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专题2.3 解三角形与不等式最值和范围问题的结合-2018年高考数学解答题专题训练

1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 ?ABC 的面积为 【答案】 (1) B ? cosA cosB 2 3sinC . ? ? a b 3a 3 , B 是钝角,求 b 的最小值. 2 ? 3 或 2? . (2) 6 . 3 由正弦定理得 sinBcosA ? cosBsinA ? 2 3 sinBsinC , 3 ∴ sin ? A ? B ? ? 2 3 sinBsinC , 3 又在 ?ABC 中, sin ? A ? B? ? sinC ? 0 ,∴ sinB ? ? 2? 3 ,∴ B ? 或 . 3 3 2 (2)由 又B ? 1 3 3 , sinB ? 得 ac ? 2 , acsinB ? 2 2 2 2? 2 2 2 2 2 , b ? a ? c ? 2accosB ? a ? c ? 2 ? 2ac ? 2 ? 6 , 3 当且仅当 a ? c 时取等号,∴ b 的最小值为 6 . 2.已知 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , ?ABC 的面积 S 满足 ? (1)求角 C 的值; (2)求 cos2 A ? cos ? A ? B ? 的取值范围. 【答案】 (1) 4 S ? a 2 ? b2 ? c 2 . 3 2 ?; (2) 0, 3 3 ? ? S ?? 3 a 2 ? b2 ? c 2 4 ? ? ?? 3abcosC 1 ? absinC 2 2 2 tanC ? ? 3 ,又 0 ? C ? ? , ? C ? ? . 3 (2) cos2 A ? cos ? A ? B ? =cos2 A ? cos ? 2 A ? ? ? ?? 3 3 sin2 A ? ? cos2 A ? 3? 2 2 ?? ? = 3sin ? 2 A ? ? 3? ? 0? A? ? 3 ,? ? 3 ? 2A ? ? 3 ?? ?? ? ? 3sin ? 2 A ? ? ? 0, , 3? ? 3? ? ? 3.已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,且 (1)求角 A 的大小; (2)设 AD 为 BC 边上的高, a ? 3 ,求 AD 的范围. 【答案】(1) A ? 3c ? tanA ? tanB . acosB ? 3 (2) 0 ? AD ? 3 2 1 bc ,再根据余弦定理得 bc 范围, 2 【解析】试题分析: (1)先根据正弦定理化边角关系为角的关系,再根据三角形内角关系以及诱导公式化 简得 tanA ? 3 ,即得角 A 的大小, (2)根据三角形面积关系得 AD ? 即得 AD 的范围. 试题解析: (1)在 ABC 中, ∵ 3c 3sinC sinA sinB ? tanA ? tanB ∴ ? ? acosB sinAcosB cosA cosB 3sinC sinAcosB ? sinBcosA ? sinAcosB cosAcosB 即: ∴ ? 3 1 则: tanA ? 3 ∴ A ? ? 3 sinA cosA ABC (2)∵ S ∴ AD ? ? 1 1 AD ? BC ? bcsinA , 2 2 1 bc 2 由余弦定理得: cosA ? 1 b2 ? c 2 ? a 2 2bc ? 3 ? ? 2 2bc 2bc ∴ 0 ? bc ? 3 (当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴ 0 ? AD ? 4.在 3 2 中,角 的对边分别是 , . (1)求 的值; (2)若 ,求 的最大值. ;(2)6. 【答案】(1) 由余弦定理,得 , ∵ (2)由(1)知 ; 于是 解得 当且仅 所以 , 时,取等号. 的最大值为 6. , 5.已知 ABC 的内角 A , B , C 满足: (1)求角 A ; sinA ? sinB ? sinC sinB ? . sinC sinA ? sinB ? sinC (2)若 ABC 的外接圆半径为 1,求 ABC 的面积 S 的最大值. 【答案】(1) A ? ? 3 ;(2) S ? 3 3 . 4 可得 a ?b ?c b ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc , c a?b?c 所以 cosA ? b2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? , 2bc 2bc 2 又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? (2) ? 3 . a ? ? 2 R ? a ? 2 RsinA ? 2sin ? 3 , sinA 3 2 2 所以 3 ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc , 所以 S ? 1 1 3 3 3 ( b ? c 时取等号) . bcsinA ? ? 3 ? ? 2 2 2 4 6. 已知在锐角 ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边, 点 D 在边 BC 上, 且 CD ? AD ? 2 DB , cos?BAD ? 13 , b?4 3. 4 (1)求 B ; (2)求 ABC 周长的最大值. 【答案】 (1) B ? ? 3 ; (2) 12 3 【解析】试题分析: (1)根据正弦定理, AD BD ? ,可得解; sinB sin?BAD (2)由余弦定理,得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2accosB , ? a ? c ? ?a ? c? 得 48 ? a ? c ? ac ? ? a ? c ? ? 3ac ? ? a ? c ? ? 3 ? ,即可解得 a ? c 最大值,进而得周 ? ? 4 ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 长最大值. 试题解析: 2 2 2 (2

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