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高中数学人教A版选修2-3课件:3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用


3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

-1-

1.了解分类变量2×2列联表、随机变量K2的意义. 2.通过对典型案例的分析,了解独立性检验的基本思想方法. 3.通过对典型案例的分析,了解两个分类变量的独立性检验的应 用.

独立性检验在实际中的重要作用是什么 剖析:独立性检验是数理统计的一种方法,是数学中的一种基本 理论,是数学体系中对数据关系进行探索的一种基本思想.当然,对 数据的统计分析得出的结论只能是在一定程度上对某种关系进行 判断,而不是一种确定性的关系,这也是统计思想与确定性思维的 差异所在.独立性检验在实际中有着广泛的应用,是对实际生活中 数据进行分析的一种方法,通过这种分析得出的结论对实际生活或 者生产都有一定的指导作用.例如,通过吸烟和患肺癌关系的研究 可以让我们认识吸烟的危害,及时预防吸烟对人体的危害;通过对 水稻产量和施肥量关系的研究可以帮助人们正确施肥,提高水稻的 产量,从而增加种植户收入等.

题型一

题型二

题型三

题型四

利用图形与分类变量间的关系作出分析

【例 1】 为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系,分 别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查,结果如下:
组别 铅中毒病人 对照组 总计 阳性数 29 9 38 阴性数 7 28 35 总计 36 37 73

试画出列联表的等高条形图,分析铅中毒病人与对照组的尿棕色素 阳性数有无差别,并判断铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系?

题型一

题型二

题型三

题型四

解:等高条形图如图.

其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕 色素为阳性的频率. 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳 性差异明显,因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在相关关系.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关”,则可以用等高条形图来直 观地分析两个分类变量 X 与 Y 是否相关.其原理是:分析 2×2 列联表 中满足条件 X=x1 的个体中具有 Y=y1 的个体所占的比例 , 与满足条件X=x2 的个体中具有
+ Y=y1 的个体所占的比例 , +

两个比例的值相差越大,H1 成立的可能性就越大.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练1】 打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种疾病 有关.下表是一次调查所得的数据.试问:每晚都打鼾与患心脏病有 关吗?用图表分析.
患心脏病 每晚都打鼾 不打鼾 合计 30 24 54 未患心脏病 224 1 355 1 579 合计 254 1 379 1 633

题型一

题型二

题型三

题型四

解:由列联表中的信息易知打鼾人群中未患心脏病的比例约为0.88, 即患有心脏病的比例约为0.12;同理不打鼾人群中未患心脏病的比 例约为0.98,即患有心脏病的比例约为0.02.作出等高条形图(如图).

从图中可以看出:打鼾样本中患心脏病的比例明显多于不打鼾样本 中患心脏病的比例.因此可以认为“打鼾与患心脏病有关”.

题型一

题型二

题型三

题型四

独立性检验的方法 【例2】 在一次天气恶劣的飞行航程中,调查了男女乘客在飞机上 晕机的情况:男乘客晕机的有24人,不晕机的有31人;女乘客晕机的 有8人,不晕机的有26人.根据所给数据,能否在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认为在天气恶劣的飞行航程中,男乘客比女乘客更容 易晕机? 分析:求出随机变量K2的观测值,分析变量关系.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:根据题意,列出 2×2 列联表如下: 晕机 男乘客 女乘客 总计 24 8 32 不晕机 31 26 57 总计 55 34 89

假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机. 由公式可得 K2 的观测值 k=
(-) (+)(+)(+)(+)
2

=

89× (24×26-31×8) 55×34×32×57

2

≈3.689>2.706,因此,

可以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“在天气恶劣的飞行 航程中,男乘客比女乘客更容易晕机”.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思解独立性检验问题的基本步骤: (1)认真读题,根据相关数据,得出2×2列联表; (2)根据2×2列联表中的数据,计算K2的观测值k; (3)比较观测值k与临界值k0; (4)给出结论.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作 积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了 189 名员工进行调 查,所得数据如下表所示:
积极支持企业改革 工作积极 工作一般 总计 54 32 86 不太赞成企业改革 40 63 103 总计 94 95 189

对于人力资源部的研究项目,根据上述数据能得出什么结论? 李明和张宇都对该题进行了独立性检验的分析,李明的结论是 “在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为企业员工的工作积极 性和对待企业改革的态度有关系”;张宇的结论是“在犯错误的概率 不超过0.005的前提下,认为企业员工的工作积极性和对待企业改 革的态度有关系”. 他们两个的结论正确吗?为什么他们的结论不一样?

题型一

题型二

题型三

题型四

解:由列联表中的数据求得 K2 的观测值为 k=
189× (54×63-40×32)2 94×95×86×103

≈10.759.

∵10.759>7.879>6.635, ∴若以k0=7.879为临界值,则在犯错误的概率不超过0.005的前提

下认为企业员工的工作积极性和对待企业改革的态度有关系; 若以k0=6.635为临界值,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下 认为它们有关系. 故李明和张宇的结论都正确.造成结论不一样的原因是他们两人采 用了两种不同的判断规则,即所选用的临界值不同.

题型一

题型二

题型三

题型四

独立性检验的综合应用 【例3】 为了调查某生产线上质量监督员甲是否在现场对产品质 量好坏有无影响,现统计数据如下:质量监督员甲在生产现场时,990 件产品中合格品有982件,次品有8件;甲不在生产现场时,510件产品 中合格品有493件,次品有17件.试分别用列联表、独立性检验的方 法分析监督员甲是否在现场对产品质量好坏有无影响. 分析:根据题目中给出的相关数据,列出2×2列联表求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)2×2 列联表如下: 合格品数 甲在生产现场 甲不在生产现场 总计 982 493 1 475 次品数 8 17 25 总计 990 510 1 500

由列联表可得|ac-bd|=|982×17-493×8|=12 750,则 ac 与 bd 相差 较大,可在某种程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质 量有关系”. (2)由 2×2 列联表中数据,计算得到 K2 的观测值为 k=
1 500× (982×17-493×8)2 990×510×1 475×25

≈13.097>10.828,所以在犯错误的概率不超过

0.001 的前提下认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有 关系”.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思在判断两个分类变量关系的可靠性时一般利用随机变量K2来 确定,把计算出的K2的观测值与相关的临界值作比较,确定出“X与Y 有关系”的犯错误的概率.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 3】 某中学对“学生性别和是否喜欢看 NBA 比赛” 作了一次调查,其中男生人数是女生人数的 2 倍,男生喜欢看 NBA 的 人数占男生人数的 , 女生喜欢看 NBA 的人数占女生人数的 . (1)若被调查的男生人数为 n,根据题意建立一个 2×2 列联表; (2)若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否喜欢看 NBA 和性别有关,求男生至少有多少人?
5 6 1 3

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)由已知得: 喜欢看 NBA 5n 6 n 6 n
3 5 2 2 6· 3 -6 · 6 · 2· 2·

男生 女生 总计 (2)k=

不喜欢看 NBA n 6 n 3 n 2

总计 n n 2 3n 2

= .
3 8

3 8

若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否喜欢看 NBA 和性别有关,则 k>3.841,即 > 3.841, > 10.24. ∵ , 为整数,∴n 最小值为 12,即男生至少有 12 人.
2 6

题型一

题型二

题型三

题型四

易错辨析

易错点:理解独立性检验思想不清致错 【例 4】 若两个分类变量 x 和 y 的列联表为:
y1 x1 x2 5 40 y2 15 10

求 x 与 y 之间有关系的概率. 错解:计算 K2 的观测值得 k≈18.822,查表知 P(K2≥10.828)≈0.001. 错因分析:没有理解好独立性检验的基本思想. 正解:k=
(5+15+40+10)(5×10-40×15)2 (5+15)(40+10)(5+40)(15+10)

≈18.822.查表知

P(K2≥10.828)≈0.001,则 x 与 y 之间有关系的概率约为 1-0.001=0.999.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思独立性检验原理——在假设H0下,如果出现一个与H0相矛盾的 小概率事件,就推断H0不成立,且该推断犯错误的概率不超过这个 小概率.


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