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版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用29函数模型及其应用学案理(数学教案)


2.9 函数模型及其应用 [知识梳理] 1.七类常见函数模型 1 2.指数、对数、幂函数模型的性质 3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型. (3)解模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下: 2 特别提醒:(1)“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快, 其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. (2)充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. (3)易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结 果对实际问题的合理性. [诊断自测] 1.概念思辨 (1)在(0, +∞)上, 随着 x 的增大, y=a (a>1)的增长速度会超过并远远大于 y=x (α >0) 的增长速度.( ) ) (2)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( (3)当 a>1 时,不存在实数 x0,使 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2.教材衍化 (1)(必修 A1P59T6)如果在今后若干年内,我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9%的水平,那么要达到国民经济生产总值比 1995 年翻两番的年份大约是(lg 2=0.3010,lg 3=0.4771,lg 109=2.0374,lg 0.09=-2.9543)( A.2015 年 B.2011 年 C.2010 年 D.2008 年 答案 B 2lg 2 x 解析 设 1995 年总值为 a,经过 x 年翻两番,则 a·(1+9%) =4a.∴x= ≈16. lg 1.09 故选 B. (2)(必修 A1P107T1)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准 备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) ) .( ) ) x α (4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.( x y 1.99 2 1.51 7 8 3 4.041 .5 4 7 5. 15 12 6 6.12 18.0 1 3 A.y=2x-2 C.y=log2x 答案 B 1 2 B.y= (x -1) 2 D.y=log1 x 2 解析 由题意得,表中数据 y 随 x 的变化趋势,函数在(0,+∞)上是增函数,且 y 的 变化随 x 的增大越来越快. ∵A 中函数是线性增加的函数,C 中函数是比线性增加还缓慢的函数,D 中函数是减函 数, ∴排除 A,C,D, 1 2 ∴B 中函数 y= (x -1)符合题意.故选 B. 2 3.小题热身 (1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了 2018 年春节前后,从 1 月 25 日至 2 月 11 日自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象, 如图所示, 则此 人在 1 月 30 日大约卖出了西红柿 ________千克. 答案 190 9 解析 前 10 天满足一次函数关系,设为 y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数 ? ?10=k+b, 解析式,得? ?30=10k+b, ? 20 70 20 70 190 解得 k= ,b= ,所以 y= x+ ,则当 x=6 时,y


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