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湖北省武汉市2015届高中毕业生四月调研测试数学(理)试题


武汉市 2015 届高中毕业生四月调研测试 理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、复数 (1 ? 2i)2 ? i ? A. 4 ? 3i B. ?4 ? 3i C. 3 ? 4i D. 3 ? 4i

2、已知集合 A ? {x | A. ?x | ?2 ? x ? 1 ?

x ?1 ? 0, x ? R} ,则 CR A ? x?2
B. ?x | ?2 ? x ? 1 ?
3

C. ?x | ?2 ? x ? 1 ?

D. ?x | ?2 ? x ? 1 ?

3、若 (2 ? ax)(1 ? x)4 展开式中 x 的系数为 2,则 a ? A.1 B.-1 C. ?

1 3

D.2
?

2 4、若命题 P : ?x ? R, x0 ? 2x0 ? 3 ? 0 ,则命题 P 的否定 P 是

A. ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0
2

D. ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0
2

5、已知某产品连续 4 个月的广告费 xi (千元)与销售额 yi (万元) ( i ? 1, 2,3, 4 )满足
4

?x
i ?1

4

i

? 18 ,

?y
i ?1

i

? ? 0.8 x ? a ,那么 ? 14 ,若广告费 x 和销售量 y 之间具有线性相关关系,且回归直线方程为 y

广告费用为 6 千元时,可预测的销售量为 A.3.5 万元 B.4.7 万元 C.4.9 万元 D.6.5 万元

6、如图,矩形 OABC 的四个顶点坐标依次为 O(0, 0), A(

?
2

, 0),

B ( , 0), C (0,1) ,记线段 OC、CB 以及 y ? sin x(0 ? x ? ) 的图象 2 2
围成的区域(图中阴影部分)为 ? ,若向矩形 OABC 内任意投一点 M,
·1 ·

?

?

则点 M 落在区域 ? 内的概率为 A.

2

?

B. 1 ?

1

?

C. 1 ?

2

?

D.

? ?1 2

7、执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 10,那么输出的 S 是 A.2 B. 10 ? 1 C. 11 ? 1 D. 2 3 ? 1

8、已知点 P 在直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 3 y ? 6 ? 0 上, 线段 PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,且 y0 ? x0 ? 2 ,则

y0 的取值范围是 x0

1 3 1 C. (? , 0) 3

A. [ ? , 0)

B. (??, ? ) D. (? , ??)

1 3

(0, ??)

1 3

9、已知函数 f ? x ? ? sin x cos x ? sin x ?

2 ? cos x(0 ? x ? ) ,则函数 5 2

f ? x ? 的最大值为
A.1 B.

7 5

C.
2

38 25

D.

43 25

10、过点 A(?2,3) 作抛物线 y ? 4 x 的两条切线 l1 , l2 ,设 l1 , l2 与 y 轴分别交于点 B、C,则 ?ABC 的 外接圆的方程为 A. x ? y ? 3x ? 4 ? 0
2 2

B. x ? y ? 2x ? 3 y ? 1 ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 3 y ? 2 ? 0
2 2

D. x ? y ? 3x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 6 小题,考试工学作答 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分, 请把答案填在答 题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 (一)必考题(11-14 题) 11、7 个人排成一排,其中甲乙两人相邻且与丙不相邻的方法种数 是 (结果用数字作答)

·2 ·

2 12、若 ?an ? 是一个以 3 为首项,-1 为公比的等比数列,则数列 an

? ?

的前 n 项和 Sn ? 13、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 14、已知圆 O 的半径为 1,点 A、B、C 是圆 O 上的动点,满足 ?AOB 等于 120 ,

OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则 m4 ? n3 的取值范围是
(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定的位置,将你选的题目 序号后的方框用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分。 15、如图,AB 是圆 O 的直径,直线 CD 与圆 O 相切与 M,AD 垂直 CD 于 D,BC ? CD 于 C,MN ? AB,又 AD=3,BC=1,则 MN= 16、在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,圆 C1 : ? ? 4sin ? ,直线 C2 : ? cos(? ? 则直线 C2 与截圆 C1 所得的弦长为

?
4

) ? ?2 2 ,

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? 5, S8 ? 64 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

1 1 ? 2 ? (n ? 1, n ? N ) Sn n

18、 (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 b cos2 A ? a(2 ? sin A sin B),

c ? 7, cos B ?

2 7 。 7
·3 ·

(1)求 sin A ; (2)求 a , b 的值。

19、 (本小题满分 12 分) 某同学在篮球场上进行投篮训练,先投“2 分的蓝”2 次,每次投中的概率为 分,不中得 0 分;再投“3 分的蓝”1 次,每次投中的概率为 次投篮的结果相互独立,假设该同学要完成以上三次投篮。 (1)求该同学恰好有 2 次投中的概率; (2)求该同学所得分 X 的分布列和数学期望。

4 ,每投中一次得 2 5

2 ,投中得分,不中得 0 分,该同学每 3

19、 (本小题满分 12 分) 如图,在四面体 P-ABC,底面 ABC 是边长为 1 的正三角形, AB ? BP ,点 P 在底面 ABC 上的射影 为 H, BH ?

3 ,二面角 C-AB-P 的正切值为 5 。 3

(1)求证: PA ? BC (2)求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值。

21、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴长为 2. 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 A、B 是椭圆 C 上的两动点,O 为坐标原点,OA、OB 的斜率分别为 k1 , k2 ,问是否存在非零 常数 ? ,使 k1 ? k2 ? ? 时, ?AOB 的面积为 S 为定值,若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由。

·4 ·

22、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln(ax ? 1) ? (1)当 0 ? a ?

2ax (a ? 0, a 为常数) x?2

1 时,求 f ? x ? 的单调区间; 2 3 (2)当 x ? 0 时,若不等式 f ? x ? ? 2 ln 2 ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2

·5 ·

·6 ·

·7 ·

·8 ·

·9 ·

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·10·


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