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2016山东高考理科数学试卷及答案


绝密★启用前

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结 束后,将将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号.答案卸载试卷上无效. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使 用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的

-2i ,其中 i 为虚数为单位,则 z = (1)若复数 z 满足 2z + z = 3
(A) 1 + 2i

- 2i (B) 1

(C)-1 + 2i

- 2i (D)-1

【解析】 设 z = a + bi, (a, b ∈ R) , 则 2z + z = z + ( z + z) = a + bi + 2a = 3a + bi = 3 -2i , 所以 a = 1, b =-2 ,故选(B)

(2)已知集合 A = y y = 2x , x ∈R , B = {x x2 -1 < 0},则 A ? B =

{

}

-1,1) (A) (

(B) (0,1)

-1,+∞ ) (C) (

(D) (0,+∞)

( 0, +∞ ) ,B = (-1, 1) -1,+∞ ) ,故选(C) 【解析】 由题意 A = ,所以 A ? B = (
(3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时) ,制成了如图所示的频率分布

] [1 7 .5 ,2 0 ) [20,22.5), 直方图,其中自习时间的范围是 [ 1 7 .5 ,3 0 ,样本数据分组为 , [22.5,25) , [25,27.5) , [27.5,30] .根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于
22.5 小时的人数是 (A)56 (B)60 (C)120 (D)140
频率/组距

【解析】 由图可知组距为 2.5, 每周的自习时间少于 22.5 小时的频率为

0.16 0.10 0.08 0.04 0.02

(0.02+ 0.1 ) ×2.5 = 0.30
所以,每周自习时间不少于 22.5 小时的人数是 200 × ( 1 - 0.30) = 140 人,故选 D.

o

17.5

20

22.5 25

27.5 30 自习时间/小时

? x? y?2 ? 2 2 (4)若变量 x, y 满足 ?2 x ? 3 y ? 9 ,则 x + y 的最大值是 ? x?0 ?
(A)4
2

(B)9
2

(C)10

(D)12

【解析】 由 x + y 是点 ( x, y ) 到原点距离的平方, 故只需求出三直线的交点 (0,2), (0,?3), (3,?1) , 所以 (3,?1) 是最优解,

x 2 + y 2 的最大值是 10,故选 C
(5)有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三 视图如右图所示,则该几何体的体积为

1
1
1

(A)

1 2 + π 3 3

(B)

1 2 + π 3 3 2 π 6

(C)

1 2 + π 3 6

(D) 1 +

【解析】 由三视图可知,半球的体积为

2 π, 6

四棱锥的体积为

1 1 2 ,所以该几何体的体积为 + π ,故选 C. 3 3 6

(6)已知直线 a , b 分别在两个不同的平面 α、β 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 α 相交”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】 由直线 a 和直线 b 相交,可知平面 α、β 有公共点,所以平面 α 和平面 β 相交. 又如果平面 α 和平面 β 相交,直线 a 和直线 b 不一定相交.故选 A.

(7)函数 f ( x) = ( 3 sin x + cos x)( 3 cos x- sin x) 的最小正周期是

(A)

π 2

(B) π

(C)

3π 2

(D) 2 π

(2 x + ) 【解析】 由 f ( x) = 2 sin x cos x + 3 cos 2 x = 2 sin
所以,最小正周期是 π ,故选 B

π 3

(8)已知非零向量 m, n 满足 4 m = 3 n , cos < m, n >=

1 ,若 n ⊥ (tm + n) 则实数 t 的值为 3
(D)—

(A)4

(B)—4

(C)

9 4

9 4

【解析】 因为 nm = m ? n cos < m, n >=

1 2 n 4 ,
2

由 n ⊥ (tm + n) ,有 n(tm + n) = tmn+ n = 0 , 即 ( + 1)n = 0 ,所以 t = —4,故选 B

t 4

2

3 ( 9 ) 已 知函 数 f ( x ) 的 定 义 域为 R , 当 x < 0 时 , f ( x) = x -1 ; 当-1 ≤ x ≤1 时 ,

f( -x) = — f ( x) ;当 x >
(A)—2

1 1 1 时, f ( x + ) = f ( x- ) ,则 f (6) = 2 2 2
(C)0 (D)2

(B)—1

【解析】由 f ( x + ) = f ( x- ) ,知当 x >

1 2

1 2

1 时, f ( x ) 的周期为 1,所以 f (6) = f (1) . 2

-1) . 又当-1 ≤ x ≤1 时, f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,所以 f (1) = — f (
于是 f (6) ? f (1) ? ? f (?1) ? ?[(?1) ? 1] ? 2 .故选 D.
3

(10)若函数 y = f ( x) 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则 称 y = f ( x) 具有 T 性质.下列函数具有 T 性质的是 (A) y = sin x (B) y = ln x
x

(C) y = e

x

(D) y = x

3

【解析】 因为函数 y = ln x , y = e 的图象上任何一点的切线的斜率都是正数; 函数 y = x 的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数.都不可能在这两点处的切线互相 垂直,即不具有 T 性质.故选 A.
3

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
开始

(11)执行右边的程序框图,若输入的的值分别为 0 和 9, 则输出 i 的值为 【解析】 i = 1 时,执行循环体后 a = 1, b = 8 , a > b 不成立;
输入 a,b i=1

i = 2 时,执行循环体后 a = 3, b = 6 , a > b 不成立; i = 3 时,执行循环体后 a = 6, b = 3 , a > b 成立;
所以 i = 3 ,故填 3.

a=a+i ,b=b-i a>b
是 否

i=i+1

输出 i 结束

(ax + (12)若

2

1 5 ) 的展开式中 x5 的系数是- 80 ,则实数 a = x

2 2 3 【解析】由 C( ( 5 ax )

1 2 2 3 5 ) ? C5 a x ?-80x 5 , x

得 a =-2 ,所以应填- 2 .

( 13 )已知双曲线 E :

x2 y 2 - = 1(a > 0, b > 0) ,若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, a 2 b2

AB, CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2 AB = 3 BC ,则 E 的离心率为
【解析】由题意 BC = 2c ,所以 AB = 3c,

( c, 于是点

3c c 2 9c 2 ) 在双曲线 E 上,代入方程,得 2 - 2 = 1 , 2 a 4b
2 2

在由 a + b = c 得 E 的离心率为 e =

2

c = 2 ,应填 2. a

-1,1] 上随机的取一个数 k ,则事件“直线 y = kx 与圆 ( x-5) + y = 9 相交” (14)在 [
发生的概率为 【解析】首先 k 的取值空间的长度为 2,

2

2

- 由直线 y = kx 与圆 ( x-5) + y = 9 相交,得事件发生时 k 的取值空间为 [
3 3 3 3 其长度为 ,所以所求概率为 2 = ,应填 . 2 4 2 4

2

2

3 3 , ], 4 4

(15)在已知函数 f ( x) = ,其中 m > 0 ,若存在实数 b ,使得关于 x 的方程 f ( x) = b 有三 个不同的根,则 m 的取值范围是 【解析】因为 g ( x) ? x -2mx ? 4m 的对称轴为 x = m ,
2

所以 x > m 时 f ( x) = x -2mx + 4m 单调递增,只要 b 大于 g ( x) = x -2mx + 4m 的最 小值 4m — m 时,关于 x 的方程 f ( x) = b 在 x > m 时有一根; 又 h( x) = x 在 x ≤m , m > 0 时,存在实数 b ,使方程 f ( x) = b 在 x ≤m 时有两个根, 只需 0 < b ≤m ;
2

2

2

(3, +∞ ) 故只需 4m — m < m 即可,解之,注意 m > 0 ,得 m > 3 ,故填 .

2

三、解答题:本答题共 6 小题,共 75 分. (16) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ,已知 2(tanA + tanB) = (Ⅰ)证明: a + b = 2c ; (Ⅱ)求 cos C 的最小值. 【解析】(Ⅰ)由 2(tanA + tanB) =

tanA tanB + cosB cosA

tanA tanB + 得 cosB cosA

2?

sinC sinA sinB ? ? , cosAcosB cosAcosB cosAcosB

所以 2 sin C ? sin B ? sin C ,由正弦定理,得 a + b = 2c . (Ⅱ)由 cosC ?

a 2 ? b2 ? c 2 (a ? b)2 ? 2ab ? c 2 ? 2ab 2ab

3c 2 3c 2 3 1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? . a ? b 2ab 2 2 2( )2 2
所以 cos C 的最小值为

1 . 2

(17) (本小题满分 12 分) 在如图所示的圆台中, AC 是下底面圆 O 的直径, EF 是上底面圆 O′ 的直径, FB 是圆台的 一条母线. (Ⅰ)已知 G, H 分别为 EC, FB 的中点,求证: GH// 平面 ABC ;

(Ⅱ)已知 EF = FB =

1 AC = 2 3 , AB = BC ,求二面角 F - BC - A 的余弦值. 2

【解析】(Ⅰ)连结 FC ,取 FC 的中点 M ,连结 GM, HM , 因为 GM//EF , EF 在上底面内, GM 不在上底面内, 所以 GM// 上底面,所以 GM// 平面 ABC ; 又因为 MH//BC , BC ? 平面 ABC , E G C A B F H

MH ? 平面 ABC ,

所以 MH// 平面 ABC ; 所以平面 GHM// 平面 ABC , 由 GH ? 平面 GHM ,所以 GH// 平面 ABC . (Ⅱ) 连结 OB , ? AB ? BC ? OA ? OB 以为 O 原点,分别以 OA,OB,OO? 为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系. C O A x B y E z O


F

1 ? EF ? FB ? AC ? 2 3 , AB ? BC , 2

OO? ? BF 2 ? ( BO ? FO ) 2 ? 3 ,
于是有 A(2 3 ,0,0) , C(-2 3 ,0,0) , B(0,2 3 ,0) , F(0, 3 ,3) , 可得平面 FBC 中的向量 BF ? (0,- 3 ,3) , CB ? (2 3 ,2 3 ,0) , 于是得平面 FBC 的一个法向量为 n1 ? (? 3, 3,1) , 又平面 ABC 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) , 设二面角 F - BC - A 为 ? , 则 cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

1 7 . ? 7 7
7 . 7

二面角 F - BC - A 的余弦值为 (18) (本小题满分 12 分)

已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n2 ? 8n , ?bn ?是等差数列,且 an ? bn ? bn ?1 . (Ⅰ)求数列 ?bn ?的通项公式;

(an ? 1)n ?1 (Ⅱ)令 cn ? .求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn . (bn ? 2)n
【解析】(Ⅰ)因为数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? 8n ,
2

所以 a1 ? 11,当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 8n ? 3(n ?1)2 ? 8(n ?1) ? 6n ? 5 ,

又 an ? 6n ? 5 对 n ? 1 也成立,所以 an ? 6n ? 5 . 又因为 ?bn ?是等差数列,设公差为 d ,则 an ? bn ? bn ?1 ? 2bn ? d . 当 n ? 1 时, 2b1 ? 11? d ;当 n ? 2 时, 2b2 ? 17 ? d , 解得 d ? 3 ,所以数列 ?bn ?的通项公式为 bn ?

an ? d ? 3n ? 1 . 2

(Ⅱ)由 cn ?

(an ? 1)n ?1 (6n ? 6)n ?1 ? ? (3n ? 3) ? 2n ?1 , n n (bn ? 2) (3n ? 3)

于是 Tn ? 6 ? 22 ? 9 ? 23 ? 12? 24 ? ?? (3n ? 3) ? 2n ?1 , 两边同乘以2,得

2Tn ? 6 ? 23 ? 9 ? 24 ? ?? (3n) ? 2n?1 ? (3n ? 3) ? 2n?2 ,
两式相减,得

? Tn ? 6 ? 22 ? 3 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? 3 ? 2n?1 ? (3n ? 3) ? 2n?2
? 3 ? 22 ? 3 ? 22 (1 ? 2n ) ? (3n ? 3) ? 2n ? 2 1? 2

Tn ? ?12 ? 3 ? 22 (1 ? 2n ) ? (3n ? 3) ? 2n?2 ? 3n ? 2n?2 .
(19) (本小题满分 12 分) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动 中,如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对,则“星队”得 1 分;如果两 人都没猜对,则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是

2 3 ,乙每轮猜对的概率是 ; 4 3

每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.假设“星队”参加两轮活动, 求: (Ⅰ) “星队”至少猜对 3 个成语的概率; (Ⅱ) “星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX . 【解析】(Ⅰ) “至少猜对 3 个成语”包括“恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语”. 设“至少猜对 3 个成语”为事件 A ; “恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语”分别为事件 B, C ,

则 P( B) ? C2 ?
1

3 3 2 1 5 1 3 1 2 2 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ; 4 4 3 3 4 4 3 3 12

P(C ) ?

3 3 2 2 1 ? ? ? ? . 4 4 3 3 4 5 1 2 ? ? . 12 4 3

所以 P( A) ? P ( B ) ? P (C ) ?

(Ⅱ) “星队”两轮得分之和 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,6 于是 P ( X ? 0) ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ; 4 3 4 3 144

10 5 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 P( X ? 1) ? C2 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 4 3 4 3 144 72 P( X ? 2) ? 1 1 2 2 3 3 1 1 25 1 1 3 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ; 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 144 3 2 1 1 12 1 ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 144 12 3 2 1 2 3 1 60 5 ? ?( ? ? ? ) ? ? ; 4 3 4 3 4 3 144 12

1 P( X ? 3) ? C2

1 P( X ? 4) ? C2

P( X ? 6) ?

3 2 3 2 36 1 ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 144 4

X 的分布列为: X
P
0 1 2 3 4 6

1 144

5 72

25 144

1 12

5 12

1 4

X 的数学期望 EX ?

1 5 25 1 5 1 552 23 ? 0 ? ?1 ? ?2 ? ?3? ?4 ? ?6 ? ? . 144 72 144 12 12 4 144 6

(20) (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? a ( x ? ln x) ?

2x ?1 , a ? R. x2

(Ⅰ) 讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ) 当 a ? 1 时,证明 f ( x) ? f ?( x) ?

3 对于任意的 x ? [1,2] 成立. 2 2 x-2 x3

( x) = a (1- )- 【解析】(Ⅰ) 求导数 f ′

1 x

( x-1)(ax2-2) = x3

( x) > 0 , f ( x) 单调递增, 当 a ≤0 时, x ∈(0,1) , f ′
x ∈(1, +∞ ), f ′ ( x) < 0 , f ( x) 单调递减;
a( x-1)(x- x3 2 2 )( x + ) a a

( x) = 当 a > 0 时, f ′

( x-1)(ax -2) = x3

2

(1) 当 0<a<2时,

2 > 1, a 2 ( x) > 0 , f ( x) 单调递增, , +∞ ), f ′ a

x ∈(0,1) 或 x ∈(

x ∈(1,

2 ( x) < 0 , f ( x) 单调递减; ), f ′ a 2 +∞ ), f ′ ( x) ≥0 , f ( x) 单调递增, = 1, x ∈(0, a 2 <1, a

(2) 当 a =2 时,

(3) 当 a >2 时, 0 <

x ∈(0,

2 ( x) > 0 , f ( x) 单调递增, )或 x ∈(1,+∞), f ′ a

x ∈(

2 ( x) < 0 , f ( x) 单调递减; ,1), f ′ a
2 x-1 , x2

(Ⅱ) 当 a ? 1 时, f ( x) = x-ln x +

( x-1)(x 2-2) 1 2 2 f′ ( x) = = 1- - 2 + 3 3 x x x x
( x) = x-ln x + 于是 f ( x)-f ′ 2 x-1 1 2 2 - - 2 + 3) , 2 -(1 x x x x 3 1 2 + 2- 3 x x x
, x ? [1,2]

= x-ln x-1 +

令 g( x) = x-ln x

, h( x) = -1 +

3 1 2 + 2 - 3 , x ?[1,2] , x x x

( x) = g( x) + h( x) , 于是 f ( x)-f ′
1 x-1 g′ ( x) = 1- = ≥0 , g( x) 的最小值为 g(1) = 1 ; x x

3 2 6 -3x 2-2x + 6 ( x) = - 2 - 3 + 4 = 又 h′ x x x x4

10 , 设 θ( x) = -3x -2 x + 6 , x ? [1,2] ,因为 θ(1) = 1 , θ(2) = -
2

所以必有 x0 ∈[1,2] ,使得 θ( x0 ) = 0 ,且

1 < x < x0 时, θ( x) > 0 , h( x) 单调递增; x0 < x < 2 时, θ( x) < 0 , h( x) 单调递减;
又 h(1) = 1 , h ( 2) =

1 1 ,所以 h( x) 的最小值为 h ( 2) = . 2 2 1 3 = . 2 2

( x) = g( x) + h( x) > g(1) + h(2) = 1 + 所以 f ( x)-f ′ 3 对于任意的 x ? [1,2] 成立. 2

即 f ( x) ? f ?( x) ?

(21) (本小题满分 14 分)

x2 y2 3 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 C : 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的 离 心 率 是 ,抛物线 a b 2

E : x 2 = 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ ) 设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限, E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点

A, B ,线段 AB 的中点为 D ,直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M .
(i)求证:点 M 在定直线上; (ii)直线 l 与 y 轴交于点 G ,记 ?PFG 的面积为 S1 , ?PDM 的面积为 S2 ,求 最大值及取得最大值时点 P 的坐标. 【解析】(Ⅰ) 由离心率是

S1 的 S2

3 2 2 ,有 a = 4b , 2
1 2 1 ,于是 a = 1 , 2

2 又抛物线 x = 2 y 的焦点坐标为 F (0, ) ,所以 b =

所以椭圆 C 的方程为 x + 4 y = 1 .

2

2

m2 ), (m > 0) , (Ⅱ) (i)设 P 点坐标为 P(m, 2

= x ,所以 E 在点 P 处的切线 l 的斜率为 m , 由 x = 2 y 得 y′
因此切线 l 的方程为 y = m x-

2

m2 , 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , D( x0 , y0 ) , 将 y = m x-

m2 2 2 代入 x + 4 y = 1 ,得 2

( 1 + 4m2 ) x 2 -4m3 x + m2-1 = 0 .
x1 + x2 4m 3 2m 3 = 于是 x1 + x2 = , x0 = , 2 1 + 4m 2 1 + 4m 2

m2 -m2 - = 又 y0 = m x0 , 2 2(1 + 4m 2 )
于是 直线 OD 的方程为 y = -

1 x. 4m

联立方程 y = -

1 1 x 与 x = m ,得 M 的坐标为 M(m, - ) . 4m 4

所以点 M 在定直线 y = -

1 上. 4

(ii)在切线 l 的方程为 y = m x-

m2 m2 中,令 x = 0 ,得 y = - , 2 2

即点 G 的坐标为 G(0,-

m2 1 m2 ) ,又 P(m, ) , F(0, ) , 2 2 2

1 m(m 2 + 1) 所以 S1 = m ×GF = ; 2 4
再由 D(

2m3 -m 2 , ) ,得 4m2 + 1 2(4m2 + 1)

1 2m 2 + 1 2m3 + m m(2m 2 + 1) 2 S2 = × × 2 = 2 4 4m + 1 8(4m 2 + 1)
S1 2(4m 2 + 1)(m 2 + 1) 于是有 . = S2 (2m 2 + 1) 2
1 2(t- )(t + 1) S 1 1 1 2 2 = = 2+ - 2 令 t = 2m + 1 ,得 2 S2 t t t
当 =

1 t

S1 1 9 时,即 t = 2 时, 取得最大值 . 2 4 S2
2

此时 m =

1 2 2 1 ,m = ,所以 P 点的坐标为 P( , ). 2 2 2 4

所以

S1 9 2 1 的最大值为 ,取得最大值时点 P 的坐标为 P( , ). 4 2 4 S2


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2016年高考山东文科数学试题及答案(word解析版)

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2016年山东省高考数学试卷 理科 解析

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2016年山东省高考文科数学真题及答案

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2016年山东省高考数学试卷(理科解析)

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