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基本不等式的应用


不等式
一、知识回顾
1.重要不等式:

a2 ? b2 ? 2ab(a、b ? R ? ),当且仅当a ? b时取" ? "号
2.基本不等式:
a?b ? ab (a、b ? R ?),当且仅当a ? b时取 " ? "号. 2

3.三个正数的算术-几何平均不等式:
≥3abc 当且 (1)如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3_______,

a=b=c 时,等号成立. 仅当______

(2)定理3:如果a,b,c∈R+,那
么 a?b?c ? 3 号成立.
3

abc

a=b=c 时,等 ,当且仅当______

4.基本不等式的推广.
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不 小于它们的几何平均,即

a1 ? a 2 ? ?? a n ≥ n ___

n

a1a 2 ?a n ,

当且仅当

a 1=a2=…=an 时,等号成立. ___________

5.两个不等式定理的常见变形 a?b 2 a 2 ? b2 ) (a ? 0, b ? 0). (1)ab ? . (2)ab ? ( 2 2
b a a ? b 2 a 2 ? b2 ) ? . (3) ? ? 2(ab>0). (4) ( a b 2 2

(5) a ? b ? 2(a ? b ).
2 2

2 a?b a ?b ? (6)1 1 ? ab ? 2 2 a ? b
2

2

上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.

二、例题解析

1 例1.若a>b>0,则 a ? 的最小值为____. ?a ? b? b
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0, 所以
1 1 1 3 ? 3 (a ? b) b ? 3, a? ? (a ? b) ? b ? (a ? b)b (a ? b)b (a ? b)b

1 即a=2,b=1时, 当且仅当 a ? b ? b ? , (a ? b)b 等号成立.

例2某房地产开发公司计划在一楼区域内建造一 个长方体公园ABCD,公园由长方体形 A1B1C1D1 的 休闲区和环形公园人行道(阴影部分)组成.已知 休闲区A1B1C1D1 的面积为4000平方米,人行道的 宽分别为4米和10米(如图)
D D1 C1 C 4m

A1 A 10m

B1 10m

4m B

(1)若设休闲区的长和宽的比

A1B1 ? x( x ? 1) B1C1

求公园ABCD所占面积S关于函数X的函 数S(x)的解析式.
D D1 C1 C 4m

A1 A 10m

B1 10m

4m B

(2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?

解:(1)设休闲区的宽为 a 米,则长为 由a
2

ax



x?

20 10 400 ,得 a ? x ,则
2

S ( x) ? (a ? 8)(ax ? 20) ? a x ? (8x ? 20)a ?160

20 10 ? 4000 ? (8x ? 20) ? ? 160 x
5 ? 80 10(2 x ? ) ? 4160 x

( x ? 1)

5 ) ? 4160 (2)S ( x) ? 80 10(2 x ? x 5 ? 80 10 ? 2 2 x ? ? 4160 x

5 =5760 当且仅当 2 x ? x 即 x ? 2.5 等号成立, 此时,a ? 40, ax ? 100.

此时, a

? 40, ax ? 100. 所以,要使公园占

占地面积最小,休闲区 A1B1C1D1 应设计长为
100米,宽为40米.

例3 如下图,把一块边长是a的正方形铁片 的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边 沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切 去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积 最大?

解答详见课本P.9——例6

练习
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2 的造价为150元,池壁每1m2的造价为120元, 问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价 是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题 转化,即建立函数关系式,然后求函数的最 值,其中用到了均值不等式定理.

解:设水池底面一边的长度为xm,水池的 总造价为l元,根据题意,得
1600 1600 l ? 240000? 720( x ? ) ? 240000? 720? 2 x ? x x

? 240000 ? 720 ? 2 ? 40 ? 297600

x=40时,l有最小值297600

1600 当x? x

,即

因此,当水池的底面是边长为40m的正方形 时水池的总造价最低,最低总造价是297600元. 评述:此题既是不等式性质在实际中的应用, 应注意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不 等式性质的适用条件.

小结:利用基本不等式解决应用题的一般步骤
(1)理解题意,设变量,设变量时一般要把所求 最大值或最小值的变量定为函数.

(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为
求函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求出函数的最值.

(4)验证相等条件,得出结论.

三、巩固练习
1、(2013高考福建文)若 的取值范围是( D ) A.[0,2] B.[-2,0] C. D. ,则

a 2、(2013高考四川文)已知函数 f ( x) ? 4 x ? x ( x ? 0, a ? 0)

在 x ? 3 时取得最小值,则 a ? 36

__________.

3、(2013高考山东文)设正实数
,则当

满足

取得最大值时,

的最大值为( C ) A.0

9 B. 8

C.2

D .

4、【2014高考福建卷文】要制作一个容积为 3 4m ,高为1m的无盖长方体容器,已知该溶
器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每 平方米10元,则该容器的最低总造价是(C )

A.80元

B.120元 C.160元

D.240元

试题分析:设长方体底面边长分别为 x ,
4 则 y ? x ,所以容器总造价为

y

4 z ? 2( x ? y ) ?10 ? 20 xy ? 20( x ? ) ? 80 x
由基本不等式得,

,当且仅当底面
为边长为2的正方形时,总造价最低,故选C.

5、【2014高考重庆文】若

log ( ? log2 ab, 则a ? b 的最小值( D ) 4 3a ? 4b)
D. C 6?4 3 7?4 3 . 6、【2014高考上海文】若实数x,y满足xy=1, 则 x ? 2 y 的最小值为_____ 2 2
2 2

6?2 3 A.

7?2 3 B.

四、课堂小结

(1)两个正数积为定值,和有最小值。
(2)两个正数和为定值,积有最大值。 应用要点:一正、二定 、三相等

五、作业
详见课本P.10习题1.1——11、12、13、14 希望同学们通过对均值不等式的再学习,在 分析问题和解决问题方面有一个再提高。在 数学知识的积累、数学能力的提高、对数学 的理解再上一个新台阶。


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