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圆锥曲线精析精练01


圆锥曲线精析精练(一)
1. 过 抛 物 线 y
2

? 4 x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两 点 , 若
( ) B

x1 ? x2 ? 6 ,则 AB 的值为
A.10

B. 8 C. 6 D. 4 x2 y2 2.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点.在△ 16 9 AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为( A.6 C.4 B.5 D.3 )

解析:根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16-10 =6. 答案:A x2 y2 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭 k+1 3-k

3.(2012· 福建省宁德市质量检查)已知方程 圆,则 k 的取值范围是( B ) A.k>1 或 k<3 B.1<k<3 C.k>1 D.k<3

3-k>0 ? ? x2 y2 解析:因为方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,所以?k+1>0 k+1 3-k ? ?k+1>3-k 1<k<3,故选 B. 4.“ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的 A.必要但不充分条件 C.充分必要条件
2 2 2 2

,解得

(

)

B.充分但不必要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 c2 解析: 若 ax +by =c 表示双曲线, 即 + =1 表示双曲线, 则 <0, 这就是说“ab<0” c c ab a b
是必要条件,然而若 ab<0,c 可以等于 0,即“ab<0”不是充分条件. 答案:A 5.(2013· 襄阳模拟)若直线 l:mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点(m,n)的 x2 y2 直线与椭圆 + =1 的交点个数为( 9 4 A.至多一个 C.1 解析:∵l 与圆 O 没有交点,∴ 心,以 2 为半径的圆内. ) B.2 D.0 |-4| m +n
2 2>2.即

m2+n2<4,即点(m,n)在以(0,0)为圆

x2 y2 ∵椭圆 + =1 中,b=2. 9 4 x2 y2 ∴点(m,n)一定在椭圆 + =1 内部. 9 4 故过点(m,n)的直线与椭圆一定有两个交点. 答案:B 6 .已知双曲线 x - = 1 的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 , P 为双曲线右支上一点,则 3
2

y2

???? ???? PA1 · PF2 的最小值为
A.-2 C.1 81 B.- 16 D.0

(

)

解析:设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0)、F2(2,0),则有 =x -1,y = 3 3(x -1), PA1 · PF2 =(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y =x +3(x -
2

y2

2

2

????

????

2

2

2

???? ???? 1 2 81 2 1)-x-2=4x -x-5=4(x- ) - ,其中 x≥1.因此,当 x=1 时, PA1 · PF2 取得最 8 16
小值-2. 答案:A 7.设椭圆 + =1 和双曲线 -x =1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的一 2 m 3 个交点,则 cos∠F1PF2 的值为 A. C. 1 4 2 3 1 B. 3 1 D.- 3 ( )

x2 y2

y2

2

解析:由题意可知 m-2=3+1,解得 m=6. 法一: 由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点 P 为第一象限内的点, F1(0,-2),F2(0,2),

x y y 2 3 2 2 联立 + =1 与 -x =1 组成方程组, 解得 P( , ). 所以由两点距离公式计算得|PF1| 2 6 3 2 2
= 6+ 3,|PF2|= 6- 3. 又|F1F2|=4,所以由余弦定理得 |PF1| +|PF2| -|F1F2| 1 cos∠F1PF2= = . 2|PF1|·|PF2| 3 法二: 由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点 P 为第一象限内的点, F1(0,-2).F2(0,2), 由题意得|PF1|+|PF2|=2 6,|PF1|-|PF2|=2 3,|F1F2|=4,解得|PF1|= 6+ 3,|PF2|
2 2 2

2

2

2

1 = 6- 3,同上由余弦定理可得 cos∠F1PF2= . 3 答案:B 8.(2013· 四川省成都 4 月模拟)已知定点 A,B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3, 则|PA|的最小值为( C ) 1 3 A. B. 2 2 7 C. D.5 2 解析:由|PA|-|PB|=3 知 P 点的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线一支(以 B 为焦点的一 3 7 支),因为 2a=3,2c=4,所以 a= ,c=2,所以|PA|min=a+c= ,故选 C. 2 2

9.以点 (1, ?1) 为中点的抛物线 y 2 ? 8x 的弦所在的直线方程为( ( A) x ? 4 y ? 3 ? 0 (B) x ? 4 y ? 3 ? 0 (C ) 4 x ? y ? 3 ? 0 ( D) 4 x ? y ? 3 ? 0
3 A. 4 C.3 解析:法一:(特殊值法) 3 4



→ → 10.设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则OA· OB等于( B.-

)

D.-3

1 ? ?1 ? ?1 ? 抛物线的焦点为 F? ?2,0?,过 F 且垂直于 x 轴的直线交抛物线于 A?2,1?,B?2,-1?, 3 → → ?1 ? ?1 ? 1 ∴OA· OB=?2,1?· ?2,-1?=4-1=-4. → → 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则OA· OB=x1x2+y1y2. p2 1 由抛物线的过焦点的弦的性质知:x1x2= = , 4 4 3 → → 1 y1y2=-p2=-1.∴OA · OB= -1=- . 4 4 答案:B

11.已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d,且点 P 在 y 轴上的射 7 影是 M,点 A( ,4),则|PA|+|PM|的最小值是( 2 A. C. 7 2 9 2 ) B. 4 D. 5

2

1 7 2 解析:设抛物线 y =2x 的焦点为 F,则 F( ,0),又点 A( ,4)在抛物线的外侧,抛物 2 2

1 1 线的准线方程为 x=- ,则|PM|=d- ,又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,所以|PA|+ 2 2 9 |PM|≥ . 2 答案:C 12.抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A,B 两点,若△ 3 3
2

x2 y2

ABF 为等边三角形,则 p=________.
解析:抛物线的准线方程为 y=- ,设 A,B 的横坐标分别为 xA,xB,则|xA| =|xB| = 2 3 3+ ,所以|AB|=|2xA|.又焦点到准线的距离为 p,由等边三角形的特点得 p= |AB|,即 4 2 3 p p2= ×4×(3+ 2),所以 p=6. 4 4 答案:6

p

2

2

p2

13.(人教 A 版教材习题改编)直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为 9 4 ( A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定 ).

x2 y2

解析 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1), 而点(1,1)在椭圆内部, 故直线与椭 圆相交. 答案 A 8 3 15.两条渐近线为 x+2y=0,x-2y=0,则截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线方 3 程为________. x 解析:∵渐近线为 ± y=0, 2 b 1 x2 ∴a= .设双曲线为 -y2=λ,即 x2-4y2=4λ. 2 4 把 y=x-3 代入得:3x2-24x+36+4λ=0, 16 64 64-48- λ?= ,解得 λ=1, ∴2? 3 ? 3 ? x2 ∴方程为 -y2=1. 4 x2 答案: -y2=1 4

15.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以角 B 为 直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( 3-1 A. 2 1+ 5 C. 4 ) B. D. 5-1 2 3+1 4

x2 y2 a b

-1± 5 2 2 2 2 2 2 2 解析 根据已知 a +b +a =(a+c) ,即 c +ac-a =0, 即 e +e-1=0,解得 e= , 2 故所求的椭圆的离心率为 答案 B 5-1 . 2

→ → 17.以下四个关于圆锥曲线的命题中:①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若|PA|-|PB |=k,则动点 P 的轨迹为双曲线;②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原 → 1 → → 点,若OP= (OA+OB),则动点 P 的轨迹为椭圆;③方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别 2 x2 y2 x2 作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线 - =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点. 25 9 35 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 解析:①错误,当 k>0 且 k<|AB|,表示以 A、B 为焦点的双曲线的一支;当 k>0 且 k=|AB|时表示一条射线;当 k>0 且 k>|AB|时,不表示任何图形;当 k<0 时;类似同 上.②错误,P 是 AB 中点,且 P 到圆心与 A 的距离的平方和为定值.故 P 的轨迹应 1 为圆.③方程两根为 和 2,可以作为椭圆和双曲线的离心率,故正确.④由标准方程 2 易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(± 34,0),故正确. 答案:③④ 18. P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M、N 分别是双曲线

x2 y2 a b
1 5

E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 .
(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 双曲线上一点,满足 OC =λ

??? ?

??? ? ??? ? OA + OB ,求 λ 的值.

x2 y2 解:(1)点 P(x0,y0)(x≠±a)在双曲线 2- 2=1 上, a b
有 2- 2=1.

x2 y2 0 0 a b

由题意又有
2

1 = , x0-a x0+a 5 ·
2 2 2 2 2

y0

y0

可得 a =5b ,c =a +b =6b , 则 e= =
2

c a

30 . 5
2 2

?x -5y =5b ? (2)联立? ?y=x-c ?

,得 4x -10cx+35b =0,

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 5c ? ?x +x = 2 , 则? 35b xx= . ? ? 4
1 2 2 1 2



设 OC =(x3,y3), OC =λ OA + OB ,即? 又 C 为双曲线上一点,即 x3-5y3=5b , 有(λ x1+x2) -5(λ y1+y2) =5b .
2 2 2 2 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ?x3=λ ?y3=λ ?

x1+x2, y1+y2.

化简得:λ (x1-5y1)+(x2-5y2)+2λ (x1x2-5y1y2)=5b , 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x1-5y1=5b ,
2 2 x2 2-5y2=5b . 2 2 2

2

2

2

2

2

2

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)= -4x1x2+5c(x1+x2)-5c =10b , 得:λ +4λ =0,解出 λ =0,或 λ =-4
2 2 2



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