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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2:课时跟踪检测(十七) 数学归纳法 Word版含解析

课时跟踪检测(十七) 数学归纳法 层级一 1.设 Sk= A.Sk+ C.Sk+ 学业水平达标 ) 1 1 1 1 + + +…+ ,则 Sk+1 为( 2k k+1 k+2 k+3 B.Sk+ 1 2k+2 1 1 - 2k+1 2k+2 1 1 + 2k+1 2k+2 1 1 - 2k+2 2k+1 1 1 + +… k+1 k+2 D.Sk+ 解析:选 C 因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由 Sk= 1 + ,① 2k 1 1 1 1 1 得 Sk+1= + +…+ + + .② 2k 2k+1 2(k+1) k+2 k+3 由②-①,得 Sk+1-Sk= = 1 1 1 + - 2k+1 2(k+1) k+1 1 1 1 1 - .故 Sk+1=Sk+ - . 2k+1 2(k+1) 2k+1 2(k+1) 1 1 1 2.利用数学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n <n(n≥2,n∈N*)的过程中,由 n 2 3 2 -1 =k 变到 n=k+1 时,左边增加了( A.1 项 C.2k -1 ) B.k 项 项 D.2k 项 1 解析:选 D 当 n=k 时,不等式左边的最后一项为 k ,而当 n=k+1 时,最后一项 2 -1 为 1 1 = k ,并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加 1,故 2 -1 2 -1+2k k+1 增加了 2k 项. 3.一个与正整数 n 有关的命题,当 n=2 时命题成立,且由 n=k 时命题成立可以推 得 n=k+2 时命题也成立,则( ) A.该命题对于 n>2 的自然数 n 都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与 k 取值无关 D.以上答案都不对 解析:选 B 由 n=k 时命题成立可推出 n=k+2 时命题也成立,又 n=2 时命题成立, 根据逆推关系,该命题对于所有的正偶数都成立,故选 B. 4.对于不等式 (1)当 n=1 时, n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下: 12+1<1+1,不等式成立. k2+k < k + 1 ,则当 n = k + 1 时, (2) 假设当 n = k(k∈N*) 时,不等式成立,即 (k+1)2+(k+1)= k2+3k+2< (k2+3k+2)+k+2= (k+2)2=(k+1)+1, ∴n=k+1 时,不等式成立,则上述证法( A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析:选 D 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的归纳假设,故选 D. 5. 设 f(n)=5n+2×3n 1+1(n∈N*), 若 f(n)能被 m(m∈N*)整除, 则 m 的最大值为( - ) ) A.2 C.8 解析:选 C B.4 D.16 f(1)=8,f(2)=32,f(3)=144=8×18,猜想 m 的最大值为 8. 6.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数 n,总有 2n>n3”时,验证第一步不等式 成立所取的第一个值 n0 最小应当是________. 解析:∵210=1 024>103,29=512<93,∴n0 最小应为 10. 答案:10 1 1 1 1 1 7.用数学归纳法证明 2+ 2+…+ ,假设 n=k 时,不等式成立,则 2> - 2 3 (n+1) 2 n+2 当 n=k+1 时,应推证的目标不等式是____________________________________. 解析:观察不等式中分母的变化便知. 1 1 1 1 1 1 答案: 2+ 2+…+ + > - 2 3 (k+1)2 (k+2)2 2 k+3 8.对任意 n∈N*,34n 2+a2n + +1 都能被 14 整除,则最小的自然数 a=________. 解析:当 n=1 时,36+a3 能被 14 整除的数为 a=3 或 5;当 a=3 且 n=2 时,310+35 不能被 14 整除,故 a=5. 答案:5 9.已知 n∈N*,求证 1· 22-2· 32+…+(2n-1)· (2n)2-2n· (2n+1)2=-n(n+1)(4n+3). 证明:(1)当 n=1 时,左边=4-18=-14=-1×2×7=右边. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时成立,即 1· 22-2· 32+…+(2k-1)· (2k)2-2k· (2k+1)2= -k(k+1)(4k+3). 则当 n=k+1 时, 1· 22-2· 32+…+(2k-1)· (2k)2-2k· (2k+1)2+(2k+1)· (2k+2)2-(2k+2)· (2k+3)2 =-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)· (-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7) =-(k+1)· [(k+1)+1][4(k+1)+3], 即当 n=k+1 时成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*结论成立. n 1 1 1 1 10.用数学归纳法证明 1+ ≤1+ + +…+ n≤ +n(n∈N*). 2 2 3 2 2 3 1 3 证明:(1)当 n=1 时, ≤1+ ≤ ,命题成立. 2 2 2 k 1 1 1 1 (2)假设当 n=k(k∈N*)时命题成立,即 1+ ≤1+ + +…+ k≤ +k, 2 2 3 2 2 则当 n=k+1 时, k+1 k 1 1 1 1 1 1 1 1+ + +…+ k+ k + k +…+ k k>1+ +2k· k 1=1+ . 2 3 2 2 +1 2 +2 2 2 + 2 +2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又 1+ + +…+ k+ k + k +…+ k < +k+2k· k= +(k+1), k 2 2 3 2 2 +1 2 +2

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