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高三数学第二轮复习教案 不等式问题的题型与方法三


高三数学第二轮复习教案 不等式问题的题型与方法三
(3 课时) 一、考试内容 不等式,不等式的基本性质,不等式的证明,不等式的解法,含绝对值不等式 二、考试要求 1.理解不等式的性质及其证明。 2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的 应用。 3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4.掌握简单不等式的解法。 5.理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。 三、复习目标 1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等 式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力; 2. 掌握解不等式的基本思路, 即将分式不等式、 绝对值不等式等不等式, 化归为整式不等式(组), 会用分类、换元、数形结合的方法解不等式; 3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学 生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题; 4.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能 力; 5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题. 6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等 各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在 应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识. 四、双基透视 1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程 的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转 化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归 为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的 图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰. 2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数 的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分 类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密 切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化 归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系, 对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.通过复习,感悟到不等式的 核心问题是不等式的同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同解变形的理论起了 重要的作用. 4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是:作差(商)→变形 →判断符号(值). 5.证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆思维等, 将会起到很好的促进作用.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联 系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的 不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的 运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因” ,后者是“由因导果” ,为沟通联系的途径, 证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的. 6.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最 基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证 法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点. 7.不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问
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题体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通,起到了 很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解 决方案,最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个 中学数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确 定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有 着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。 8.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、解 不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时,要特 别注意 “正数、 定值和相等” 三个条件缺一不可, 有时需要适当拼凑, 使之符合这三个条件. 利 0 0 0 0 用不等式解应用题的基本步骤:1 审题,2 建立不等式模型,3 解数学问题,4 作答。 五、注意事项 1.解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一 元二次不等式(组)来求解, 。 2.解含参数不等式时,要特别注意数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想的录活 运用。 3.不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证法的 基础上,选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 4.根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。 六、范例分析

b)∈M,且对 M 中的其它元素(c,d),总有 c≥a,则 a=____. 分析:读懂并能揭示问题中的数学实质,将是解决该问题的突破口.怎样理解“对 M 中的其它 元素(c,d),总有 c≥a”?M 中的元素又有什么特点? 解:依题可知,本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)当 1≤y≤3 时, 所以当 y=1 时,xmin=4.

说明:题设条件中出现集合的形式,因此要认清集合元素的本质属性,然后结合条件,揭示其 数学实质.即求集合 M 中的元素满足关系式

例 2.解关于 x 的不等式: x x ? a ?

2a 2 ?a ? 0? 9

分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a 进行 讨论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式组的 解集求并集,得出原不等式的解集。 解:当 x ? a时,不等式可转化为 ?

?x ? a

?x ? a 即? 2 2 ?9 x?x ? a ? ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0
2

2

?a ? x ?

3 ? 17 a b

?x ? a ?x ? a 当x ? a时不等式可化为 即? 2 ? 2 2 ?ax(a ? x) ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0 a 2a ?x ? 或 ?x?a 3 3 ? 2a 3 ? 17 ? a 故不等式的解集为 ??, ? ? ? , ( a? 。 3 6 ?3 ?
例 3. 己知三个不等式:① 2x ? 4 ? 5 ? x ②

x?2 ? 1 ③ 2x 2 ? m x?1 ? 0 x ? 3x ? 2
2

(1)若同时满足①、②的 x 值也满足③,求 m 的取值范围; (2)若满足的③ x 值至少满足①和②中的一个,求 m 的取值范围。 分析:本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法,以及数形结合思想,解本 题的关键弄清同时满足①、②的 x 值的满足③的充要条件是:③对应的方程的两根分别在 ?? ?,0? 和 ?3,??) 内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系,在解决 问题的过程中,要适时地联系它们之间的内在关系。 解:记①的解集为 A,②的解集为 B,③的解集为 C。 解①得 A=(-1,3) ;解②得 B= ?0,1) ? (2,4 ?,? A ? B ? ?0,1) ? (2,3) (1) 因同时满足①、②的 x 值也满足③,A ? B ? C 设 f ( x) ? 2 x2 ? mx ? 1,由 f (x) 的图象可知:方程的小根小于 0,大根大于或等于 3 时,即

? f (0) ? 0 ?? 1 ? 0 17 即? ?m ? ? 3 ? f (3) ? 0 ?3m ? 17 ? 0 (2) 因满足③的 x 值至少满足①和②中的一个,?C ? A ? B, 而A ? B ? (?1,4 ?因 此 C ? (?1,4 ??方程2x 2 ? mx ? 1 ? 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,因而
可满足 A ? B ?? ?

? ? f (?1) ? 1 ? m ? 0 ? 31 ? ? f (4) ? 4m ? 31 ? 0, 解之得 ? ? m ? 1 4 ? m ? ?? 1 ? ? 4 ? 4 ?
说明:同时满足①②的 x 值满足③的充要条件是:③对应的方程 2x +mx-1=0 的两根分别在(∞, 0)和[3, +∞)内, 因此有 f(0)<0 且 f(3)≤0, 否则不能对 A∩B 中的所有 x 值满足条件. 不 等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的,在解决问题的过程中,要适时地 联系它们之间的内在关系. 例 4.已知对于自然数 a,存在一个以 a 为首项系数的整系数二次三项式,它有两个小于 1 的正 根,求证:a≥5. 分析:回忆二次函数的几种特殊形式.设 f(x)=ax +bx+c(a≠0).① 顶点式.f(x)=a(x-x 0 ) +f(x 0 )(a≠0).这里(x 0 ,f(x 0 ))是二次函数的顶点,x 0 = ?
2 2 2

3

))、(x 2 ,f(x 2 ))、(x 3 ,f(x 3 ))是二次函数图象上的不同三点,则系数 a,b,c 可由

证明:设二次三项式为:f(x)=a(x-x 1 )(x-x 2 ),a∈N. 依题意知:0<x 1 <1,0<x 2 <1,且 x 1 ≠x 2 .于是有 f(0)>0,f(1)>0. 又 f(x)=ax -a(x 1 +x 2 )x+ax 1 x 2 为整系数二次三项式, 所以 f(0)=ax 1 x 2 、f(1)=a·(1-x 1 )(1-x 2 )为正整数.故 f(0)≥1,f(1)≥1. 从而 f(0)·f(1)≥1. ① 另一方面,
2

且由 x 1 ≠x 2 知等号不同时成立,所以

由①、②得,a 2 >16.又 a∈N,所以 a≥5. 说明:二次函数是一类被广泛应用的函数,用它构造的不等式证明问题,往往比较灵活.根据 题设条件恰当选择二次函数的表达形式,是解决这类问题的关键. 例 5.设等差数列{a n }的首项 a1>0 且 Sm=Sn(m≠n).问:它的前多少项的和最大? 分析:要求前 n 项和的最大值,首先要分析此数列是递增数列还是递减数列. 解:设等差数列{a n }的公差为 d,由 Sm=Sn 得

ak≥0,且 ak+1<0.

(k∈N).

4

说明:诸多数学问题可归结为解某一不等式(组).正确列出不等式(组),并分析其解在具体问 题的意义,是得到合理结论的关键. 例 6.若二次函数 y=f(x)的图象经过原点,且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的范围. 分析:要求 f(-2)的取值范围,只需找到含人 f(-2)的不等式(组).由于 y=f(x)是二次函数, 所以应先将 f(x)的表达形式写出来. 即可求得 f(-2)的表达式, 然后依题设条件列出含有 f(-2) 的不等式(组),即可求解. 解:因为 y=f(x)的图象经过原点,所以可设 y=f(x)=ax2+bx.于是

解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ)所以 f(-2)的取值范围是[6,10]. 解法二(数形结合)

建立直角坐标系 aob,作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域,如图 6 中的阴影部分.因为 f(-2)=4a-2b,所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系.如图 6,当直线 4a-2b-f(-2)=0 过 点 A(2,1),B(3,1)时,分别取得 f(-2)的最小值 6,最大值 10.即 f(-2)的取值范围是:6≤ f(-2)≤10. 解法三(利用方程的思想)

又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, ① 所以 3≤3f(-1)≤6. ② ①+②得 4≤3f(-1)+f(1)≤10,即 6≤f(-2)≤10. 说明:(1)在解不等式时,要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:
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2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以 5≤f(-2)≤11. (2)对这类问题的求解关键一步是,找到 f(-2)的数学结构,然后依其数学结构特征,揭示 其代数的、几何的本质,利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法,从不同角 度去解决同一问题.若长期这样思考问题,数学的素养一定会迅速提高. 例 7.(2002 江苏)己知 a ? 0,函数f ( x) ? ax ? bx2 , (1) 当b

? 0时,若对任意 x ? R都有f ? x ? ? 1, 证明: a ? 2 b ;

时 (2) 当b ? 1 ,证明:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b ;

时, (3) 当0 ? b ? 1 讨论:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件。
证明: (1)依题意,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 1.? f ( x) ? ?b( x ?

a 2 a2 ) ? 2b 4b

?f(

? ?x ? ?1,即ax ? bx2 ? ?1; 又?b ? 1, a ? 2 b , 对任意x ? ?0,1?, 可知 1 1 ax ? bx2 ? 2 b x ? bx2 ? (2 b x ? bx2 )max ? 2 b ? ? b ? ( ) 2 ? 1,即ax ? bx2 ? 1 b b ? ?1 ? f ( x) ? 1
必要性:对任意 x ? ?0,1?, f ( x) ? 1,? f ( x) ? ?1,? f (1) ? ?1

a a2 )? ? 1,? a ? 0, b ? 0 ? a ? 2 b . 2b 4b (2)充分性:?b ? 1, a ? b ? 1, 对任意x ? ?0,1?, 可推出: ax ? bx2 ? b( x ? x2 ) ? x

即a ? b ? ?1? a ? b ? 1; 又? b ? 1? 0 ?
即 a ? 1 ? 1,? a ? 2 b , 故b ? 1 ? a ? 2 b b

1 ? 1 ? ? 1,由f ?x ? ? 1知f ? ? ?1 b ? b?

(3)? a ? 0,0 ? b ? 1 , 对任意x ? ?0,1?, f ( x) ? ax ? bx 2 ? ?b ? ?1 时 即 f ( x) ? ?1; 又由f ( x) ? 1知f (1) ? 1,即a ? b ? 1,即a ? b ? 1

综上, 对任意x ? ?0,1?, f ( x) ? 1的充要条件是 ? 1 ? a ? 2 b b

b ? 1 2 (b ? 1) 2 ) ? 而当 a ? b ? 1时, f ( x) ? ax ? bx ? (b ? 1) x ? bx ? ?b( x ? 2b 4b b ?1 ? 0 ? b ? 1,? ?1 2b ?在?0,1?上, y ? (b ? 1) x ? bx2是增函数 故在x ? 1 , 时取得最大值 ? f ( x) ? 1 1
2 2

?当a ? 0,0 ? b ? 1时, 对任意x ??0,1?, f ( x) ? 1 的充要条件是 ? b ? 1 a

例 8.若 a>0,b>0,a3+b3=2.求证 a+b≤2,ab≤1. 分析:由条件 a3+b3=2 及待证的结论 a+b≤2 的结构入手,联想它们之间的内在联系,不妨用作 差比较法或均值不等式或构造方程等等方法,架起沟通二者的“桥梁” . 证法一 (作差比较法) 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 3 3 3 3 2 2 2 2 (a+b) -2 =a +b +3a b+3ab -8=3a b+3ab -6
6

=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a +b )]=-3(a+b)(a-b) ≤0, 3 即 (a+b) ≤23. 证法二 (平均值不等式—综合法) 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以

3

3

2

所以 a+b≤2,ab≤1. 说明:充分发挥“1”的作用,使其证明路径显得格外简捷、漂亮. 证法三 (构造方程) 设 a,b 为方程 x2-mx+n=0 的两根.则

因为 a>0,b>0,所以 m>0,n>0 且Δ=m2-4n≥0.① 因此 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n],所以

所以 a+b≤2. 由 2≥m 得 4≥m2,又 m2≥4n,所以 4≥4n,即 n≤1.所以 ab≤1. 说明:认真观察不等式的结构,从中发现与已学知识的内在联系,就能较顺利地找到解决 问题的切入点. 证法四 (恰当的配凑) 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b), 于是有 6≥3ab(a+b),从而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3, 所以 a+b≤2.(以下略)

即 a+b≤2.(以下略) 证法六 (反证法) 假设 a+b>2,则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab). 因为 a3+b3=2,所以 2>2(4-3ab),因此 ab>1. ①
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另一方面,2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab>2ab, 所以 ab<1. ② 于是①与②矛盾,故 a+b≤2.(以下略) 说明:此题用了六种不同的方法证明,这几种证法都是证明不等式的常用方法. 例 9.设函数 f(x)=ax +bx+c 的图象与两直线 y=x,y=-x,均不相
2

分析: 因为 x∈R, 故|f(x)|的最小值若存在, 则最小值由顶点确定, 故设 f(x)=a(x-x0) +f(x0). 证明:由题意知,a≠0.设 f(x)=a(x-x0) +f(x0),则 又二次方程 ax +bx+c=±x 无实根,故 2 Δ1=(b+1) -4ac<0, 2 Δ2=(b-1) -4ac<0. 2 2 2 所以(b+1) +(b-1) -8ac<0,即 2b +2-8ac<0,即 2 2 b -4ac<-1,所以|b -4ac|>1.
2 2

2

说明:从上述几个例子可以看出,在证明与二次函数有关的不等式问题时,如果针对题设条件, 合理采取二次函数的不同形式,那么我们就找到了一种有效的证明途径. 例 10. (2002 理)某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保 有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解:设 2001 年末的汽车保有量为 a1 ,以后每年末的汽车保有量依次为 a2 , a3.... ,每年新增汽车

x 万辆。
由题意得 an ?1 ? 0.94 an ? x即an ?1 ?

x x ? 0.94(an ? ) 0.06 0.06

x x )0.94n ?1 ? 0.06 0.06 30 令a n ? 60, 解得x ? (30 ? ) ? 0.06 1 ? 0.94n ?1 上式右端是关于 的减函数, 且当n ? ?时, 上式趋于3.6 n an ? (30 ? 故要对一切自然数 满足an ? 60, 应有x ? 3.6,即每年新增汽车不应超 3.6万辆 n 过
例 11.已知奇函数 f (x)在(? ?, ? 0, ?)上有定义,在(, ?)上是增函数, 0)( ? 0?

? f (1) ? 0, 又 知函数 g (? ) ? sin 2 ? ? m cos ? ? 2m,? ? [0, ], 集合 2 M ? m 恒有g(? ) ? 0 , N ? m 恒有f ( g(? )) ? 0 , 求M ? N

?

?

?

?

分析:这是一道比较综合的问题,考查很多函数知识,通过恰当换元,使问题转化为二次函数 在闭区间上的最值问题。

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解 ? 奇数函数f ( x)在(0, ?)上是增函数, f(x)在( ? ?, ? ? 0)上也是增函数。 ? g (? ) ? 0 ? g (? ) ? 0 又由f (1) ? 0得f (?1) ? ? f (1) ? 0 ? 满足? 的条件是? ? f ( g (? ) ? 0 ? f (?1) ? g (? ) ? ?1 即g (? ) ? ?(? ? 0, ]),即sin 2 ? ? m cos? ? 2m ? ?1, 1 ( 2 2 也即 ? cos ? ? m cor ? 2m ? 2 ? 0 ? ? 令 t ? cos? , 则t ?[0,1],又设?(t ) ? ?t 2 ? mt ? 2m ? 2,0 ? t ? 1 要使 ? (t ) ? 0, 必须使? (t )在[0, 1]内的最大值小于零 ?m ? 0 m 0 1 当 ? 0即m ? 0时,? (t )max ? ? (0) ? ?2m ? 2, 解不等式组 知m ? ? ? 2 ?? 2m ? 2 ? 0

?

m m 2 ? 8m ? 8 ? 1即0 ? m ? 2时, ? (t ) max ? , 2 4 ?0 ? m ? 2 ? 解不等式组? m 2 ? 8m ? 8 ? 0得4 ? 2 2 ? m ? 2 ? 4 ? 20当0 ?
3当
0

?m ? 2 m ? 1即m ? 2时,? (t ) max ? ?m ? 1, 解不等式组? 2 ?? m ? 1 ? 0得m ? 2

综上: M

? N ? mm ? 4 ? 2 2

?

?

例 12.如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道全 长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2) 若最大拱高 h 不小于 6 米, 则应如何设计拱高 h 和拱宽 l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小? (半个椭圆的面积公式为 s=

? lh, 柱体体积为:底面积乘以 4 高, 2 ? 1.414 , 7 ? 2.646本题结果均精确到 0.1 米)

分析:本题为 2003 年上海高考题,考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解:1)建立如图所示直角坐标系,则 P(11,4.5) 椭圆方程为:

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程得

44 7 88 7 , 此时l ? 2a ? ? 33.3 故隧道拱宽约为 33.3 米 7 7 x2 y 2 112 4.52 2)由椭圆方程 2 ? 2 ? 1得 2 ? 2 ? 1 a b a b 2 2 11 4.5 2 ? 11? 4.5 ? 2 ? 2 ? ,? ab ? 99 a b ab ? ?ab 99? 112 4.52 1 ? s ? lh ? ? ,当s最小时有 2 ? 2 ? 4 2 2 a b 2 9 2 ? a ? 11 2 , b ? 此时l ? 2a ? 31.1, h ? b ? 6.4 2 a?
故当拱高约为 6.4 米,拱宽约为 31.1 米时,土方工程量最小.
9

例 13.已知 n∈N,n>1.求证 分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题,但不一定选用数学归纳法,观其“形” ,它具有较 好规律,因此不妨采用构造数列的方法进行解.



说明:因为数列是特殊的函数,所以可以因问题的数学结构,利用函数的思想解决.

x 2 ? 2x ? 2 例 14.已知函数 f ( x) ? x ?1 n ?f (2)设x是正实数,求证:?x ? 1?? ? f x n ? 1 ? 2n ? 2.

?

?

(1)设0 x ? 1,0 ? t ? 1, 求证: x ? t ? x ? f ?tx ? 1? 〈 t?
分析:本例主要复习函数、不等式的基础知识,绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本 思路先将函数不等式转化为代数不等式,利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明 (1)再利用二项展开式及基本不等式的证明(2) 。

( x ? 1) 2 ? 1 1 ? f (tx ? 1) ? tx ? 证明: (1)? f ( x) ? x ?1 tx 1 1 1 ? f (tx ? 1) ? tx ? ? tx ? ? 2 tx ? ? 2, 当且仅当 tx ? 1 时,上式取等号。 tx tx tx

? 0 ? x ? 1,0 ? t ? 1? tx ? 1, ? f (tx ? 1) ? 2
s ? ( t ? x ? t ? x ? 2(t 2 ? x 2 ) ? 2 t 2 ? x 2 ? ( t ? x ? t ? x ) 2 ? 2(t 2 ? x 2 ) ? 2 t 2 ? x 2
2

当t ? x时, s ? 4t 2 ? 4;当t ? x时s ? 4x2 ? 4
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? t ? x ? t ? x ? 2 ? f (tx ? 1) 即t ? x ? t ? x ? f (tx ? 1)
(2) n ? 1 时,结论显然成立
n 当 n ? 2 时, ? f ( x ? 1)? ? f ( x ? 1) ? ( x ? n

1 n 1 1 1 1 2 ) ? ( x n ? n ) ? Cn x n ?1 ? ? Cn x n ? 2 ? 2 ? ..... x x x x 1 1 1 1 n?2 n ?1 1 2 n?2 n ?1 ? Cn x 2 ? n ? 2 ? Cn x ? n ?1 ? Cn x n ? 2 ? Cn x n ? 4 ? ......? Cn ? n ? 4 ? Cn ? n ? 2 x x x x 1? 1 1 1 1 ? 2 n ?1 ? ?Cn ( x n ? 2 ? n ? 2 ) ? Cn ( x n ? 4 ? n ? 4 ) ? .... ? Cn ( x n ? 2 ? n ? 2 )? 2? x x x ? n ?1 1 1 2 n ?1 1 2 ? 2 ? (Cn ? Cn ? ... ? Cn ) ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? 2n ? 2 2

?

?

例 15. (2001 年全国理)己知 i, m, n是正整数,且 ? i ? m ? n 1 (1) 证明:ni Am ? mi An
i i
m

(2) 证明:? m? n ? ?1 ? n? ?1

证明: (1) 对于1 ? i ? m, 有Am ? m.(m ? 1)......( ? i ? 1), m
i

Am m m ? 1 m ? 2 m ? i ?1 ? ? ? ...... i m m m m m
i

同理

An n n ? 1 n ? 2 n ? i ?1 ? ? ? ...... 由于m ? n, 对整数k ? 1,2,......,i ? 1, 有 i n n n n n i i i n?k m?k A A i ? ,? ni ? mi 即mi An ? ni Am n m n m
i
n

(2)由二项式定理有 (1 ? m) ?
i

? miCn , (1 ? n)m ? ? niCm ,由(1)知mi An ? ni Am
i i i i ?0 i ?0

n

m

i

(1 ? i ? m ? n),而Cn ?
i
m

An A i i i , Cm ? m ? mi cn ? niCm (1 ? i ? m ? n) i! i!
i o o 1 1 i

i

因此

? miCn ? ? niCm , 又moCn ? noCm ? 1, m Cn ? nCm ? m n, miCn ? 0
i i ?2 i ?2 n i i m i i ?0 i ?0

m

(m ? i ? n) ? ? m Cn ?? niCm 即(1 ? m)n ? (1 ? n)m 。
七、强化训练 1.已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( ) A.

7 3

B.

8 3

C. 2

D. 3

2.已知命题 p:函数 y ? log0.5 ( x 2 ? 2x ? a) 的值域为 R,命题 q:函数 y ? ?(5 ? 2a) x 是减函数。若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 3. 解关于 x 的不等式

a?x >0 x ?2 x ? 3
2
2 2

4.求 a,b 的值,使得关于 x 的不等式 ax +bx+a -1≤0 的解集分别是: (1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3){2};(4)[-1,+∞). 5. 解关于 x 的不等式 1 ? a 2 x ? a ? a x (a ? 0且a ? 1)

11

6. (2002 北京文)数列 xn 由下列条件确定: x1 ? a ? 0, x n ?1 ? (1)证明:对于 n ? 2, 总有xn ?
2

? ?

1? a? ? xn ? ?, n ? N ? 2? xn ? ? ?

a,

(2)证明:对于 n ? 2,总有xn ? xn ?1 . 7.设 P=(log2x) +(t-2)log2x-t+1,若 t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值,试求 x 的变化 范围. 8.已知数列 ?an ? ? 的通项为 n , 前n项和为sn , 且an是sn与2的等差中项,数列bn ?中, a b1=1,点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。 Ⅰ)求数列 ?an ?? n ? 、 的通项公式 n , bn b a Ⅱ)设 ?bn ?的前 n 项和为 Bn, 试比较

1 1 1 ? ? ... ? 与2的大小 。 B1 B2 Bn

Ⅲ)设 Tn=

b b1 b2 ? ? ... ? n , 若对一切正整数 , Tn ? c(c ? Z )恒成立, 求c的最小值 n a1 a2 an

八、参考答案 1.解:画出图象,由线性规划知识可得,选 D 2.解:命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x ? 2 x ? a 的判
2

别式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,从而 a ? 1 ;命题 q 为真时, 5 ? 2a ? 1 ? a ? 2 。 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p 和 q 中只有一个是真命题,一个是假命题。 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选 C. 3.分析:本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本 步骤。本题的关键是对分母分解因式,将原不等式等价转化为 ?x ? a ??x ? 3??x ? 1? ? 0 和比较 a 与 ? 1 及 3 的大小,定出分类方法。 解:原不等式化为: ?x ? a ??x ? 3??x ? 1? ? 0 (1) 当 a ? ?1 时,由图 1 知不等式的解集为 x x ? a或 ? 1 ? x ? 3

?

?

(2) 当 ? 1 ? a ? 3时,由图 知不等式的解集为x x ? ?1或a ? x ? 3 2 (3) 当 a ? 3时,由图 知不等式的解集为x x ? ?1或3 ? x ? a 3

?

?

?

?

4.分析:方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地 联系起来,相互转化和相互交通. 2 解(1) 由题意可知,a>0 且-1,2 是方程 ax +bx+a2-1≤0 的根,所以

12

(3)由题意知,2 是方程 ax +bx+a -1=0 的根,所以 2 4a+2b+a -1=0. 2 2 又{2}是不等式 ax +bx+a -1≤0 的解集,所以

2

2



(4)由题意知,a=0.b<0,且-1 是方程 bx+a2-1=0 的根,即-b+a2-1=0,所以 a=0,b=-1. 说明:二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系.在解决具体的 数学问题时,要注意三者之间相互联系相互渗透,并在一定条件下相互转换。 5.分析:在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧,通过换元,可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,数形结合,则可将不等式的解化归为直观,形 象的图象关系,对含参数的不等式,运用图解法,还可以使得分类标准更加明晰。 解:设 t ? a ,原不等式化为 1 ? t 2 ? a ? t (t ? 0)设y1 ? 1 ? t 2 (t ? 0), y 2 ? a ? t ,在同一
x

坐标系中作出两函数图象

? y1 ? y2 , 故(1)当 0 ? a ? 1 ,0 ? t ? 1,即0 ? a x ? 1? x ? ?0,??) 时

当1 ? a ? 2时, 如右图, 解方程 1 ? t ? a ? t得t1 , 2
2

(2)

a ? 2? a2 ? 2

a ? 2? a2 a ? 2? a2 2? 2? a2 a ? 2? a2 ? ?t ? ? x ? (loga , log a ) 2 2 2 2
2 时,原不等式的解集为φ

(3)当 a ?

综上所述,当 a ? (0,1) 时,解集为 ?0,?? ) ;当 a ? (1, 2 ) 时,解集为

(loga

2 ? 2 ? a2 2 ? 2 ? a2 , loga );当a ? 2 2

?

2 ,??) 时,解集为φ。

6.证明: (1) x1 ? a ? 0及xn?1 ? ( xn ?

1 2

a 1 a a )知xn ? 0, 从而xn?1 ? ( xn ? ) ? xn ? ? a (n ? N ?) xn 2 xn xn

?当n ? 2时xn ? a成立
13

(2)当 n ? 2 时, x n ?
2

a ? 0, x n ?1 ?

1 a 1 a ( x n ? ),? x n ?1 ? x n ? ( ? x n ) 2 xn 2 xn

=

1 a ? xn ? ? 0.? n ? 2时, xn ? xn ?1成立 2 xn

7.分析:要求 x 的变化范围,显然要依题设条件寻找含 x 的不等式(组),这就需要认真思考条 件中“t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值. ”的含义.你是怎样理解的?如果继续思考有困 难、请换一个角度去思考.在所给数学结构中,右式含两个字母 x、t,t 是在给定区间内变化 的,而求的是 x 的取值范围,能想到什么? 解:设 P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1.因为 P=f(t)在 top 直角坐标系内是一直线,所 以 t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值的充要条件

解得 log2x>3 或 log2x<-1.

说明:改变看问题的角度,构造关于 t 的一次函数,灵活运用函数的思想,使难解的问题转化 为熟悉的问题. 8.分析:本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。 略解:Ⅰ) an ? 2n , bn ? 2n ? 1 Ⅱ)Bn=1+3+5+?+(2n-1)=n
2

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 B1 B2 Bn 1 2 3 n

?1?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? .. ? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) 1? 2 2 ? 3 (n ? 1).n 2 2 3 n ?1 n 1 1 1 1 ? 2 ? ? 2? ? ? ... ? ?2 n B1 B2 Bn

Ⅲ)Tn=

1 3 5 2n ?1 ? 2 ? 2 ? ... ? n ① 2 2 2 2

1 1 3 5 2n ? 1 T n ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2n ? 1 ①-②得 Tn ? ? 2 ? 3 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 1 1 3 4 7 37 ? Tn ? 3 ? n ? 2 ? ?3 ?2 又 T4 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? n 2 2 16 2 2 2 2

?满足条件Tn ? c的最小值整数 ? 3 。 c
14

15


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