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【高考第一轮复习】三角函数、统计概率、数列


高考真题赏析
1、(2004 浙江·文)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? (Ⅰ)求 a1 , a 2 ; (Ⅱ)求证数列 ?an ? 是等比数列。 解析:(Ⅰ)由 S1 ?

1 (a n ? 1)( n ? N ? ). 3

1 1 ( a1 ? 1) ,得 a1 ? ( a1 ? 1) 3 3 1 ∴ a1 ? ? 2 1 1 又 S 2 ? (a 2 ? 1) ,即 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) ,得 3 3 1 a2 ? . 4 1 1 (Ⅱ)当 n>1 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 1) ? (a n ?1 ?1), 3 3



an 1 1 1 ? ? , 所以 ?an ? 是首项 ? ,公比为 ? 的等比数列. 2 2 an?1 2
1 。 3

os A ? 2、(2004 浙江·文) 在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 c
(Ⅰ)求 sin
2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(Ⅱ)若 a ?

3 ,求 bc 的最大值。

解析:(Ⅰ) sin

2

B?C ? cos 2 A 2

1 2 2 1 2 = (1 ? cos A) ? (2 cos A ? 1) 2 1 1 2 = (1 ? ) ? ( ? 1) 2 3 9 1 = ? 9

= [1 ? cos( B ? C )] ? (2 cos A ? 1)

b2 ? c2 ? a2 1 ? cos A ? (Ⅱ) ∵ 2bc 3


2 bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 , 3

又∵ a ? ∴ bc ?

3

9 . 4
3 9 9 时,bc= ,故 bc 的最大值是 . 2 4 4

当且仅当 b=c=

3、(2005 重庆·文) 加工某种零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的合格率 9 8 7 分别为 、 、 , 10 9 8
且各道工序互不影响. (Ⅰ)求该种零件的合格率; (Ⅱ)从该种零件中任取 3 件,求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的 概率. 解析: (Ⅰ)解: P ?

9 8 7 7 ? ? ? ; 10 9 8 10

(Ⅱ)解法一: 该种零件的合格品率为

7 ,由独立重复试验的概率公式得: 10 7 3 2 1 ? ( ) ? 0.1 8 9 恰好取到一件合格品的概率为 C 3 ? , 10 10 3 3 至少取到一件合格品的概率为 1 ? ( ) ? 0.973 . 10
解法二:
1 恰好取到一件合格品的概率为 C 3 ?

7 3 2 ? ( ) ? 0.189 , 10 10
7 3 7 3 3 7 3 ? ( ) 2 ? C32 ( ) 2 ? ? C3 ( ) ? 0.9 7 3 . 10 10 10 10 10

至少取到一件合格品的概率为

1 C3 ?

0<?< ), 4、(2006 山东·文) 已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? )( A>0,?>0, 且 y=f(x)
2

?

2

的最大值为 2,其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)计算 f(1)+f(2)+?+f(2008). 解析: (I) y ? A sin (? x ? ? ) ?
2

A A ? cos(2? x ? 2? ). 2 2

y ? f ( x) 的最大值为 2, A ? 0 .
?


其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? ? 0 , 1 2? ? ? ( ) ? 2, ? ? . 2 2? 4 2 2 ? ? ? f ( x) ? ? cos( x ? 2? ) ? 1 ? cos( x ? 2? ) . 2 2 2 2

A A ? ? 2, A ? 2. 2 2

y ? f ( x) 过 (1, 2) 点,

? cos( x ? 2? ) ? ?1. 2 ?

?

?

2

x ? 2? ? 2k? ? ? , k ? Z ,

? 2? ? 2k? ?

?
2

, k ? Z,

?? ? k? ?

?
4

,k ? Z, ,

又∵ 0 ? ? ?

?
2

?? ?

?
4

.

(II)解法一: ? ?

?
4



? y ? 1 ? cos(

?

x ? ) ? 1 ? sin x. 2 2 2

?

?

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 .


y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,

? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.
解法二:

f ( x) ? 2sin 2 (

?
4

x ? ?)

? 3? ? f (1) ? f (3) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2, 4 4
f (2) ? f (4) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 (? ? ? ) ? 2, 2

?

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 4.
又 y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,

? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.
5、(2006 山东·文) 盒中装着标有数字 1,2,3,4 的卡片各 2 张,从盒中任意任取 3 张,每张卡片被抽出的可能性都相等,求: (Ⅰ)抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率; (Ⅱ)抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概念; (Ⅲ)抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率. 解析: (I) “抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A,由题意

P( A) ?

1 2 2 1 C2 C6 ? C2 C6 9 ? 3 C8 14

(II) “抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3”的事件记为 B,则

P( B) ?

2 1 C2 C6 3 ? 3 C8 28

(III) “抽出的 3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为 C, “抽出的 3 张卡片上有两个数字 相同”的事件记为 D,由题意,C 与 D 是对立事件,因为
1 2 1 C4 C3 C6 3 P( D) ? ? 3 C8 7

所以

P(C ) ? 1 ? P( D) ? 1 ?

3 4 ? . 7 7

6、(2007 山东·文) 在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ;

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C ? ?3 7 解析: (1) tan C ? 3 7, cos C
(2)若 CB CA ? 又

sin 2 C ? cos2 C ? 1

1 . 8 tan C ? 0 ,? C 是锐角. 1 ? cos C ? . 8 5 (2) CB CA ? , 2 5 ? ab cos C ? , 2 ? ab ? 20 . 又 a?b ?9
解得 cos C ? ?

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 . ? a 2 ? b2 ? 41. ?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .
?c ? 6 .
7、(2007 山东·文) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知

S3 ? 7 ,且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列.
(1)求数列 {an } 的等差数列.

(2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . , 2, ,

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解析: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
解得 a2 ? 2 . 设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 ,a3 ? 2q . q

又 S3 ? 7 ,可知

2 ? 2 ? 2q ? 7 , q

即 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 , 解得 q1 ? 2,q2 ?

1 . 2

, ?q ? 2 . 由题意得 q ? 1

?a1 ? 1 .
故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . (2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 , 2, , 由(1)得 a3n?1 ? 23n

?bn ? ln 23n ? 3n ln 2
又 bn?1 ? bn ? 3ln 2n

?{bn } 是等差数列.
?Tn ? b1 ? b2 ?
?

? bn

n(b1 ? bn ) 2 n(3ln 2 ? 3ln 2) ? 2 3n(n ? 1) ? ln 2. 2

故 Tn ?

3n(n ? 1) ln 2 . 2

8、(2008 全国·文已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的 动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任 取 1 只化验. 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率. 解析:设 A 1 、 A2 分别表示依方案甲需化验 1 次、2 次。

B 表示依方案乙需化验 3 次; A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。
依题意知 A2 与 B 独立,且 A ? A 1?A 2B
1 2 1 A4 C4 C2 1 1 1 2 P( A1 ) ? 1 ? , P( A2 ) ? 2 ? , P( B) ? 3 1 ? C5 5 A5 5 C5 C3 5

P( A) ? P( A1 ? A2 B) ? P( A1 ) ? P( A2 ) P( B) ?
∴ P ( A) ? 1 ? P ( A) ?

1 1 2 7 ? ? ? 5 5 5 25

8 ? 0.72 . 25

9、(209 广东·文) 已知向量 a=? sin ? ,-2? 与 b=?1 , cos? ? 互相垂直,其中 ?=? 0, ? .

? ?

??
2?

(1) 求 sin ? 和 cos ? 的值; (2) 若 5cos ??-? ?=3 5cos ? , 0<?<

?
2

,求 cos ? 的值。

解析:? a ? b ? a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? 2 2

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

.

10、(2010 四川·文) 已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

w_w w. k#s5_ u.c o*m

(Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 解析:(1)设{an}的公差为 d ,由已知得

?3a1 ? 3d ? 6 ? ?8a1 ? 28d ? ?4
解得 a1=3,d=-1 故 an=3-(n-1)(-1)=4-n - (2)由(1)的解答得,bn=n·qn 1,于是 - Sn=1·q0+2·q1+3·q2+??+(n-1)·qn 1+n·qn. 若 q≠1,将上式两边同乘以 q,得 + qSn=1·q1+2·q2+3·q3+??+(n-1)·qn+n·qn 1. 将上面两式相减得到 - (q-1)Sn=nqn-(1+q+q2+??+qn 1)
w_w w. k#s5 _u.c o*m

qn ? 1 =nq - q ?1
n

于是 Sn=

nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1)2
n( n ? 1) 2

若 q=1,则 Sn=1+2+3+??+n=

? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1) ? ? (q ? 1) 2 所以,Sn= ? . ? n(n ? 1) (q ? 1) ? ? 2
11、(2011 全国·文) 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, 求 an 和

Sn .
解析:设 ?an ? 的公比为 q,由题设得

? a1q ? 6 ? ?6a1 ? a1q ? 30
解得 ?

? a1 ? 3 ? a1 ? 2 或? , ?q ? 2 ? q ? 3
n?1

当 a1 ? 3, q ? 2 时, an ? 3? 2

, Sn ? 3? (2n ?1) ; , Sn ? 3n ?1 .

当 a1 ? 2, q ? 3 时, an ? 2 ? 3

n?1

12、(2012 山东·理) 已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x , A cos 2x) ( A ? 0) ,函

2

数 f ( x) ? m ? n 的最大值 为 6. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 ? 个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩

?? 1 短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求 g ( x) 在 [0, 5? ] 2 24
上的值域.

. 解析: Ⅰ) f ( x ) ? m ? n

? 3 A sin x cos x ? A cos 2 x 2 3 1 ? A( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 ? ? A sin(2 x ? ) ? 因为 A ? 0 ,
由题意知 A ? 6 . (Ⅱ)由(I) f ( x) ? 6sin(2x ? ? ) 将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? 个单位后得到

?

y ? 6sin[2( x ? ? ) ? ? ] ? 6sin(2 x ? ? ) 的图象; ?? ? ? 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 1 倍,纵坐标不变,得到 2
y ? 6sin(4x ? ? ) 的图象. ?
因此

??

g ( x) ? 6sin(4x ? ? ) , ?
因为

x ?[0 , 5? ] , ??
所以

4x ? ? ?[? , 7? ] , ? ? ?
所以

sin(4x ? ? ) ?[? 1 , 1] , ? 2
所以 g ( x) 在 [0 , 5? ] 上的值域为 [?3 , 6] .

??


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