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高三数学专题二 函数对称性


专题二 (1)对称性规律

函数对称性

1.已知函数定义域为 R,且满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,则函数 f(x)的图像关于 2.已知函数定义域为 R,且满足 f (4 ? x) ? f ( x) ,则函数 f(x)的图像关于 3.已知函数定义域为 R,且满足 f (? x) ? f (4 ? x) ,则函数 f(x)的图像关于 4.已知函数定义域为 R,且满足 f (1 ? x) ? f (3 ? x) ,则函数 f(x)的图像关于 5 已知函数定义域为 R,且满足 f (2 ? x) ? ? f (2 ? x) ,则函数 f(x)的图像关于 6.已知函数定义域为 R,且满足 f (? x) ? f (6 ? x) ? 0 ,则函数 f(x)的图像关于 7 y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 对称. 对称. 对称. 对称.

对称. 对称.

对称。 对称。 对称。 对称。 对称。 对称 对称 对称

y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于
y ? f ( x) 与 y=-f(x)图象关于

y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 关于 y ? f ( x) 与 y ? 2a ? f ( x) 关于

8 函数 y= f (2 ? x)与y ? f (2 ? x) 图象关于 9 函数 y= f (2 ? x)与y ? - f (2 ? x) 图象关于 10 函数 y= f (2 ? x)与y ? f (-2 ? x) 图象关于

(2)对称性应用于比较大小
1.设 f(x)满足 f(x)=f(4-x),且当 x>2 时 f(x)是增函数,则 a=f(1),b= f(0),c= f (2.5) 的大小关系是 ( A.a>b>c ) C.a>c>b D.c>b>a

B.b>a>c

2 已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ,那么不等式 f ( x) ?

1 的解集是 2

1

(3)对称性用于求解析式
1. 已知 f ( x ) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x 3 ? 1 ,则 f ( x ) 的解析式. 2. 已知函数的 g ( x ) 图象与函数 f ( x) ? x 2 ? 9 x ? 2 的图象关于原点成中心对称, 则 g ( x ) 3. 设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,若当 x?1 时,y=x2+1,则 x>1 时, ,f(x)= 4. 设 f ( x ) ? x ? 1 , 则 f ( x ? 1) 关于直线 x ? 2 对称的曲线的解析式.为 5. 已知函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,且 x∈(0,+∞)时有 f(x)=
1 , 求当 x∈(-∞,-2)时, 求 y ? f ( x ) 的解析式. x

.

(4)奇偶性,周期性和对称性
1 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 点 (?

3 , 0) 对 称 , 且 f (?1) ? 1 , f (0) ? ?2 , 4


3 f ( x) ? ? f ( x ? ) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? ? f (2005) 的值为( 2
A. ? 2 B. ?1 C.0 D.1

2 已知函数 f ( x ? 1) 为奇函数,函数 f ( x ? 1) 为偶函数,且 f (0) ? 2 ,则 f (4) ? ( A.



?1

B. ?2

C.

1

D. 2

3 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,设 a=f(3),b=f( 2 ),c=f(2), 则 a,b,c 大小关系是( ) A、a>b>c B、a>c>b

C、b>c>a

D、c>b>a

4 已知函数 f ( x ) 是偶函数,当 x ? [0,1) 时, f ( x ) ? 1 ? x, 又 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称,求 f ( x ) 在 [5,6 ) 的解 析式.

2

5 f ( x) 为定义在 R 上的偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 对 x ? R 恒成立 (1)求证 y ? f ( x) 为周期函数(2)若当 x ?[0, 2]时 f ( x) ? x2 ? x ,求 f ( x) 在[2,6]上的解析式(3) 写出函数的单调区间及值域(不用证明)

(5) .三次函数图像的对称性
任意三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,它的图像有唯一的对称中心 ( ?

b b , f ( ? )) .且对 3a 3a

称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.,因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的 1 已知函数 y ?

1 3 x ? x 2 ? x 的图象 C 上存在定点 P ,使得过定点 P 的直线 l 与曲线 C 有两个不同于 P 的 3

交点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,就恒有 y1 ? y2 为定值 y0 ,则 y0 的值为() A. ?

1 3

B. ?

2 3

C. ?

4 3

D. ?2

2 设 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的极小值为 ?2 , 其导函数 y ? f ?( x) 的图像是经过点 (?1, 0), (1, 0) 开口向上的抛 物线.(1)求 f(x)的解析式(2)若过点 (1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

(6) 练习题
1.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)= -f(x),当 0≤x≤1 时,f (x) = x,则 f (7.5 ) = ( ) (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5

2 已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时, ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 ( f ( x) ? log2 (x ? 1 )
3

)

A. ? 2

B. ? 1

C. 1

D. 2 )

)?( 3. 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , 若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都 是 奇 函 数 , f (1) ? 2 则 f (2009
A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2 4.函数 f (x)为奇函数且 f (3x+1)的周期为 3,f (1)=-1,则 f (2006)等于 A.0 B.1 C.一 1 D.2 5 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 满 足 f ( x ? 2 )?

1 , 当 0 ≤ x ≤ 1 , f ( x) ? 2x , 则 f ( x)

f ( 7 . 5? ) ______________
6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线

x?

1 2 对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=

____ 。 7 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,若 ? , ? 是锐角三角形的两 个内角,则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大小关系为_________ 8 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至少有__________个 实数根
9 已知函数 f ( x) ? | x ? 2ax ? b |( x ? R) ,给出下列命题,
2

⑴ f ( x) 不可能为偶函数;

⑵ 当 f (0) ? f (2) 时,f ( x) 的图象必关于直线 x ? 1 对称;
2

⑶ 若

a 2 ? b ? 0,则 f ( x) 在区间 [a,??) 上是增函数;
______(将你认为正确的命题的序号都填上) .

⑷ f ( x) 有最小值 b ? a ,其中正确命题的序号是

10 设函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上满足 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) , 上只有 f (1) ? f ( 3 ) ? 0.

且在闭区间 [ 0 , 7 ] f (7 ? x) ? f (7 ? x) , ⑵ 试求方程 f ( x ) ? 0 在闭区间

⑴ 试判断函数 y ? f ( x ) 的奇偶性;

[ ? 2 00 5 , 2 00 5 ] 上的根的个数,并证明你的结论。

4


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