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不等式(2)Microsoft Word 文档


27、不等式(2)——基本不等式
一、基础知识: 1.基本不等式(请写出几个常用的基本不等式:

2、利用基本不等式求最值:

3、算术平均数与几何平均数: 二、基础自测:

1 1.已知 f(x)=x+x -2(x>0),则 f(x)有(
A.最大值为 0 B.最小值为 0

)

C.最大值为 2 D.最小值为 2 a+b?2 a2+b2 2.设 a、b∈R,已知命题 p:a2+b2≤2ab;命题 q:? ? 2 ? ≤ 2 ,则 p 是 q 成立的(

)

A、必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数 y=log2x+logx2 的值域为( ) A.(-∞,-2] B.[2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 2 t -4t+1 4.(2010· 重庆)已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t x y 5. (2010· 山东)已知 x,y∈R*,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 三、基本题型 1、(1)设 0<x<2,求函数 y= x?4-2x?的最大值. 4 (2)求 +a 的取值范围. a-2 3 4 (3)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值. x y

2、(1)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值; (2)已知 a>0,b>0,4a+b=1,求 ab 的最大值. ?x+5??x+2? (3)设 x>-1,求函数 y= 的最值 x+1

1 1 3、(1)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:?1+a??1+b?≥9. ? ?? ? (2)证明:a4+b4+c4+d4≥4abcd.

4、围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙 要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m, 新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙总费用为 y(单位:元).

四、基础训练:
(一) 、选择题 1 当 x>1 时,关于函数 f(x)=x+ ,下列叙述正确的是( x-1 A、函数 f(x)有最小值 2 B.函数 f(x)有最大值 2 ) C.函数 f(x)有最小值 3 ) D
2 3

D.函数 f(x)有最大值 3

2.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( A、
1 3

B、

1 2

C、

3 4



1 1 3.(2010· 北京模拟)若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是( a b 1 A. 4 (二) 、填空题 3 4.已知 0<x< ,则函数 y=5x(3-4x)的最大值为________. 4 B.1 C.4 D.8

)

1 4 5.若直线 ax+by+1=0(a>0,b>0)平分圆 x2+y2+8x+2y+1=0,则 + 的最小值为________. a b (三) 、解答题 6.某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般 安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽?

五、课后作业
(一) 、选择题 3 1.设 0<x< ,则函数 y=x(3-2x)的最大值是( 2 9 A. 16 9 B. 4 C.2 ) 9 D. 8 )

1 1 2.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( a b A.8 B.4 ) B. 3-2 ) C.y=ex+4e
-x

C.1

1 D. 4

x2+2 3.函数 y= (x>1)的最小值是( x-1 A.2 3+2

C.2 3

D.2

4.下列函数中,y 的最小值为 4 的是( 4 A.y=x+ x

2?x2+3? B.y= 2 (x∈R) x +2

4 D.y=sinx+ (0<x<π) sinx )

1 a 5.(2010· 福州模拟)已知不等式(x+y)?x+ y?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( ? ? A.2 B.4 C.9 D.16 )

1 1 6.(2010· 四川)设 a>b>0,则 a2+ + 的最小值是( ab a?a-b? A.1 (二) 、填空题 B.2 C.3 D.4

7.(2010· 浙江)若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. a+b? 1 8.若 a>b>1,P= lga· lgb,Q= (lga+lgb),R=lg? 2 ? 2 ?,则 P,Q,R 的大小关系为________. 9.(2010· 聊城模拟)经观测,某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间 920v 有函数关系:y= 2 (v>0),在该时段内,当车流量 y 最大时,汽车的平均速度 v=________千米/ v +3v+1 600 小时. 10.(2010· 安徽)若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是________(写出所 1 1 有正确命题的编号).①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤ + ≥2. a b (三) 、解答题 11.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0, 1 2 求 + 的最小值. m n

12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图 如图所示),如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米 2,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出 最低总造价.


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