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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第4章 第3讲 三角函数的图象与性质


第 3 讲 三角函数的图象与性质
一、选择题 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2 π 的奇函数 B.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 解析 答案 ).

f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数.
C

? ? π π?? 2.已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3cos(x+θ)?θ∈?-2,2??是偶函数,则 θ 的值为 ? ? ?? ( A.0 解析 π B.6 π C.4 π D.3 ).

π? π π ? 据已知可得 f(x)=2sin?x+θ+3?,若函数为偶函数,则必有 θ+3=kπ+2 ? ?

π π π ? π π? (k∈Z),又由于 θ∈?-2,2?,故有 θ+3=2,解得 θ=6,经代入检验符合题意. ? ? 答案 B ( ).

?π π? 3.函数 y=2sin?6x-3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ? ? A.2- 3 解析 B.0 C.-1 D.-1- 3

π π π 7π 3 ?π π? ∵ 0≤x≤9 ,∴ - 3 ≤ 6 x - 3 ≤ 6 ,∴- 2 ≤sin ?6x-3? ≤1 , ∴- 3 ? ?

?π π? ?πx π? ≤2sin?6x-3?≤2.∴函数 y=2sin? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 2- ? ? ? ? 3. 答案 A ). D. π 2

4.函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( A.2π B. 3π 2 C.π

-1-

解析 答案

π? ? 依题意,得 f(x)=cos x+ 3sin x=2sin?x+ ?.故最小正周期为 2π . 6? ? A ). ? 5 ? B.?- ,-1? ? 4 ? 5? ? D.?-1, ? 4? ?

5.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1] ? 5 ? C.?- ,1? ? 4 ? 解析

(数形结合法)y=sin2x+sin x-1,令 sin x=t,则有 y=t2+t-1,t

1 ∈[-1,1],画出函数图像如图所示,从图像可以看出,当 t=- 及 t=1 时, 2 ? 5 ? 函数取最值,代入 y=t2+t-1 可得 y∈?- ,1?. ? 4 ?

答案

C

π 5π 6.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x=4和 x= 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的 对称轴,则 φ= π A.4 解析 π B.3 π C.2 3π D. 4 ( ).

?5π π? 由题意可知函数 f(x)的周期 T=2×? 4 -4?=2π,故 ω=1,∴f(x)=sin(x ? ?

π π π +φ),令 x+φ=kπ+2(k∈Z),将 x=4代入可得 φ=kπ+4(k∈Z),∵0<φ<π,∴ π φ=4. 答案 A

二、填空题 7.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π,且 π? ? ?5π? 当 x∈?0,2?时,f(x)=sin x,则 f? 3 ?的值为________. ? ? ? ?
-2-

解析 答案

π 3 ?5π? ? π? ?π? f? 3 ?=f?-3?=f?3?=sin 3= 2 . ? ? ? ? ? ? 3 2

π? ? 2sin?x+ ?+2x2+x 4? ? 8 .函数 f(x) = 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M + m = 2 2x +cos x ________. 解析 =1+ 答案 (构造法)根据分子和分母同次的特点, 把分子展开, 得到部分分式, f(x)

x+sin x ,f(x)-1 为奇函数,则 m-1=-(M-1),所以 M+m=2. 2x2+cos x
2

1 1 9.已知函数 f(x)=2(sin x+cos x)-2|sin x-cos x|,则 f(x)的值域是________. 解析 1 1 f(x)=2(sin x+cos x)-2|sin x-cos x|

?cos x?sin x≥cos x?, =? ?sin x?sin x<cos x?.

2 画出函数 f(x) 的图象,可得函数的最小值为- 1 ,最大值为 2 ,故值域为 ? 2? ?-1, ?. 2 ? ? 答案 ? 2? ?-1, ? 2? ?

10.下列命题中: π ①α=2kπ+3(k∈Z)是 tan α= 3的充分不必要条件; ②函数 f(x)=|2cos x-1|的最小正周期是 π; ③在△ABC 中,若 cos Acos B>sin Asin B,则△ABC 为钝角三角形;

-3-

π ④若 a+b=0,则函数 y=asin x-bcos x 的图象的一条对称轴方程为 x=4. 其中是真命题的序号为________. 解析 π ①∵α=2kπ+3(k∈Z)?tan α= 3,

π 而 tan α= 3?/ α=2kπ+3(k∈Z),∴①正确. ②∵f(x+π)=|2cos(x+π)-1| =|-2cos x-1|=|2cos x+1|≠f(x),∴②错误. ③∵cos Acos B>sin Asin B,∴cos Acos B-sin Asin B>0, π 即 cos(A+B)>0,∵0<A+B<π,∴0<A+B<2, ∴C 为钝角,∴③正确. ④∵a+b=0,∴b=-a, ? π? y=asin x-bcos x=asin x+acos x= 2asin?x+4?, ? ? π ∴x=4是它的一条对称轴,∴④正确. 答案 ①③④

三、解答题 11. 已知函数 f(x)=2sinxcosx-2sin2x+1. (1)求函数 f(x)的最小正周期及值域; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解 π? ? (1)f(x)=sin2x+cos2x= 2sin?2x+ ?, 4? ?

则函数 f(x)的最小正周期是 π , 函数 f(x)的值域是[- 2, 2]. (2)依题意得 2kπ - 则 kπ - π π π ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2

3π π ≤x≤kπ + (k∈Z), 8 8

3π π? ? ,kπ + ?(k∈Z). 即 f(x)的单调递增区间是?kπ - 8 8? ?

-4-

π? ? ? π? ? π? 12.已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4?. ? ? ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ? 解 π? ? ? π? ? π? (1)f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4? ? ? ? ? ? ?

1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 1 3 = cos 2x+ sin 2x+sin2x-cos2x 2 2 π? 1 3 ? =2cos 2x+ 2 sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?. ? ? 2π π π ∴最小正周期 T= 2 =π,由 2x-6=kπ+2(k∈Z), kπ π 得 x= 2 +3(k∈Z). kπ π ∴函数图象的对称轴为 x= 2 +3(k∈Z). π ? π 5π? ? π π? (2)∵x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, ? ? ? ? π? 3 ? ∴- 2 ≤sin?2x-6?≤1. ? ? ? ? 3 ? π π? 即函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域为?- ,1?. ? ? ? 2 ? 1 1 ?π ? ?π ? 13.已知函数 f(x)=cos?3+x?cos?3-x?,g(x)=2sin 2x-4. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合. 解 ?π ? ?π ? (1)∵f(x)=cos?3+x?cos?3-x? ? ? ? ?

?1 ? ?1 ? 3 3 ? cos x+ sin x? =? cos x- sin x?· 2 2 ?2 ? ?2 ? 1+cos 2x 3-3cos 2x 1 3 =4cos2x-4sin2x= - 8 8 1 1 =2cos 2x-4,
-5-

2π ∴f(x)的最小正周期为 2 =π. (2)由(1)知 π? 1 1 2 ? h(x)=f(x)-g(x)=2cos 2x-2sin 2x= 2 cos?2x+4?, ? ? π π 2 当 2x+4=2kπ(k∈Z),即 x=kπ-8(k∈Z)时,h(x)取得最大值 2 .故 h(x)取得最 大值时,对应的 x 的集合为
? ? ? π ?x?x=kπ- ,k∈Z 8 ? ? ? ? ? ?. ? ?

π? π? ? ? 14.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. ? ? ? ? (1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ? 解 π? π ?π 7π? ? (1)∵x∈?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?. ? ? ? ?

π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+6?∈?-2,1?,又∵a >0, ? ? ? ? π? ? ∴-2asin?2x+6?∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b], ? ? 又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. π? ? (2)由(1)得 a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin?2x+6?-1, ? ? 7π? ? π? ? g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 ? ? ? ? π? ? =4sin?2x+6?-1, ? ? 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π? π? 1 ? ? ∴4sin?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?>2, ? ? ? ? π π 5π ∴2kπ+6<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z, π π π π 其中当 2kπ+6<2x+6≤2kπ+2,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+6,k

-6-

∈Z, π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z. ? ? π π 5π π 又∵当 2kπ+2<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ+6<x<kπ+ π 3,k∈Z. π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ+6,kπ+3?,k∈Z. ? ? π? π π? ? ? 综上,g(x)的递增区间为?kπ,kπ+6?(k∈Z);递减区间为?kπ+6,kπ+3?(k∈Z). ? ? ? ?

-7-


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