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广东省实验中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案.doc


广东实验中学 2016—2017 学年高一(上)期中考试 数
注意事项: 1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上, 用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,只交回答题卡. 一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集为 R,集合 M ? ?x | x ? 1?, P ? ? y | y ? ln x, x ? 的是( A.M=P 2.关于函数 y ? x
? 1 3



本试卷共 4 页.满分为 150 分。考试用时 120 分钟.

? ?

1 ? 或x ? e? ,则下列关系正确 e ?

) B.P ? ? M 叙述正确的是( ) C.M ? ? P D.
R

M ?P=?

A.在 ? ??, ?? ? 上单调递减 B.在 ? ??,0 ? , ?0, ?? ? 上单调递减 C.在 ? ??,0? , ? 0, ??? 上单调递增 3.函数 y ? a
x

D.在 ? ??,0? ? ? 0, ??? 上单调递减 )

?0 ? a ? 1? 的图象是(

4.下列函数中,与 y ? x 表示同一函数的是(



A. y ? C. y ?

x x
x2

B. y ? a

loga x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? loga a x (a ? 0且a ? 1)

5. 3 a ? 2 ,则 2 log3 6 ? log3 8 等于( A. 2 ? a

) C. 2 ? 5a D. a 2 ? 3a

B. a 2 ? a ? 1

6.已知函数 y ? x 2 ? 2 x ? a(a ? R) 的图象如图所示, 则下列函数与它的图象对应正确的是( )

A.

B.

C.

D.

7.函数 y ? x ? bx ? c( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围(
2

) D. b ? ?2

A. b ? ?2

B. b ? ?2

C. b ? ?2

x 8.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,则函数 f ( x) ? a 和 g ( x) ? log a (? ) 的图象只可能是(

1 x



A.

B.

C.

D.

9.已知偶函数 f ( x) 在 (??,0) 上单调递增,若 f (?1) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集是 ( ) A. (??,?1) ? (0,1) B. (??,?1) ? (1,??)

C. (?1,0) ? (0,1)

D. (?1,0) ? (1,??)

10.设 f ( x) ? lg x ? x ? 3,用二分法求方程 lg x ? x ? 3 ? 0 在 (2,3) 内的近似解的过程中得 到 f (2.25) ? 0, f (2.75) ? 0, f (2.5) ? 0, f (3) ? 0 ,则方程的根落在区间( A.(2,2.25) B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75) ) )

D.(2.75,3)

11.函数 f ( x) ? log2 (4 x ? x 2 ) 的单调递减区间是( A. (??,0) ? (4,??) C. (??,2) ? (4,??)

B. (0,4) D. ( 2,4) )

12.函数 y ? ax2 ? ax ? 3x ? 1 的图象与 x 轴有且只有一个交点, 那么 a 的值的集合为 ( A. {1,9} B. {0,1,9} C. {0}

D.{0,2,4}

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 a , b 是常数,函数 f ( x) ? ax3 ? b ln(x ? 则 f ( x) 在 (0,??) 上的最小值为 .

x 2 ? 1) ? 3 在 (??,0) 上的最大值为 10,

14.已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 ,则 f (lg 2) ? f (lg ) ? 15.已知 f ( x) 满足: x ? 4, f ( x) ? ? ? ;当 x ? 4 时, f ( x) ? f ( x ? 1) ,则

1 2

.

?1? ? 2?
.

x

f (2 ? log2 3) =

16.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f ( x ? 4) ,且当

?1? x ?[?2,0] 时, f ( x) ? ? ? ? 1 ,若在区间(-2,6)内关于 x 的方程 ? 2?

x

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0
(a ? 1) 恰有三个不同的实数根,则 a 的取值范围
.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 8 分)

2 已知 A ? x a ? x ? 2a ? 4 , B ? x x ? 5x ? 6 ? 0 ,若 A ? B ? A ,求 a 的取值范

?

?

?

?

围.

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (1)求 a 的值; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (3)判断函数 f ( x)在(2,??) 上的单调性并用定义证明你的结论.

a . 且f (1) ? 5. x

19.(本题满分 8 分) 已知奇函数 f ( x) 是定义域 [?2,2] 上的减函数, 若 f (2a ? 1) ? f (4a ? 3) ? 0 , 求实数 a 的取值范围.

20.(本题满分 12 分) 某家庭进行理财投资, 根据长期收益率市场预测, 投资债券等稳健型产品的收益与投资 额成正比, 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资 1 万元时 两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图)

(1)分别写出两种产品的收益与投资的关系; (2)该家庭有 20 万元的资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收 益,其最大收益是多少万元?

21.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) 的值满足 f ( x) ? 0(当x ? 0时) ,对任意实数 x , y 都有

f ( xy) ? f ( x) ? f (y) ,且 f (?1) ? 1, f (27) ? 9 ,当 0 ? x ? 1时,f ( x) ? (0,1) .
(1)求 f (1) 的值,判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (2)判断 f ( x) 在 (0,??) 上的单调性,并给出证明; (3)若 a ? 0 且 f (a ? 1) ? 9 ,求 a 的取值范围.
3

22.(本题满分 15 分) 对于函数 f ( x) ,若 x0 满足 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数 f ( x) 的一阶不动点;若 x0 满足
f ? f ( x0 )? ? x0 ,则称 x0 为函数 f ( x) 的二阶不动点.

(1)若 f ( x) ? 2 x ? 3 ,求 f ( x) 的二阶不动点; (2)若 f ( x) 是定义在区间 D 上的增函数,且 x0 是函数 f ( x) 的二阶不动点,求证: x0 也必 是函数 f ( x) 的一阶不动点; (3)设 f ( x) ? ex ? x ? a , a ? R ,若 f ( x) 在 ?0,1? 上存在二阶不动点 x0 ,求实数 a 的取值范 围.

广东实验中学 2016—2017 学年高一(上)期中考试(数学) 答案
1、 C 2、 B 3、C 4、D 5、 A 6、 B 7、 B 8、C 9、 A 10、C 11、D 12、B
13、-4 14、2 15、

17、解:解得 B ? {x | ?1 ? x ? 6}

1 24

16、

?

3

4, 2

?

……1 分 ……3 分 ……4 分

? A ? B ? A ,? A ? B
(1)若 A= ? 则 A ? B 成立,此时 2a ? 4 ? a , 即 a ? 4

?2 a ? 4 ? a ? (2)若 A ? ? 要 A ? B ,则需 ? a ? ?1 ? 2a ? 4 ? 6 ? ?a?4 ? 即 ?a ? ?1 ,解得 4 ? a ? 5 ? a?5 ?
综上所述: a ? (??,5) . 18、解:(1)由 f (1) ? 5 ,得: 5 ? 1 ? a

……6 分

……7 分

……8 分

?a ? 4
(2) f ( x) ? x ?

……3 分

4 x

4 ? x ? (??,0) ? (0,??) 且 f (? x) ? ?( x ? ) ? ? f ( x) x

? f ( x)为奇函数.
(3)任取: 2 ? x1 ? x2

……6 分

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

4( x2 ? x1 ) 4 4 4 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2 x1 x2
……9 分

? 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 x1 x2 ? 4

4 ?1 x1 x2
……12 分

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

? f ( x)在(2, ? ?) 上为增函数

19、解:由 f (2a ? 1) ? f (4a ? 3) ? 0

得 f (2a ? 1) ? ? f (4a ? 3) 又 f ( x)为奇函数,得? f (4a ? 3) ? f (3 ? 4a)

……2 分 ……3 分 ……4 分

? f (2a ? 1) ? f (3 ? 4a)

[?2,2]上的减函数 又 f ( x)是定义域
? 2 ? 3 ? 4a ? ? 2 ? 3 ? 4a ? 2a ? 1 ? ?2 ,即 ?3 ? 4a ? 2a ? 1 ? 2 a ? 1 ? ?2 ?
1 1 ? 解得 a的取值范围为 [ , ) 4 3
20、解: (1) 设:f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k2 x

……6 分

……8 分

? f (1) ?

1 1 ? k1 , g (1) ? ? k 2 8 2
1 1 x( x ? 0), g ( x) ? x ( x ? 0) 8 2
……6 分

即 f ( x) ?

(2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 (20 ? x) 万元. 依题意得: y ? f ( x) ? g (20 ? x) ?

x 1 ? 20 ? x (0 ? x ? 20) 8 2

……8 分 ……10 分

令t ? 20 ? x (0 ? t ? 2 5)

20 ? t 2 1 1 则y ? ? t ? ? (t ? 2) 2 ? 3 8 2 8
?当t ? 2时,即x ? 16万元时,收益最大为 3万元.
21、(1) 令x ? y ? ?1, 可得f (1) ? 1 ……12 分

……2 分

令y ? -1 ,则f (? x) ? f ( x) ? f (?1) ? f (?1) ? 1

? f ( x) ? f (? x),即f ( x)为偶函数 f ( x)在(0,??)上是增函数,证明如下 :
设: 0 ? x1 ? x2 ,? 0 ?
且 f ( x1 ) ? f (

……5 分 ……6 分

x1 ? 1 ,由题设知 0 ? x2

? x1 ? f? ?x ? ? ?1 ? 2?

x1 x ? x2 ) ? f ( 1 ) f ( x2 ) , x2 x2

? x1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 )(1 ? f ? ?x ? ?) ? 2?
又? 0 ? f ( x1 ) ? 1, f ( x2 ) ? 0 x2

……8 分

? f ( x1 ) ? f ( x2 ),故f ( x)在(0,??)上是增函数
(3)? f (27) ? 9, 而f (27) ? f (3? 9) ? f (3) ? f (9) ? [ f (3)]
3

……10 分

?[ f (3)]3 ? 9, 则f (3) ? 3 9 ? f (a ? 1) ? 3 9
? f (a ? 1) ? f (3)
……12 分

? a ? 0,? a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ? 3,即a ? 2 ?0 ? a ? 2
22、解: (1)若 f ( x) ? 2 x ? 3, 则f [ f ( x)] ? 2(2 x ? 3) ? 3 ? 4 x ? 9 ……15 分

?由f [ f ( x)] ? x, 得4 x ? 9 ? x, 解得 : x ? ?3

? f ( x) ? 2 x ? 3的二阶不动点为 x ? ?3
(2)? x0是函数f ( x)的二阶不动点

……5 分

? f [ f ( x0 )] ? x0 , 记f ( x0 ) ? t , 则f (t ) ? x0 若t ? x0 , 则由f ( x)在区间D上为增函数,有 f (t ) ? f ( x0 ),即x0 ? t , 这与假设矛盾 若t ? x0 , 则由f ( x)在区间D上为增函数,有 f (t ) ? f ( x0 ),即x0 ? t , 这与假设矛盾

?t ? x0 ,即f ( x0 ) ? x0

? x0是函数f ( x)的一阶不动点,命题得 证.

……10 分

x (3)函数 f ( x) ? e ? x ? a 在 R 上单调递增,则由(2)可知,若 f ( x) 在 ?0,1? 上存在二阶

不动点 x0 ,则 f ( x) 在 ?0,1? 上也必存在一阶不动点 x0 ;反之,若 f ( x) 在 ?0,1? 上存在一阶不 动点 x0 ,即 f ( x0 ) ? x0 ,那么 f ? f ( x0 ? ? f ( x0 ) ? x0 ,故 f ( x) 在 ?0,1? 上也存在二阶不动 点 x0 。 所以函数 f ( x) 在 ?0,1? 上存在二阶不动点 x0 等价于 f ( x) ? x 在 ?0,1? 上有解, 即方程 e ? x ? a ? x 在 ?0,1? 上有解,
x

∴ a ? ?e 在 ?0,1? 上有解,
x

由 x ? ?0,1? 可得 e x ? ?1, e?,∴ ? e x ? ?? e,?1?, ∴ a 的取值范围是 ?? e,?1? 。 ……15 分


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