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数学必修2《直线与方程》典型例题精

第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角: 2.直线的斜率: 3.直线的斜率公式: 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 1 已知直线 l 的斜率的绝对值等于 3 ,则直线的倾斜角为( A. 60° B. 30° C. 60° 或 120° D. 30° 或 150° 变式训练: 设直线 l 过原点,其倾斜角为 ? ,将直线 l 绕原点沿逆时针方向旋转 45°,得到直线 l1 , 则 l1 的倾斜角为( A. ? ? 45? ) 。 B. ? ? 135? C. 135? ? ? ). D. 当 0°≤α<135°时为 ? ? 45? ,当 135°≤α<180°时,为 ? ? 135? 题型 二 求直线的斜率 例 2 如图所示菱形 ABCD 中∠BAD=60° , 求菱形 ABCD 各边和两条对 角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练: 已知过两点 A(m2 ? 2, m2 ? 3) , B(3 ? m2 ? m, 2m) 的直线 l 的倾斜角为 45° ,求实 数 m 的值. 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例 3 右图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( ). A .k1<k2<k3 B. k3<k1<k2 C. k3<k2<k1 D. k1<k3<k2 拓展 一 三点共线问题 例 4 已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值. 1 变式训练: 若三点 P(2,3) ,Q(3, a ) ,R(4, b )共线,那么下列成立的是( ). A. a ? 4, b ? 5 B. b ? a ? 1 C. 2 a ? b ? 3 D. a ? 2b ? 3 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点, 求直线 l 的 斜率 k 的取值范围. 变式训练: 已知 A(2, ?3), B(?3, ?2) 两点, 直线 l 过定点 P (1,1) 且与线段 AB 相交, 求直线 l 的斜率 k 的 取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数 x 、 y 满足 2 x ? y ? 8, 当 2≤ x ≤3 时,求 y 的最大值与最小值。 x 变式训练: 利用斜率公式证明不等式: a?m a ? (0 ? a ? b 且 m ? 0) b?m b 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 2 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定(注意垂直与 x 轴和 y 轴的两直线) : 【典型例题】 题型 一 两条直线平行关系 例 1 已知直线 l1 经过点 M(-3,0) 、N(-15,-6) , l2 经过点 R(-2, 判断 l1 与 l2 是否平行? 3 5 ) 、S(0, ) ,试 2 2 变式训练: 经过点 P(?2, m) 和 Q ( m, 4) 的直线平行于斜率等于 1 的直线, 则 m 的值是 ( A.4 B.1 C.1 或 3 D.1 或 4 ) . 题型 二 两条直线垂直关系 例 2 已知 ?ABC 的顶点 B(2,1), C(?6,3) ,其垂心为 H (?3, 2) ,求顶点 A 的坐标. 变式训练: (1) l1 的倾斜角为 45° , l2 经过点 P(-2,-1) 、Q(3,-6) ,问 l1 与 l2 是否垂直? (2)直线 l1 , l2 的斜率是方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根,则 l1与l2 的位置关系是 题型 三 根据直线的位置关系求参数 . 例 3 已知直线 l1 经过点 A(3,a)、B(a-2,-3),直线 l2 经过点 C(2,3) 、D(-1,a-2), (1)如果 l1 // l2 ,则求 a 的值; (2)如果 l1 ⊥ l2 ,则求 a 的值 题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用 3 例 4 四边形 ABCD 的顶点为 A(2, 2 ? 2 2) 、 B ( ?2, 2) 、 C (0, 2 ? 2 2) 、 D(4, 2) ,试判断四边 形 ABCD 的形状. 变式训练:已知 A(1,1) ,B(2,2) ,C(3,-3) ,求点 D,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD. 探点 一 数形结合思想 例 5 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐 标. 探点 二 分类讨论思想 例 6 ?ABC 的顶点 A(5, ?1), B(1,1), C (2, m) ,若 ?ABC 为直角三角形,求 m 的值. 3.2 直线的方程 4 3.2.1 直线的点斜式方程 【知识点归纳】 1.直线的点斜式方程: 2.直线的斜截式方程: 【典型例题】 题型 一 求直线的方程 例 1 写出下列点斜式直线方程: (1)经过点 A(2,5) ,斜率是 4; (2)经过点 B (3, ?1) ,倾 斜角是 30 . 例 2 倾斜角是 135 ,在 y 轴上的截距是 3 的直线方程是 . 变式训练: 1. 已知直线 l 过点 P(3, 4) ,它的倾斜角是直线 y ? x ? 1 的两倍,则直线 l 的方程为 2. 已知直线 l 在 y 轴上的截距为-3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6,求直线 l 的 方程. 3. 将直线 y ? x ? 3 ? 1 绕它上面一点( 1, 3 )沿逆时针方向旋转 15° ,得到的直线方程 5 是 . 题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例 3 已知直

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