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江西省上高县第二中学2016-2017学年高二上学期第三次月考考试理科数学试题


2018 届高二年级第三次月考数学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 a // ? , b ? ? ,则直线 a 与直线 b 的位置关系是( ) A.平行 B.平行或异面 C.相交或异面 D.异面 2.“a+b=-2”是“直线 x+y=0 与圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=2 相切”的( ) A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件 2 ? c ? 0 3. 已知命题 p : ,方程 x ? x ? c ? 0 有解,则 ?p 为( ) A. ?c ? 0 ,方程 x 2 ? x ? c ? 0 无解 C. ?c ? 0 ,方程 x 2 ? x ? c ? 0 无解
2

B. ?c ≤0,方程 x 2 ? x ? c ? 0 有解 D. ?c ≤0,方程 x 2 ? x ? c ? 0 有解 )

4.一个圆锥的表面积为 6? (单位:m ) ,且它的侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为(

?单位:m?
1 2

A.

B. 2

C.1

D.2

2 F| ?|P Q| 5. 抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F, 直线 x ? 4 与 x 轴的交点为 p 与 C 的交点为 Q, 且| Q

5 4



则抛物线 C 的方程为( A. x ? 16 y
2 2 2



B. x ? 8 y

C. x ? 4 y D. x 2 ? 2 y 6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实现画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的表面积为( ) (A)81 (B)90 (C) 54 ? 18 5 (D) 18 ? 36 5 7.设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( )

4x2 4 y 2 4x2 4 y 2 x2 y2 ? ? 1 D. ? ?1 ? ?1 C. 21 25 25 21 25 24 8.如图所示,在斜三棱柱 ABC ? A B C 中, ?BAC ? 900 1 1 1 BC1 ? AC ,则 C 在平面 ABC 上的射影 H 必在( )
A.

x2 y2 ? ?1 25 21

B.

1

A.直线 BC 上 B.直线 AB 上 C.直线 AC 上 D. ?ABC 内部 9.已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点, A, B 分别为 C 的左,右顶点. P a 2 b2

为 C 上一点, 且 PF ? x 轴. 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M , 与 y 轴交于点 E . 若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( ) (C)

1 (A) 2

2 (B) 3

3 4

(D)

1 3

10. 已知四面体 P ? ABC 中, PA ? 4 ,AC ? 2 7 , PB ? BC ? 2 3 , PA ? 平面 PBC,则四面体 P ? ABC 的内切球半径与外接球半径的比( )
-1-

A.

3 2 8

B.

2 8

C.

3 2 16

D.

2 16
图象上任意两个“左整点”

11. 定义: 平面内横坐标为整数的点称为“左整点”, 过函数 作直线,则倾斜角大于 45° 的直线条数为( A.10
2 2

) C.12
2

B.11

D.13

12.若椭圆

x y ?b ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 x2 ? y 2 ? ? ? c ? ( c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点,则椭 2 a b ?2 ?
) C. ? ?

圆的离心率 e 的取值范围是( A. ? ? 0,

? ?

5? ? 5 ? ?

B. ? ?

? 2 5? , ? ? ? 5 5 ?

? 5 3? , ? ? ? 5 5?

D. ? ?

? 2 3? , ? ? ? 5 5?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 2 ,直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60 ? , E 为 PC 的中点,则异 面直线 PA 与 BE 所成角的大小为_________

x2 y2 ? ? ?1 表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k 4 ? ?1 ,条件 q : x2 ? x ? a2 ? a ,且 ? q 的一个充分不必要条件是 ? p ,则 a 的取值范 15.已知条件 P : x ?1
14.已知方程 围是 。
2

p 2 p2 2 16.已知实数 p ? 0 ,直线 4 x ? 3 y ? 2 p ? 0 与抛物线 y ? 2 px 和圆 ( x ? ) ? y ? 从上到下的交点 2 4 AC 依次为 A, B, C , D ,则 的值为 BD
三、解答题(共 70 分) 2 17.(本小题满分 10 分)已知 p:“? x0∈R,使得 x0 +mx0+2m-3<0”;q:命题“? x∈[1,2],x2-m≤0”, 若 p ? q 为真,p ? q 为假,求实数 m 的取值范围.

18. (本题满分 12 分)

?ADC ? 90? , CD / / AB ,AD ? CD ? 如图 1 ,在直角梯形 ABCD 中,

沿 AC 折起, 使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1)在 CD 上找一点 F ,使 AD / / 平面 EFB ; (2)求点 C 到平面 ABD 的距离.

1 点 E 为 AC 中点. 将 ?ADC AB ? 2 , 2

-2-

19. (本题满分 12 分) 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,问是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的弦为 AB,以 AB 为 直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD是平行四边形,且 AB ? 1, BC ? 2 ,

?ABC ? 600 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ;
(Ⅱ)若 DE ? A1 E ,试求二面角 E ? AC 1 ? D 的余弦值.

21. (本题满分 12 分) 已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G: x 2 ? 2 py( p ? 0) 相交于 B,C 两点。当直线 l 的斜率是

1 时, 2

AC ? 4 AB
(1)求抛物线 G 的方程;(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求实数 b 的取值范围.

22. (本题满分 12 分)
-3-

x2 y 2 3 3 ,点 A(1, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ) 在椭圆 C 上. 2 a b 2 2 (I)求椭圆 C 的方程; (II)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满足此圆与 l 相交于 两点 P ,且使得直线 OP ,P2 (两点均不在坐标轴上) ,OP2 的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程; 1 1
已知椭圆 C : 若不存在,说明理由.

2018 届高二年级第三次月考数学试卷答题卡(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 15、 16、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17、 (10 分)

18、 (12 分)

-4-

19、 (12 分)

20、 (12 分)

21、 (12 分)
-5-

22、 (12 分)

-6-

2018 届高二年级第三次月考数学试卷(理科)答案
1-12 BDABC CDBDC BC 13、 45
?

14、 K ? ?3

15、 [0,1]

16、

17.解:∵命题 p 为真命题的充要条件是 ? ? 0 ,即 m ? 4 ? 2m ? 3? ? 0 ,
2

3 8

∴ m ? 6 或 m ? 2 .………………………………3 分 命题 q 为真命题的充要条件是 m ≥4 ………………………………6 分 若 p ? q 为真,p ? q 为假,则 p,q 一真一假 若 p 真 q 假得 m ? 2 若 q 真 p 假得 4 ? m ? 6 ∴实数 m 的取值范围为 m ? 2 或 4 ? m ? 6 ……………………………10 分 18、 (1)F 为 CD 的中点(2)h=

2 6 3

19、 x ? y ? 4 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 20.试题解析: (Ⅰ)依题意 BE ? EC ?

1 BC ? AB ? CD , ∴ ?ABE 是正三角形, ?AEB ? 60? , 2
-------------3 分
-7-

? ?CED ? ?CDE ?

1 ?180? ? ?ECD ? ? 30?, 2

??AED ? 180? ? ?CED ? ?AEB ? 90?? DE ? AE ∵ AA1 ⊥平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? DE ? AA1,
-------------5 分 ? AA1 ? AE ? A, ?DE ? 平面 A1AE, ? DE ? 平面 A1DE ,∴平面 A1AE ? 平面 A1DE . -------------6 分 (Ⅱ)连接 AC ,由题可知 AC ? CD ,又 DE ? A1E ,故 AA 1 ? 2 -------------7 分 故 以 C 为 原 点 , CD, CA, CC1 分 别 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 C ? 0,0,0? , D ?1,0,0? ,
? ? 1 3 ? ? 1 3 ? ? E? ? , , 0 , A1 0, 3, 2 ,故 CE ? ? ? , ? ? 2 2 ? ? 2 2 ,0? ? , CA1 ? 0, 3, 2 ? ? ? ? ? 1 3 ? y1 ? 0 6 ?? x1 ? 设面 EA1 C 的一个法向量 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,则 ? 2 ,令 x1 ? 3 ,则 y1 ? 1 , z1 ? ? , 2 2 ? 3y ? 2z ? 0 ? 1 1 ? ? 6? 3,1, ? -------------9 分 ? n1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

?

?

?

?

同理可求出面 DA1C 的一个法向量 n2 ? 0, ? 2, 3 故 cos n1 , n2 ?
? ?

?

?

?

-------------10 分

n1 ? n2 n1 ? n2
? ?

?

?

?

5 55 , 而由图可知二面角 E ? AC 所以二面角 E ? AC ? 1 ? D 为钝角, 1 ?D 11 55
------------12 分

的余弦值为 ?

55 . 11

解:(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),由已知



所以 l 的方程为

,即 x=2y-4,由





所以 由①②③及 p>0 得

,又因为

,所以 y2=4y1, ③ ,故抛物线方程为 。

(2)设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0),

由 所以



, , , ,

所以 BC 的中垂线方程为 所以 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 对于方程④,由 所以

得 k>0 或 k<-4, ,所以 b 的取值范围为 b>2。
-8-

c 3 , a 2 ? b2 ? c 2 , ? a 2 1 3 3 又点 A(1, ) 在椭圆 C 上,∴ 2 ? 2 ? 1,解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , a 4b 2 2 x ∴椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1.………………5 分 4 (II)存在符合条件的圆,且此圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 .
22 、 (I)由题意得: 证明如下:假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) . 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m ? 由方程组 ? x 2 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4 ∵直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, ∴ ?1 ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 1 .
由方程组 ?

? y ? kx ? m
2 2 2

?x ? y ? r 则 ?2 ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 1)(m2 ? r 2 ) ? 0 .
设P 1 ( x1 , y1 ),P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? r 2 ? 0 ,

m2 ? r 2 ?2km x x ? , , 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1

设直线 OP ,OP2 的斜率分别为 k1,k2 , 1 ∴ k1k2 ?

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

m2 ? r 2 ?2km k2? 2 ? km? 2 ? m2 m2 ? r 2 k 2 k ? 1 k ? 1 ? ? 2 2 ,将 m2 ? 4k 2 ? 1 代入上式, 2 2 m ?r m ?r 2 k ?1 (4 ? r 2 )k 2 ? 1 得 k1k2 ? . 4k 2 ? (1 ? r 2 ) 4 ? r2 1 2 ? 要使得 k1k2 为定值,则 ,即 r ? 5 ,代入 ? 2 验证知符合题意. 2 4 1? r 1 2 2 ∴当圆的方程为 x ? y ? 5 时,圆与 l 的交点 P ,P2 满足 k1k2 为定值 ? . 1 4 当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 . 1 2 2 此时,圆 x ? y ? 5 与 l 的交点 P ,P2 也满足 k1k2 ? ? . 1 4 2 2 综上,当圆的方程为 x ? y ? 5 时, 1 圆与 l 的交点 P ,P2 满足直线 OP ,OP2 的斜率之积为定值 ? .……………………12 分 1 1 4

-9-



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