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2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.7 数学归纳法课件 理


第六章 不等式、推理与证明

第七节

数学归纳法

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 1.了解数学归纳法的原理;2.能用数学归纳法证明一些简单 的数学命题。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取 第1个值n0(n0∈N+) 时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n= k+1时 命题也成立。 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数n都

成立。上述证明方法叫做数学归纳法。

基 础 自 测
[判一判]

(1) 用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n = 1 时结论成立。
(× ) 解析 为 1。 (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明。( × ) 解析 错误。不一定。 (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用。(× ) 解析 错误。归纳假设必须用。 错误。第一步验证当 n取初始值 n0时结论成立,但是n0不一定

[练一练] (4) 不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n =k到n =k+1

时,项数都增加了一项。( × ) 解析 错误。由 n=k 到 n=k+1 时,项数不一定增加一项,如用数学

n4+n2 归纳法证明:1+2+3+?+n = 2 时,当 n=k+1 时,左端应在 n=k
2

的基础上增添的代数式为(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2。
(5)用数学归纳法证明等式“1+2 +22+?+2n +2=2n +3-1”,验证n =1时,左边式子应为1+2+22+23。( √ ) 解析 正确。

1 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步 2 检验 n 等于( A.1 C.3 ) B.2 D.0

解析 边数最小的凸多边形是三角形。 答案 C

1 1 1 2.若 f(n)=1+2+3+?+ (n∈N+),则 f(1)为( 6n-1 A.1 1 1 1 1 C.1+2+3+4+5 1 B.5 D.非以上答案

)

1 1 1 解析 ∵f(n)=1+2+3+?+ , 6n-1 1 1 1 1 1 1 1 ∴f(1)=1+2+3+?+ =1+2+3+4+5。 6×1-1 答案 C

3.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得 当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得 ( ) A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立

解析

因为当n=k(k∈N+)时命题成立,则当n=k+1时,命题也成

立。现n=5时,命题不成立,故n=4时命题也不成立。 答案 C

4.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)?(n+n)=2n· 1· 3· ?· (2n-1)(n∈ N+),从“k 到 k+1”左端需增乘的代数式为( A.2k+1 C. 2k+1 k+1
解析

)

B.2(2k+1) 2k+3 D. k +1
n=k+1时,左端为(k+2)(k+3)?[(k+1)+(k-1)]·[(k+1)+

k](2k+2)=(k+1)(k+2)?(k+k)·(2k+1)·2,∴应增乘2(2k+1)。
答案 B

R

热点命题

深度剖析

考点一

用数学归纳法证明等式

1 1 1 1 1 1 1 【例 1】 n∈N+,求证:1-2+3-4+?+ -2n= + 2n-1 n+1 n+2 1 +?+2n。 1 1 【证明】 (1)当 n=1 时,左边=1-2=2, 1 1 右边= = 。左边=右边。 1+1 2

1 1 1 1 1 1 1 (2)假设 n=k 时等式成立, 即 1-2+3-4+?+ -2k= + 2k-1 k+1 k+2 1 +?+ , 2k 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - + - 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 1 1 1 1 1 = + +?+ + - 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+2 = 1 1 1 1 + +?+ + 。 k+2 k+3 2k+1 2k+2

1 1 1 1 = + +?+ + ?k+1?+1 ?k+1?+2 2k+1 2?k+1? 即当 n=k+1 时,等式也成立。 综合(1),(2)可知,对一切 n∈N+,等式成立。

【规律方法】 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两 边的构成规律,等式两边各有多少项,以及初始值n0的值。 (2)由n=k到n=k+1时,除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n=k 时的式子,即充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以 证明。

变式训练1 f(n)=1+++?+(n∈N+)。 求证:f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n·[f(n)-1](n≥2,n∈N+)。

证明 (1)当 n=2 时,左边=f(1)=1。 1 右边=2(1+2-1)=1,左边=右边,等式成立。

(2)假设 n=k 时,结论成立,即 f(1)+f(2)+?+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k 1 =(k+1)[f(k+1)- ]-k k+1 =(k+1)f(k+1)-(k+1) =(k+1)[f(k+1)-1], ∴当 n=k+1 时结论仍然成立。 ∴f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n· [f(n)-1](n≥2,n∈N+)。

考点二

用数学归纳法证明不等式

【例2】 设实数c>0,整数p>1,n∈N*。 (1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px; 【证明】 用数学归纳法证明。 ①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立。 ②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立。 当p= k+1时,(1+ x)k+1=(1+ x)(1+ x)k>(1+x)(1+ kx)= 1+(k+1)x+ kx2>1+(k+1)x。

所以p=k+1时,原不等式也成立。
综合①②可得,当 x>- 1 且 x≠0 时,对一切整数 p>1 ,不等式 (1 + x)p>1 +px均成立。

p-1 1 c -p 1 (2)数列{an}满足 a1>cp,an+1= p an+pa1 ,证明: a > a > c + n n n 1 p。
1 【证明】 证法一:先用数学归纳法证明 an>c 。 p 1 1 ①当 n=1 时,由题设 a1>cp知 an>cp成立。 1 ②假设 n=k(k≥1,k∈N )时,不等式 ak>cp成立。
*

p-1 c -p * 由 an+1= an+ a1 n 易知 an>0,n∈N 。 p p ak+1 p-1 c -p 1c 当 n=k+1 时, = + ak =1+ p-1。 ak p p pak 1 1 1c 由 ak>cp>0 得-1<-p<pap-1<0。
k

ak+1p 1c 1c c p 由(1)中的结论得 =1+ p-1 >1+p· p-1= p。 ak pak pak ak 因此 ap k+1>c,即 1 ak+1>c 。 p

1 所以 n=k+1 时,不等式 an>cp也成立。 1 综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 an>c 均成立。 p an+1 an+1 1c 再由 =1+ p-1 可得 <1,即 an+1<an。 an pan an 1 综上所述,an>an+1>cp,n∈N*。

p-1 c - 1 证法二:设 f(x)= p x+px1 p,x≥cp,则 xp≥c, p-1 c p-1 c 1 -p 并且 f′(x)= + (1-p)x = 1- p>0,x>c 。 p p p x p 1 由此可得,f(x)在[c ,+∞)上单调递增。 p 1 1 1 因而,当 x>cp时,f(x)>f(cp)=cp。 p-1 1 c 1-p 1c p ①当 n=1 时, 由 a1>cp>0, 即 a1>c 可知 a2= p a1+pa1 =a11+pap- 1 1 1 1<a1,并且 a2=f(a1)>cp,从而 a1>a2>cp。 1 故当 n=1 时,不等式 an>an+1>c 成立。 p

1 ②假设 n=k(k≥1,k∈N )时,不等式 ak>ak+1>c 成立,则当 n=k+1 p
*

1 1 时,f(ak)>f(ak+1)>f(c ),即有 ak+1>ak+2>c 。 p p 所以 n=k+1 时,原不等式也成立。 1 综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 an>an+1>cp均成立。

【规律方法】 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数 n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证, 则可考虑应用数学归纳法。 (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n= k成立,推证 n=k+ 1时也 成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差 (求商)比较

法、放缩法等证明。

1 变式训练 2 设数列{an}满足 a1=2,an+1=an+ (n=1,2,?)。 an 证明:an> 2n+1对一切正整数 n 都成立。

证明 当 n=1 时,a1=2>

2×1+1,不等式成立。 2k+1成立。

假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,ak> 那么当 n=k+1 时,

1 1 2 2 ak+1=ak + 2+2>2k+3+ 2>2(k+1)+1。 ak ak ∴当 n=k+1 时,ak+1> 综上,an> 2?k+1?+1成立。

2n+1对一切正整数 n 都成立。

考点三

归纳——猜想——证明

【例 3】 (2015· 湖北高考题改编)已知数列{an}的各项均为正数,bn= 1 n1+nnan(n∈N+),e 为自然对数的底数。 b1b2?bn b1 b1b2 b1b2b3 计算a ,a a ,a a a ,由此推测计算 的公式,并给出证明。 a a ? a 1 1 2 1 2 3 1 2 n

【解】

b1 1 =1· 1+ 1=1+1=2; a1 1

b1b2 b1 b2 12 2 2 = · = 2· 21 + = (2 + 1) = 3 ; a1a2 a1 a2 2 b1b2b3 b1b2 b3 2 1 = · =3 · 31+ 3=(3+1)3=43。 a1a2a3 a1a2 a3 3 b1b2?bn 由此推测: =(n+1)n。① a1a2?an 下面用数学归纳法证明①。

(ⅰ)当 n=1 时,左边=右边=2,①成立。 b1b2?bk (ⅱ)假设当 n=k 时,①成立,即 =(k+1)k。 a1a2?ak 1 k+1 当 n=k+1 时,bk+1=(k+1)1+ ak+1, k+1 b1b2?bkbk+1 b1b2?bk bk+1 1 k+1 k 由归纳假设可得 = · = (k +1) (k + 1)1+ a1a2?akak+1 a1a2?ak ak+1 k +1 =(k+2)k 1。


所以当 n=k+1 时,①也成立。v 根据(ⅰ)(ⅱ),可知①对一切正整数 n 都成立。

【规律方法】 归纳—猜想—证明类问题的解题步骤

(1) 利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问
题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推理发现结论,然后 经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性。

(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”,高
中阶段该部分与数列结合的问题是最常见的问题。

变式训练3 数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+), (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;

解 当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1。 3 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2= 。 2 7 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3= 。 4 15 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4= 。 8 2n-1 由此猜想 an= n- 1 (n∈N+)。 2

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想。

解 证明:①当 n=1 时,a1=1,结论成立。 2k-1 ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N+ )时,结论成立,即 ak= k- 1 。 2 当 n=k+1 时,ak+1=Sk+ 1-Sk=2(k+1)-ak+ 1-2k+ak=2+ak-ak+1, ∴2ak+ 1=2+ak。 2k-1 2+ k- 1 2+ak 2 2k+ 1-1 2k+ 1-1 ∴ak+ 1= = = = k+ 1- 1 , 2 2 2k 2 ∴当 n=k+1 时,结论成立, 2n-1 由①②知猜想对于任意 n∈N+,an= n- 1 成立。 2

S

思想方法

感悟提升

⊙1种方法——寻找递推关系的方法
(1)在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发 现递推关系是有帮助的。 (2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在 哪个位置。 (3)在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的 最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚。

⊙3个注意点——运用数学归纳法应注意的三个问题
(1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求选择合适的起 始值。 (2)由题设n=k成立证n=k+1时,要推导详实,并且一定要运用n=k成 立的结论。 (3)要注意n=k到n=k+1时增加的项数。


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