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1.2.1任意角的三角函数题型全归纳

1.2.1 任意角的三角函数题型全归纳 题型一、三角函数的定义及应用 【例 1】 (1)若角 α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin α=________,cos α=________, tan α=________. (2)已知角 α 的终边落在直线 3x+y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值. (3)已知角 ? 的终边过点 (m, 2m) , m ? 0 ,求角 ? 的的正弦值、余弦值. 【类题通法】 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种: 法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. 法二:注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值 sin α= b a b ,余弦值 cos α= 2 ,正切值 tan α= . a a2+b2 a +b2 (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 5 变式 1:已知角 α 的终边过点 P(12,a),且 tan α= ,求 sin α+cos α 的值. 12 变式 2:已知点 P( A. 3 1 , ? ) 在角 ? 的终边上,且 ? ? [0, 2? ) ,则 ? 的值为 2 2 B. ( ) 5? 6 2? 3 C. 11? 6 D. 5? 3 题型二、三角函数值符号的运用 cos α 【例 2】 (1)若 sin αtan α<0,且 <0,则角 α 是( tan α A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 象限. ) (2)点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在第 (3)判断下列各式的符号: ①sin 105° · cos 230° ; 2π? ②cos 3· tan? ?- 3 ?. 【类题通法】 三角函数值的符号规律 1 (1)当角 θ 为第一象限角时,sin θ>0,cos θ>0 或 sin θ>0,tan θ>0 或 cos θ>0,tan θ>0,反之也成立; (2)当角 θ 为第二象限角时,sin θ>0,cos θ<0 或 sin θ>0,tan θ<0 或 cos θ<0,tan θ<0,反之也成立; (3)当角 θ 为第三象限角时,sin θ<0,cos θ<0 或 sin θ<0,tan θ>0 或 cos θ<0,tan θ>0,反之也成立; (4)当角 θ 为第四象限角时,sin θ<0,cos θ>0 或 sin θ<0,tan θ<0 或 cos θ>0,tan θ<0,反之也成立. 变式 3:若 sin 2α>0,且 cos α<0,试确定 α 终边所在的象限. 变式 4:在△ ABC 中,若 sinA· cosB· tanC<0,则△ ABC 的形状是 ( A.锐角三角形 C.直角三角形 变式 5:函数 y ? sin x cos x tan x 的值域 ? ? | sin x | | cos x | | tan x | ) B.钝角三角形 D.不能确定 题型三、诱导公式一的应用 【例 3】 计算下列各式的值: (1)sin(-1 395° )cos 1 110° +cos(-1 020° )sin 750° ; 11π? 12π (2)sin? tan 4π. ?- 6 ?+cos 5 · 【类题通法】 诱导公式一的应用策略 应用诱导公式一时,先将角转化到 0~2π 范围内的角,再求值.对于特殊角的三角函数值一定要熟记. 变式 6:求下列各式的值: (1)sin 15π? 25π +tan? ?- 4 ?; 3 (2)sin 810° +cos 360° -tan 1 125° . 19 ? (3)sin? ?- 6 π?=________. 变式 7:化简下列各式: (1)acos 180° +bsin 90° +ctan 0° ; (2)p2cos 360° +q2sin 450° -2pqcos 0° ; π 3π (3)a2sin -b2cos π+absin 2π-abcos . 2 2 题型四 角的对称问题 π 例 4.已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α=( 3 A.- 3 2 B. 3 2 1 C.- 2 1 D. 2 2 ) 变式 8: . 在直角坐标系中, O 是原点, A( 3, 1), 将点 A 绕 O 逆时针旋转 90° 到 B 点, 则 B 点坐标为__________. 题型五、三角函数线的作法 3π 【例 5】 作出 的正弦线、余弦线和正切线. 4 【类题通法】 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 x 轴的垂线,得到垂足,从 而得正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从 A(1,0)点引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于一点 T,即可得到正切线 AT. 9π 变式 9:作出- 的正弦线、余弦线和正切线. 4 题型六、利用三角函数线比较大小 2π 4π 2π 4π 2π 4π 【例 6】 分别比较 sin 与 sin ;cos 与 cos ;tan 与 tan 的大小. 3 5 3 5 3 5 【类题通法】 利用三角函数线比较大小的步骤 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长 度;③确定有向线段的正负. π π π 3π 变式 10:设 <α< ,试比较角 α 的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果 <α< ,上述长度关系又如何? 4 2 2 4 题型七、利用三角函数线解不等式 3 【例 7】 利用三角函数线,求满足下列条件的 α 的范围. 1 3 (1)sin α<- ;(2

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