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高一数学《函数的基本性质——单调性和最值(1)》学案


青海省青海师大附属第二中学高一数学 (一) 、基本概念及知识体系: 1、教学要求:理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数的证明 和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 3、教学难点:理解概念。 (二) 、教学过程与典例剖析: ●、复习准备: 1.引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特征 呢? 2. 观察下列各个函数的图象, 并探讨下列 变化规律: ①随 x 的增大,y 的值有什么变化? ②能否看出函数的最大、最小值? ③函数图象是否具有某种对称性? ★题 3 . 画出函数 f(x)= x+2、f(x)= x 2 的图像。 (小结描点法的步骤:列表→描点→连线) 二、讲授新课: 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念: ①根据 f(x)=3x+2、 f(x)=x 2 (x>0)的图象进行讨论: 随 x 的增大,函数值怎样变化? 当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样? ②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质? ③定义增函数: 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两 个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 (increasing function) ④探讨:仿照增函数的定义说出减函数的定义;→ 区间局部性、取值任意性 ⑤定义: 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数, 就说 f(x)在这一区间上具有 (严 格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间。 ⑥讨论: 图像如何表示单调增、 单调减?所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间 有什么关系?y=x 的单调区间怎样? ③练习(口答) :如图,定义在[-4,4]上的 f(x),根据图像说出单调区间及单调性。 2.教学增函数、减函数的证明: ①出示 ★例 1:指出函数 f(x)=-3x+2、g(x)= 1 的单调区间及单调性,并给出证明。 x 2 (由图像指出单调性→示例 f(x)=-3x+2 的证明格式→练习完成。 ) k (k 为正常数) ,告诉我们对于一定量的气体,当 V 其体积 V 增大时,压强 p 如何变化?试用单调性定义证明. (学生口答→ 演练证明) ③小结:比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号。 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; →计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简→ 判断差的符号→下结论。 三、巩固练习: ②出示例 2:物理学中的玻意耳定律 p ? 1.求证 f(x)=x+ 1 的(0,1]上是减函数,在[1 , +∞)上是增函数。 x 2.判断 f(x)=|x|、y=x 3 的单调性并证明。 3.讨论 f(x)=x 2 -2x 的单调性。 推广:二次函数的单调性 4.课堂作业:书 P43 1、2、3 题。 四、本堂课之备选例题和习题: 3 ★例题 1、证明函数 y=x -b(b 为常数)是 R 上的增函数。 (见教案 P40 面题 1) ★例题 2、定义(-1,1)上的函数 f(x)是↘,且满足 f(1-a)<f(a),求实数 a 的取值范围。 ● 解:0<a<1/2. (见教案 P40 面题 2) x-1 ★例题 3、求函数 y= (当-2≤x≤1

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