,短半轴长为 b ,半焦距为 c ,则

?2c ? 2 , ? ?2b ? 2 3 , ?a 2 ? b 2 ? c,2 ?
x2 y 2 ? ? 1 ??? 4 分 4 3

解 得

? ? a ? 2, ∴ ? ? ?b ? 3,

椭 圆 C 的 标 准 方 程 为

2 2 ? ?x ? y ?1 Ⅱ) 由方程组 ? 4 消去 y , 得 ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ?? 6 3 ? ? y ? kx ? m

分 由题意△ ? ? 8km ? ? 4 3 ? 4k 2
2

?

?? 4m

2

? 12 ? ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 ① ? 整理得:

8km 4m 2 ? 12 7 分设 M ? x1, y1 ?、N ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? .?? 8 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
分 由已知 AM ? AN , 且椭圆右顶点为 A (2, 0) ∴

? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2 ? 0 ??

2 1 2

10 分
2 1 2

?1 ? k ? x x ? ? km ? 2 ?? x ? x ? ? m
2

?4 ? 0,

也即

4m2 ? 12 8km ? m2 ? 4 ? 0 , ?1 ? k ? ? 3 ? 4k 2 ? ? km ? 2? ? 3?? 2 4k
或 m??

整理得 7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .解得 m ? ?2k

2k ,均满足①? 11 分 7

当 m ? ?2k 时,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2k ,过定点 (2, 0) ,不符合题意舍去; 当m ? ?

2 2k 2? ? 时,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,过定点 ( , 0) , 7 7 7? ? 2 7
?????? 13 分

故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ( , 0) .

21 / 46

类型三:中点问题 例 3:若椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴的一个端点与左右焦点 F1 、 F2 组成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点, 线段 AB 的中点为 M ,求直线 MF1 的斜率 k 的取值范围.

例 3:解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

??1 分

?a ? 2c ? 由 ?a ? c ? 3 ? a ? 2 3, c ? 3, b ? 3. ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
x2 y2 1 ? ? 1. ??○ 所以,椭圆 C 的方程为 12 9
(Ⅱ) F1 (? 3,0) 、 F2 ( 3,0) ,

??4 分

??5 分

当直线 l 的斜率不存在时, AB 的中点为 F2 ,直线 MF1 的斜率 k ? 0 ;??6 分
2 7 分 当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 m ,直线 AB 的方程为 y ? m( x ? 3) ?○

2 2 2 2 1 ○ 2 联立消去 y 并整理得: (3 ? 4m ) x ? 8 3m x ? 12m ? 36 ? 0 由○

4 3m 2 ? 3 3m 设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? , y0 ? m( x0 ? 3 ) ? 2 3 ? 4m 3 ? 4m 2
当 m ? 0 时, AB 的中点为坐标原点,直线 MF1 的斜率 k ? 0 ; 当 m ? 0 时, k ?

??10 分 ??11 分

y0 x0 ? 3

?

? 3m , 8m 2 ? 3

| k |?

3| m| 1 1 6 ? ? ? 2 8m ? 3 8 | m | ? 1 8 8 1 2 |m|? 3 |m| 3 |m|
6 6 ?k? 且 k ? 0. ??13 分 8 8
22 / 46

??

综上所述,直线 MF1 的斜率 k 的取值范围是 [?

6 6 , ]. 8 8

??14 分

练习 3:在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到定点 F (0, ) 的距离比点 P 到 x 轴的距 离大

1 4

1 ,设动点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l : y ? kx ? 1 交曲线 C 于 A, B 两点, M 是 4

线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)证明:曲线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅲ)若曲线 C 上存在关于直线 l 对称的两点,求 k 的取值范围.

(Ⅰ)解:由已知,动点 P 到定点 F (0, ) 的距离与 P 到直线 y ? ?

1 4

1 的距离相等. 4 1 为准线的 4

由抛物线定义可知,动点 P 的轨迹为以 (0, ) 为焦点,直线 y ? ? 抛物线. 所以曲线 C 的方程为 y ? x .
2

1 4

??????3 分

(Ⅱ)证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 由?

? y ? x2 , ? y ? kx ? 1,

得 x ? kx ? 1 ? 0 . 所以 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 .
2

设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?
2

k k .因为 MN ? x 轴, 所以 N 点的横坐标为 . 2 2
所以当 x ?

由 y ? x ,可得 y ' ? 2 x

k 时, y ' ? k . 2 1 x ? b. k

所以曲线 C 在点 N 处的切线斜率为 k ,与直线 AB 平行.??????8 分 (Ⅲ)解:由已知, k ? 0 . 设直线 l 的垂线为 l ' : y ? ?
2 代入 y ? x ,可得 x ?
2

1 x ?b ? 0 k

(*)

若存在两点 D( x3 , y3 ), E( x4 , y4 ) 关于直线 l 对称, 则

x3 ? x4 y ? y4 1 1 ?? ? 2 ?b , 3 2 2k 2 2k x3 ? x4 y3 ? y4 1 1 1 1 , ) 在 l 上,所以 2 ? b ? k (? ) ? 1 , b ? ? 2 . 2 2 2k 2k 2 2k
23 / 46

又(

由方程(*)有两个不等实根 所以 ? ? ( ) ? 4b ? 0 ,即
2

1 k

1 2 ?2? 2 ? 0 2 k k

所以

1 2 2 ? 2 ,解得 k ? ? 或k ? .??????13 分 2 k 2 2

类型四:与向量知识结合 例 4:已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为( 3 ,0) ,右顶点为(2,0). (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若 直 线 l : y ? kx ? 2 与 椭 圆 C 恒 有 两 个 不 同 的 交 点 A 和 B , 且

OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围.

解: (1)由题意可得: a ? 2, c ? 3
? b ? a ? c ? 4 ? 3 =1
2 2

x2 ? y2 ? 1 所求的椭圆方程为: 4

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? x2 2 ? ? y ?1 由? 4 ? y ? kx ? 2 ?

2 2 得: ( ? k ) x ? 2 2kx ? 1 ? 0

1 4

? x1 ? x 2 ?

? 2 2k 1 , x1 x 2 ? (*) 1 1 2 2 ?k ?k 4 4
1 1 或k ? ? 2 2

1 ? ? (2 2k ) 2 ? 4 ? ( ? k 2 ) ? 0 4

解得: k ?

由 OA ? OB ? 2

可得: x1 x2 ? y1 y 2 ? 2 ,即 x1 x2 ? (kx1 ? 2 )(kx2 ? 2 ) ? 2

整理得: (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 0 把(*)代入得: (1 ? k 2 ) ?

1 1 ? k2 4

? 2k ?

(?2 2k ) ?0 1 2 ?k 4

即:

4 ? 12k 2 ?0 1 ? 4k 2

24 / 46

解得: ?

3 3 ?k? 3 3

综上: k的取值范围是: -

3 1 1 3 ?k?? 或 ?k? 3 2 2 3

练习 4:在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

F1、F2.其中 F2 也是抛物线 C2: y 2 ? 4x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,

5 . 3 (1)求 C1 的方程; ???? ? ???? ? ???? ? (2 )平面上的点 N 满足 MN ? MF ? MF 1 2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A、B 两点, ??? ? ??? ? 若 OA · OB =0,求直线 l 的方程。
且 | MF2 |?

类型五:最值问题 例 5:已知椭圆 C 的中心在坐标原点,离心率 e ? (I)求椭圆 C 方程;

3 ,一个焦点的坐标为 2

?

3, 0 .

?

1 x ? m 与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴 2 于点 T.当 m 变化时,求 ?TAB 面积的最大值.
(II)设直线 l : y ?



: (







C2



y2 ? 4x



F2 (1, 0) .?????????????????1 分
设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ?

5 5 2 2 6 ,所以 x1 ? 1 ? ,得 x1 ? , y1 ? 3 3 3 3

25 / 46

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, ?????????5 分 M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ? 9a 3b 2 2 ?b ? a ? 1. ?
消去 b2 并整理得 故椭圆 C1 的方程为

9a 4 ? 37a 2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a ?

1 不合题意,舍去) . 3

x2 y 2 ? ? 1 . ??????????????????? 7 分 4 3

O, (Ⅱ)由 MF 1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 1 ? MF 2 ? MN 知四边形 MF

???? ? ???? ? ???? ?

2 6 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 . 2 3
设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) .????????????????????? 8 分 由?
2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12,

? ? y ? 6( x ? m),

消去 y 并化简得

9 x 2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .???? 10 分

8m2 ? 4 16m 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ? , x1 x2 ? .????????11 分 9 9
因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

??? ?

??? ?

x1x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
? 7? 8m2 ? 4 16m 1 ? 6m ? ? 6m2 ? (14m 2 ? 28) ? 0 .?????? 12 分 9 9 9

所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m)2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 ,或 y ? 6x ? 2 3 . ???????? 14 分

解法一: (I)依题意,设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

? c ? 3, e ?

c 3 ? a ? 2, ? a 2

:…………3 分

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1, ………4 分

26 / 46

? 椭圆 C 的方程是

x2 ? y2 ? 1 4

………………5 分

1 ? x2 2 2 2 2 ? y 2 ? 1 得x ? 4( x ? m) ? 4, 即x ? 2mx ? 2m ? 2 ? 0 ? ? 2 (II)由 ? 4 1 ? y ? x ? m 令? ? 0, 得8 ? 4m 2 ? 0,?? 2 ? m ? 2. ????7分 ? ? 2
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,AB 中点为 M ? x0 , y0 ?

则x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 2 AB ? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

5 ? 4

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 5 ? 2 ? m 2 ?

????9 分

1 1 1 x0 ? ? x1 ? x2 ? ? ?m, y0 ? x0 ? m ? m, 2 2 2 1 ? ? ? M ? ?m, m ? 2 ? ?

????10 分

设T ? t , 0 ? , 1 0? m 2 ? 1 ? ?1 ? MT ? AB,? kMT ? k AB ? t?m 2 3 ? 3 ? 解得t ? ? m,?T ? ? m, 0 ? 4 ? 4 ?

………………11 分

?| MT |? ? S ?TAB ?
?

1 2 1 2 5 m ? m ? | m|. 16 4 4 1 1 5 | AB | ? | MT |? ? 5(2 ? m 2 ) ? |m| 2 2 4
………13 分

5 ? (m 2 ? 1) 2 ? 1. 8

?? 2 ? m ? 2 ,
5 ? 当 m2 ? 1 ,即 m ? ?1 时, S?TAB 取得最大值为 . 8
解法二: (I)同解法一 ………………14 分

? x2 ? y 2 ? 1 得x 2 ? 4( 1 x ? m)2 ? 4, 即x 2 ? 2mx ? 2m2 ? 2 ? 0 ? ?4 2 (II)由 ? 1 ? y ? x ? m 令? ? 0, 得8 ? 4m2 ? 0,?? 2 ? m ? 2. ????7分 ? ? 2
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,AB 中点为 M ? x0 , y0 ?

? x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 2 … ……………8 分
27 / 46

1 1 1 ? x1 ? x2 ? ? ?m, y0 ? x0 ? m ? m, 2 2 2 1 ? ? ? M ? ?m, m ? 2 ? ? ………………10 分 x0 ?
MT ? AB

? MT 的方程为 y ? ?2 x ?
令 y ? 0 ,得 x ? ?

3 m 2

3 ? 3 ? m ,?T ? ? m, 0 ? 4 ? 4 ?

………………9 分

设 AB 交 x 轴与点 R,则 R ? ?2m,0?

?| TR |?

5 | m|. 4

………………11 分

? S ?TAB ? ?

1 1 | TR | ? | y1 ? y 2 |? | TR | ? | x1 ? x 2 | 2 4

1 | TR | ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 4

?

5 m 2 (2 ? m 2 ) 8

?

5 m 2 ? (2 ? m 2 ) 5 ? ? , 8 2 8

……………13 分

5 ? 当 m2 ? 1 ,即 m ? ?1 时, S?TAB 取得最大值为 . …………14 分 8
类型六:存在性问题 已知双曲线中,

c 5 ,且双曲线与椭圆 4x2+9y2=36 有公共焦点. ? a 2

(Ⅰ)求双曲线的标准方程; (II) 在双曲线右支上是否存在一点 P,使 ?F1 PF2 ? 焦点,若存在求 PF2 的值,若不存在,请说明理由
x2 -y2=1 (Ⅱ) 2 2 ? 2 4

?
3

,其中 F1 、 F2 分别为双曲线的左右

答案:解:(Ⅰ)

(2007 广东文 19)平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直 线 y ? x 相切于坐标原点 O.椭圆 为 10. (1)求圆 C 的方程.
28 / 46

x2 a
2

?

y2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和 9

(2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的 长。若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n) 则 ?

? ?

m ? ?n

? ? n? 2 ? 2 2

解得 ?

?m ? ?2 ? n?2

所求的圆的方程为 (2) 略

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8

(2008 广东理)设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图 4 2 2 2b b

所示,过点 F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线 在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2) 设 A,B 分别是椭圆长轴的左、 右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P , 使得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的 坐标) .

29 / 46

解: (1)由 x2 ? 8( y ? b) 得 y ?

1 2 x ?b, 8
1 x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) , y ' ?

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b, 0) ,

? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ; 2

(2)? 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有 一个, 同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x, x 2 ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和

1 8

( 2,0) ,
??? ? ??? ? 1 1 4 5 2 PA?PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4
关于 x 2 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个, 因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。 类型七:轨迹方程问题 例题:已知

?AF1 F2 的周长为 6,点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 。

(Ⅰ)求动点 A 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点

F1 且斜率为 1 的直线与点 A 的轨迹 C 交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,

求 ?POQ 的面积。

答案:(Ⅰ)

x2 y2 6 2 ? ? 1 (II) 4 3 7

30 / 46

高考链接

(一)小题
1、 (2007 广东理 11)在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2, 1) ,若线段 OA 的垂直平分线 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是 2、 (2008 广东理 11)经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线 方程是 .

3 3、 (2009 广东理 11)巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2 ,且 G 上
一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为__________________. 4、 (2010 广东理 12)若圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相 切,则圆 O 的方程是 5、 (2012 广东理 12)曲线 y=x -x+3 在点(1,3)处的切线方程为
3



(二)解答题:
理科

1、 (2007 广东理 18)
平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标 原点 O.椭圆
x2 a2 ? y2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10. 9

(1)求圆 C 的方程. (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q, 使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长。 若 存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

2、(2008 广东理 18) 设 b>0,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x 2 ? 8( y ? b) ,如图 4 所示,过点 F(0,b+2) 2b 2 b 2

作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦
31 / 46

点. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P,使得△ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的 点?并说明理由. (不必具体求出这些点的坐标)

3、(2009 广东理 19) 已知曲线 C: y ? x 2 与直线 l: x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( x A , y A ) 和 B( x B , y B ) ,且 x A ? x B , 记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 (含边界) 为 D, 设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合, (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G: x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

4、 (2010 广东理 20)
已知双曲线 x ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 ,? y1 ) 是双曲线上不 2 同的两个动点. (1)求直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H (0, h) (h ? 1) 的两条直线 l1 和 l 2 与轨迹 E 都只有一个交点, 且 l1 ? l 2 , 求 h 的值.
32 / 46
2

5、(2010 广东理 21) 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) 是平面直角坐标系 xOy 上的两点, 现定义由点 A 到点 B 的一种折线距 离 ? ( A, B) 为: ? ( A, B) ? x2 ? x1 ? y2 ? y1 ,对于平面 xOy 上给定的不同两点 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) ,
(1)若点 C ( x, y ) 是平面 xOy 上的点,试证明: ? ( A, C ) ? ? (C , B) ? ? ( A, B) ; (2)在平面 xOy 上是否存在点 C ( x, y ) ,同时满足 ① ? ( A, C ) ? ? (C , B) ? ? ( A, B) ;② ? ( A, C ) ? ? (C, B) 若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.

6、 (2011 广东理 19)
33 / 46

设圆 C 与两圆 ( x ? 5 ) 2 ? y 2 ? 4 , ( x ? 5 ) 2 ? y 2 ? 4 中的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M ( 的坐标.

3 5 4 5 , ) , F ( 5,0) ,且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时点 P 5 5

7、 (2011 广东理 21)
在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L : y ?

1 2 x .实数 p ,q 满足 p 2 ? 4q ? 0 , x1 , x2 4

是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,记 ?( p, q) ? max{x1 , x2 } . (1) 过点 A( p 0 ,

1 2 p 0 ) ( p0 ? 0) 作 L 的切线交 y 轴于点 B .证明:对线段 AB 上的任一点 4

Q( p, q) ,有 ? ( p, q) ?

p0 2



2 (2)设 M (a, b) 是定点,其中 a , b 满足 a ? 4b ? 0 , a ? 0 ,过 M (a, b) 作 L 的两条切线 l1 ,

l 2 ,切点分别为 E ( p1 ,

1 2 1 2 p1 ) , E ?( p 2 , p 2 ) , l1 , l 2 与 y 轴分别交于 F , F ? .线段 EF 上 4 4

异于两端点的点集记为 X .证明: M (a, b) ? X ? p1 ? p 2 ? ? (a, b) ? (3)设 D ? {( x, y ) y ? x ? 1, y ? 为 ? min )和最大值(记为 ? max ).

p1 2



1 5 ( x ? 1) 2 ? } . 当点 ( p, q) 取遍 D 时, 求 ? ( p, q) 的最小值(记 4 4

34 / 46

8、( 2012 广东理 20)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于不同的两 点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在, 请说明理由。
2 2

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e= ,且椭圆 C 2 a b 3

35 / 46

文科

1、( 2013 年文科 20 题)
已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 . 设 2

P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点.
(1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

d?
【解析】 (1)依题意

0?c?2 2

?

3 2 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去)

2 ? 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ;

(2)设点

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y 0 ) ,

由x

2

? 4 y ,即

y ?

1 1 2 x , ? x 4 得y ? 2 . y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) 2 ,

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为

y?


x1 1 x ? y1 ? x12 2 2 .
x 1 2 y ? 1 x ? y1 x1 2 4 , ∴ .
l1



y1 ?

∵点

P( x0 , y 0 )

在切线 上,



y0 ?

x1 x0 ? y1 2 .



同理,

y0 ?

x2 x0 ? y 2 2 . ②
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
y0 ? x x0 ? y 2 .

综合①、②得,点

的坐标都满足方程

36 / 46

∵经过

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的,
y0 ? x x0 ? y x x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2 ,即 0

∴直线 AB 的方程为

(3)由抛物线的定义可知 所以

AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1



AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1

? x2 ? 4 y ? 2 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 2 ? 0 , x x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 联立 ? 0 ,消去 x 得
2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
2 0

2

?当

y0 ? ?

1 9 AF ? BF 2 时, 取得最小值为 2

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2、( 2012 年文科 20 题)
在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C1 : 且在 P(0 , 1) 在 C1 上。 (1)求 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4x 相切,求直线 l 的方程 【解析】 (1)由题意得: b ? 1, c ? a ? b ? 1 ? a ?
2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点 F1 (?1, 0) , a 2 b2

2, b ? c ? 1

x2 ? y2 ? 1 C 1 2 故椭圆 的方程为:
(2)①设直线 l : x ? m ,直线 l 与椭圆

C1 相切 ? m ? ? 2

直线与抛物线

C2 : y 2 ? 4x 相切 ? m ? 0 ,得: m 不存在

②设直线 l : y ? kx ? m

直线 l 与椭圆

C1 相切 ? (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m 2 ?2 ? 0 两根相等

? ?1 ? 0 ? m2 ? 2k 2 ? 1
C2 : y 2 ? 4x 相切 ? k 2 x2 ? 2(km ? 2) x ? m 2 ? 0 两根相等

直线与抛物线

? ?2 ? 0 ? km ? 1
2 2 2 ,m ? 2 k ? ? ,m ? ? 2 ? l : y ? ? ( x ? 2) 2 2 2 或

k?
解得:

38 / 46

3、( 2011 年文科 21 题)
在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足 ∠MPO=∠AOP (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T(1,-1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T(1,-1)且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜率 k 的取值范围。 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

? ?MPQ ? ?AOP,? MP ? l , 且 | MO |?| MP | .
x 2 ? y 2 ?| x ? 2 |,

因此



y 2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1).



另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧) 。

? MQ 为线段 OP 的垂直平分线,
??MPQ ? ?MOQ.
又? ?MPQ ? ?AOP,??MOQ ? ?AOP. 因此 M 在 x 轴上,此时,记 M 的坐标为 ( x,0). 为分析 M ( x,0)中x 的变化范围,设 P(?2, a) 为 l 上任意点 (a ? R).
39 / 46

由 | MO |?| MP |

(即

| x |? ( x ? 2) 2 ? a 2

)得,

1 x ? ?1 ? a 2 ? ?1. 4
故 M ( x,0) 的轨迹方程为

y ? 0, x ? ?1



综合①和②得,点 M 轨迹 E 的方程为

?4( x ? 1), x ? ?1, y2 ? ? x ? ?1. ?0,

(2)由(1)知,轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成(见图 3) :

E1 : y2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1) ;
E2 : y ? 0, x ? ?1.
? 3 ? D ? ? , ?1? H ? E ? 4 ?。 1 时,过T作垂直于 l 的直线,垂足为 T ? ,交 E 于 当 1
40 / 46

再过 H 作垂直于 l 的直线,交 l于H ?.

? 因此, | HO |?| HH | (抛物线的性质) 。 ? | HO | ? | HT |?| HH ? | ? | HT |?| TT ? |? 3 (该等号仅当 H ?与T ? 重合(或 H 与 D 重合)
时取得) 。



H ? E2 时,则 | HO | ? | HT |?| BO | ? | BT |? 1 ? 5 ? 3.

? 3 ? ? ? , ?1? . ? 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时点 H 的坐标为 ? 4
(3)由图 3 知,直线 1 的斜率 k 不可能为零。

l



l1 : y ? 1 ? k ( x ? 1)(k ? 0).
4 ?4 ? 1 y 2 ? y ? ? ? 8 ? ? 0. ( y ? 1) ? 1, 代入E1 k ?k ? k 的方程得:
2

x?


16 ?4 ? ?4 ? ? ? 2 ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? 2 ? ? 28 ? 0. k ?k ? ?k ? 因判别式
所以 1 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。

l

又由 E2 和 1 的方程可知,若 1 与 E2 有交点,

l

l

k ?1 1 ? k ?1 ? ,0 ? , 且 ? ?1.即当 ? ? k ? 0时, l1与E2 ? k 2 ? 则此交点的坐标为 ? k 有唯一交点

? k ?1 ? ,0? ? ? k ? ,从而 l1 表三个不同的交点。
1 ( ??, ? ] ? (0, ?? ). 2

l 斜率k 的取值范围是 因此,直线 1

41 / 46

4、( 2010 年文科 21 题)
已知曲线 Cn:y ? nx2 ,点 P n ( xn , yn )( xn ? 0, yn ? 0) 是曲线 Cn 上的点(n=1,2,?). (1)试写出曲线 Cn 在点 P n 处的切线 l n 的方程,并求出 l n 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; ( 2 )若原点 O (0, 0)到 ln 的距离与线段 P nQn 的长度之比取得最大值,试求试点 P n 的坐标

( xn , yn );
(3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 P n 的坐标, 【解析】 (1) y ' ? 2nx ,

ln 的切线斜率 kn ? 2nxn , ln 的方程为 y ? yn ? 2nxn ( x ? xn ) ,

当 x=0 时,

y ? ?nxn2 ? ? yn ,? Q(0, ? yn ) ;
d? | ?nxn 2 | 4n 2 xn 2 ? 1 ? yn 4nyn ? 1


(2)原点 O 到

ln 的距离

| Pn Qn |? xn 2 ? 4 yn 2 ?

yn ? 4 yn 2 n ,
1 yn ? 4 yn 2 n ? 8 yn 2 ? yn yn ? 16nyn3 n

yn d ? ? | Pn Qn | 4nyn ? 1

? 8?

1 1 ? 16nyn nyn

?

1 8 ? 2 16

?

1 4


1 1 1 1 1 1 ? 16nyn , yn ? xn 2 ? 2 , xn ? Pn ( , ) ny 4n , 2n , 2n 4n ; 4n 此时 n

(3) n?1

?|

s

(m ? 1) xn ? (k ? 1) yn |?| ms ? ks | 2

42 / 46

s | m ?1 ? k ?1 | s 1 m ?1 k ?1 ? ?| ms ? ks | ? ? | ? |?| ms ? ks | ? 2 4n 4n n n ?1 n ?1
s

?| m ? 1 ? k ? 1 | ?
n ?1

1 2 n

?| ms ? ks | ? ?
n ?1

s

1 2 n

?

| m? k | s | m ?1 ? k ?1 |

| m? k| s


| m ?1 ? k ?1 |

?

| m ? k | ( m ? 1 ? k ? 1) s | m ? 1 ? k ? 1 | ( m ? 1 ? k ? 1)

?

1 1 | m ? k | ( m ? k) s ? ? n ? n ?1 ? s |m?k | 2 n n ? n ? 1 ,∵ ,



?2
n ?1

s

1 n

? (1 ? 0) ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( s ? s ? 1)

? s ,得证。

43 / 46

5、( 2009 年文科 19 题)
已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 2

G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点

Ak .
(1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 【解析】 (1)设椭圆 G 的方程为: a ( a ? b ? 0 )半焦距为 c;

? 2a ? 12 ? ? ? a?6 ?c 3 ? ? ? ?c ? 3 3 , ?b2 ? a 2 ? c2 ? 36 ? 27 ? 9 a 2 ? 则 , 解得 ?
x2 y 2 ? ?1 所求椭圆 G 的方程为: 36 9 .

(2 )点

AK 的坐标为 ? ?K , 2?

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2
2 2 C (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 k 外,

C 若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k f 0 可知点(-6,0)在圆 k 外;
2 2

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.

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6、( 2007 年文科 19 题)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切 于坐标原点 O ,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的 长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1) 设圆 C 的圆心为 (m,n)

? ? m ? ?n ? ? n? 2 ? 2 2 则 ?
所求的圆的方程为 (2) 由已知可得

?m ? ?2 ? n?2 解得 ?
( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8
a?5

2a ? 1 0

椭圆的方程为 假设存在 Q 点

x2 y 2 ? ?1 25 9 , 右焦点为 F( 4,0) ;

? ?2 ? 2
2

2 cos ? , 2 ? 2 2 sin ?

? 使 QF ? OF ,
2 2

? ?2 ? 2

2 cos ? ? 4 ? 2 ? 2 2 sin ?

? ?

?

2

?4
代入 sin ? ? cos ? ? 1 得:

整理得

sin ? ? 3cos ? ? 2 2

10cos ? ? 12 2 cos? ? 7 ? 0
2

cos ??


?1 2 2? 10

8 ? 12 2 ? ? 10

2 2 ? ?1

因此不存在符合题意的 Q 点

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7、( 2008 年文科 20 题)
设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图 6 所示,过点 2b 2 b 2

F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经
过椭圆的右焦点 F 1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2) 设 A,B 分别是椭圆长轴的左、 右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P , 使得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐 标) .

【解析】 (1)由 x ? 8( y ? b) 得
2

y?

1 2 x ?b 8 ,

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) ,

y'?

1 x 4 , y ' |x ? 4 ? 1 ,

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 ,

? F1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b, 0) , 令 y ? 0得 x ? 2 ? b ,
x2 ? y2 ? 1 2 ? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为 2 和 x ? 8( y ? 1) ;

? 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一个, (2)
同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。

1 ( x, x 2 ? 1) 8 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和 ??? ? ??? ? 1 1 4 5 2 PA?PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 ( 2,0) , 8 64 4 。
关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个,
2

因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。

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