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人教版2017高中数学选修2-2第一章 导数及其应用 4《生活中的优化问题举例》课件PPT_图文

1.4 生活中的优化问 题举例(2) 生活中的优化问题举例 内容:生活中的优化问题 应用: 1.磁盘的最大储存量问题 2.成本最省问题 本课主要学习生活中的优化问题。以复习上节课内容引入新 课。通过合作交流,使学生发现如何使磁盘的储存量最大、成 本最省问题,感受生活中的数学问题。本课给出2个例题和变 式,通过解决这些问题,使学生熟悉利用导数解决生活中最优 化问题的一般方法。突破将实际问题转化为数学问题,根据实 际利用导数解决生活中的优化问题这一难点。 本课采用例题与变式结合的方法巩固新知,例1是磁盘的最 大储存量问题;例2是成本最省问题。通过学习使利润最大、 用料最省、效率最高等优化问题,尝试数学建模的方法和导数 在解决实际问题中的作用,体会导数的工具性.通过对生活中 优化问题的探究过程,培养学生善于发现问题、解决问题的自 觉性,感受数学的应用价值,提高学习数学的兴趣. 问题 1 :上节课我们学习过的海报板面设计问题、利润, 问通常采取什么方法解决这一类问题呢? 问题2:这些问题的共同点是什么? 问题3:这些实际生活的问题能否用数学方法来解决?与 哪部分数学知识有关? 问题4:求函数最值的方法和步骤是什么?要用到哪些工 具? 问题5:在实际问题中求函数的最值还应该注意什么? 磁盘的最大存储量问题 问题: (1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? (2)你知道磁盘的结构吗? (3)如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢? 下面我们就来研究一下磁盘的最大存储量问题. 【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的 圆盘, 并有操作系统将其格式化成磁道和扇区 .磁道是指不同半径所 构成的同心轨道, 扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的 定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit) . 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特 所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据检索便利,磁盘格式化时 要求所有磁道要具有相同的比特数. 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之 间的环形区域. (1)是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何 信息)? 【解答】由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数. 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 R?r m ,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达 m . 由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道 2? r 必须装满,即每条磁道上的比特数可达 n . 所以,磁盘总存储量 R ? r 2? r 2? f (r ) ? m ? n ? mn r(R ? r) . (1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存储量越大. (2)为求 f (r ) 的最大值,计算 f ?(r ) ? 0 . 2? f ?(r ) ? ( R ? 2r ) . mn 令 f ?(r ) ? 0 ,解得 r ? 2 . R R R r ? r ? f ?(r ) ? 0 . f ?(r ) ? 0 ;当 当 2 时, 2 时, ? R2 R r? 因此 2 时,磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为 2 mn . 变式训练 1:在边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方 形,再把它的边沿虚线折起 (如图 ),做成一个无盖的方底箱子,箱 底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少? x 60 x 60 解法一:设箱底边长为 x cm,则箱高 h ? 60x 2 ? x 3 得箱子容积 V ( x) ? x h ? 2 2 60 ? x 2 cm, (0 ? x ? 60) . 3x 2 所以, V ?( x) ? 60 x ? 2 (0 ? x ? 60) . 3x 2 令 V ?( x) ? 60 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去) , x ? 40 , 所以, V (40) ? 16000 (cm3) . 60) 时, V ( x) 仅此一个极大值, 由题意可知,当 x ? (0, 因此,16000 是最大值. 答:当 x ? 40 cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16000cm3. 解法二:设箱高为 x cm,则箱底长为 (60 ? 2 x) cm, 2 V ( x ) ? ( 60 ? 2 x ) x (0 ? x ? 30) . 则得箱子容积 (后面同解法一,略) 由题意可知,仅此一个极大值, 因此,所以最大值出现在极值点处. 成本最省问题 例 2.甲、乙两地相距 400 千米,一汽车从甲地匀速行驶到乙 地 ,速度不得超过 100km/h.已知该汽车每小时的运输成本 t ( 元 ) 关 于 速 度 x (km/h) 的 函 数 关 系 式 是 1 1 3 4 t? x ? x ? 15 x . 19200 160 (1)当汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶时,全程运输成本为 多少元? (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多少速度行驶?并求 出此时运输成本的最小值. 解: (1)设全程运输成本为 f ( x) ,则 1 1 3 400 1 3 5 2 4 f ( x) ? ( x ? x ? 15 x) ? ? x ? x ? 6000(0 ? x ? 100) . 19200 160 x 48 2 1 5 3 2 f (60) ? ? 60 ? ? 60 ? 6000 ? 1500 (元) 当 x ? 60 km/h 时, . 48 2 1 2 ? (2) f ( x) ? 16 x ? 5 x(0 ? x ? 100) ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 80 . 80) 时

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