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盐城市2017届高三第三次模拟考试数学试卷(理)含答案

盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试 数 学 试 题 (总分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写 在试卷及答题卡上. 参考公式:
1 锥体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 3 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请 把答案写在答题纸的指定位置上)

1.已知全集 U ? ??1,0,2? ,集合 A ? ??1,0? ,则 ? UA = 2.设复数 z 满足 zi ? 3 ? i ( i 为虚数单位) ,则 | z |?

▲ ▲

. .

3.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人、700 人、700 人,为了解不同年级学生的眼睛近视情况,现用分层抽样的方法抽取了容量 为 100 的样本,则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ . 4.若命题“ ?t ? R ,t 2 ? 2t ? a ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

5.甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测试中的成绩分别为: i ?1 甲组:88、89、90;乙组:87、88、92. 如果分别从甲、乙两 S ?0 组中随机选取一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值 While S ? 20 不超过 3 的概率是 ▲ . S ? 2S ? 3 6.执行如图所示的伪代码,输出 i 的值为 ▲ .
y2 7.设抛物线 y 2 ? 8x 的焦点与双曲线 x 2 ? 2 ? 1(b ? 0) b
i?i?2 End While
第 6 题图

Pr int i

的右焦点重合,则 b =



. ▲ .

?y ? 0 ? 8.设 x, y 满足 ? y ? x ,则 z ? x ? y 的最大值为 ?| x | ? | y |? 1 ?

? 9 .将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位后,恰好得到函数的 3
y ? sin 2 x 的图象,则 ? 的最小值为





10.已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2,点 P, Q 分别为棱 CC1 , BC 的 中点,则四面体 A1 ? B1PQ 的体积为 ▲ .

11 . 设 数列 ?an ? 的首 项 a1 ? 1 ,且满足 a2n? 1 ? 2a 2n? 1与 a2n ? a2n?1 ? 1 ,则 S20 ? ▲ .
1 4 ? 的最小值为 ▲ . a ? 2b 2a ? b ??? ? ??? ? ??? ? 13.已知 A, B, C , D 四点共面, BC ? 2 , AB2 ? AC 2 ? 20 ,CD ? 3CA ,则 | BD | 的

12.若 a , b 均为非负实数,且 a ? b ? 1 ,则

最大值为



. ▲ .

14.若实数 x, y 满足 2 x ? 3 ? ln( x ? y ? 1) ? ln( x ? y ? 2) ,则 xy ?

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分. 解答应写出必要的文字说明,证明过 程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD 中 ? 1A 1B 1C 1 D , 平 面 A1 ABB1 ? 底 面 ABCD , 且 ? ?ABC ? . D1 2 C1 (1)求证: B1C1 // 平面 BCD1 ; B1 A1 (2)求证:平面 A1 ABB1 ? 平面 BCD1 .
D

C
A B
第 15 题图

16.(本小题满分 14 分) ??? ? ???? 设△ ABC 面积的大小为 S ,且 3 AB ? AC ? 2S . (1)求 sin A 的值; ??? ? ???? ? (2)若 C ? , AB ? AC ? 16 ,求 AC .
4

17. (本小题满分 14 分) 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施,其轴截面如图中实线所示. ABCD 是等腰梯形, AB ? 20 米, ?CBF ? ? ( F 在 AB 的延长线上,? 为锐 角). 圆 E 与 AD, BC 都相切,且其半径长为 100 ? 80sin ? 米. EO 是垂直于 AB 的一个立柱,则当 sin ? 的值设计为多少时,立柱 EO 最矮?
E

D

C

?
A O B F
第 17 题图

18.(本小题满分 16 分)
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点、右焦点,点 P 为椭 a 2 b2 圆 C 上一动点,当 PF ? x 轴时, AF ? 2 PF . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若椭圆 C 存在点 Q ,使得四边形 AOPQ 是平行四边形(点 P 在第一象 限) ,求直线 AP 与 OQ 的斜率之积; ab (3)记圆 O : x 2 ? y 2 ? 2 为椭圆 C 的“关联圆”. 若 b ? 3 ,过点 P 作 a ? b2 椭圆 C 的“关联圆”的两条切线,切点为 M 、 N ,直线 MN 的横、纵 3 4 截距分别为 m 、 n ,求证: 2 ? 2 为定值. m n

已知 A 、F 分别是椭圆 C :

19.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x)=xex ? ax2 (a ? R) . f ( x) (1)若函数 g ( x ) ? x 是奇函数,求实数 a 的值; e (2) 若对任意的实数 a , 函数 h( x) ? kx ? b ( k , b 为实常数) 的图象与函数 f ( x) 的图象总相切于一个定点. ① 求 k 与 b 的值; ② 对 (0, ??) 上的任意实数 x1 , x2 ,都有 [ f ( x1 ) ? h( x1 )][ f ( x2 ) ? h( x2 )] ? 0 ,

求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? , ?bn ? 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的 顺序排成一列(相同的项视为一项) ,则得到一个新数列 ?cn ? . (1) 设数列 ?an ? 、 等比数列, 若 a1 ? b1 ? 1 , a2 ? b3 , a6 ? b5 , ?bn ? 分别为等差、 (2)设 ?an ? 的首项为 1,各项为正整数,bn ? 3n ,若新数列 ?cn ? 是等差数列, 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (3)设 bn ? qn?1( q 是不小于 2 的正整数) ,c1 ? b1 ,是否存在等差数列 ?an ? , 使得对任意的 n ? N * ,在 bn 与 bn ?1 之间数列 ?an ? 的项数总是 bn ?若存 在,请给出一个满足题意的等差数列 ?an ? ;若不存在,请说明理由. 盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试 数学附加题部分 (本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21.[选做题](在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. 请把答案写在答题纸的指定区域内) A.(选修 4—1:几何证明选讲) 已知 AB, CD 是圆 O 两条相互垂直的直径,弦 DE 交 AB 的延长线于点 F ,若 DE ? 24 , EF ? 18 ,求 OE 的长. D
E A O C 第 21(A)图 B F

求 c20 ;

B.(选修 4—2:矩阵与变换)
已知矩阵 A= ? 线 C 的方程.
?1 ?0 0 ? x2 y 2 ?1, 求曲 ? 所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲线 C1 : ? 4 2 2?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程)
? 在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 1. 以极点 O 为原点,极 3 ? x ? r cos ? 轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 圆 C 的参数方程为 ? (? 为 ? y ? r sin ? 参数). 若直线 l 与圆 C 相切,求 r 的值.

D.(选修 4—5:不等式选讲)
已知 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 3 ,证明:
c 2 a 2 b2 ? ? ? 3. a b c

[必做题] (第 22、 23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定 区域内) 22. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,面 PAD ? 底面 ABCD , M 在 PC 上, 且 ?PAD 是边长为 2 的等边三角形, 且 PA ∥面 BDM. PC ? 13 , (1)求直线 PC 与平面 BDM 所成角的正弦值; (2)求平面 BDM 与平面 PAD 所成锐二面角的大小.
P M D C

A
第 22 题图

B

23. (本小题满分 10 分) 一只袋中装有编号为 1,2,3,?,n 的 n 个小球, n ? 4 ,这些小球除编号以外 无任何区别, 现从袋中不重复地随机取出 4 个小球,记取得的 4 个小球的最 大编号与最小编号的差的绝对值为 ?n , 如 ?4 ? 3 , ?5 ? 3 或 4 , ?6 ? 3 或 4 或 5 , 记 ?n 的数学期望为 f ? n ? . (1)求 f ? 5? , f ? 6 ? ; (2)求 f ? n ? .

盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.

?2?
7.

2. 2

3. 35

4. (??, ?1]

5.

8 9

6. 7

3
9.

8. 1 14. ?

5? 6

10.

3 2

11. 2056

12. 3

13.10

9 4

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15 . 证 明 : ( 1 ) 在 四 棱 柱 A B ? C1 D 1 A 1中 B 1,C 有 D ?????4 分 B1C1 // BC . 又 B1C1 ? 平 面 B C1 D , BC ? 平 面 B C1 D , 所 以 B1C1 // 平 面 ?????6 分 B C1 . D (2)因为平面 A1 ABB1 ? 底面 ABCD,交线为 AB , BC ? 底 面 C A ABCD , 且 B ? , B所 以 BC ? 平 面 ????12 分 A1 ABB1 . BC ? 平 面 B C 又 , D 所 以 平 面 A1 ABB1 ? 平 面 1 ????14 分 B C D 1. 16.解: (1)设 ?ABC 的三边长分别为 a, b, c ,由 3 AB ? AC ? 2S , 得

??? ? ????

s

A?


1 3bc cos A ? 2 ? bc sin A 2 A. i n 2 2 sin A ? 9cos A ? 9(1 ? sin 2 )





3 分 ????2
, 所

c


o

sin 2 A ?


9 . 10

????4 分

A ? (0, ? )
.n







s

A? i

n,

故0

s

3 A? i

1

0

10

????6 分

(2)由 sin A ? 3cos A 和 sin A ? 又 ①. 又C ?

??? ? ???? AB ? AC ? 16

, ????8 分

3 10 10 ,得 cos A ? , 10 10 b c c o? s A , 1 得 6 bc ? 1 所 以

6

1

0

?
4

,所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C .

?

3 10 2 10 2 2 5 ? ? ? ? 10 2 10 2 5

????10 分 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 , 得

b c b c 10 ? ,即 ,得 c ? ? b s i nB s iC n 4 2 5 2 5 2
y , 即

②. ????12 分 b?8 联 立 ①② , 解 得 AC ? 8 . ????14 分 17.解:方法一:如图所示,以 AB 所在直线为 x 轴,以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系. D 因为 B(10, 0) , k ? tan ? ,所以直线 BC 的方程为

·E

y ? tan ? ? ( x ? 10) , 即 x tan ? ? y ? 10 tan ? ? 0 . ...............4 分 E (0, t )( t ? 0) 设圆心 ,由圆 E 与直线 BC 相切, | ?t ? 10 tan ? | t ? 10 tan ? 100 ? 80sin ? ? ? 得 , 1 1 ? tan 2 ? cos ?


BC

C

?
A O B F x
第 17 题图



E ? ?

1

? ? . c ? f (? ) ? 100 ? 90sin ? cos ?


O ......

0 o

.........8 分 令

? ? ? (0, )
2





f ?(? ) ?

100(sin ? ?
2

cos ? 9 ? 设 sin ? 0 ? , ? 0 ? (0, ) . 列表如下: 10 2

9 ) 10 ,

...............10 分

?
f ?(? ) f (? )

(0, ?0 )
- 减

?0
0 极小值

(? 0 , ) 2
+ 增

?

所 值.





? ? ?0





sin ? ?

9 10





f (? )







...............13 分

9 答:当 sin ? ? 时,立柱 EO 最矮. 10

...............14 分 ·E C H

方法二:如图所示,延长 EO, CB 交于点 G ,过点 E 作 EH ? BC 于 H ,D 则 EH ? R ? 100 ? 80sin ? , ?HEG ? ?OBG ? ?CBF ? ? .

R 100 ? 80sin ? ? . cos ? cos ? 在 Rt ?OBG 中, OG ? OB tan ? ? 10 tan ? . 100 ? 90sin ? 所以 EO ? EG ? OG ? . cos ?
在 Rt ?EHG 中, EG ?

...............4 分 ...............6 分 ...............8 分 G
第 17 题图

?
A O B F

(以下同方法一) 18.解: (1)由 PF ? x 轴,知 xP ? c ,代入椭圆 C 的方程,

c2 y 2 b2 ? 1 y ? ? 得 2? P ,解得 . P a b2 a


...............2 分 所 以

AF ? 2 PF



2b2 a?c ? a







e?

(2)因为四边形 AOPQ 是平行四边形,所以 PQ ? a 且 PF / / x 轴, 所 以

1 . 2

...............4 分

xP ?

a 2











C













yP ? ?

3 b, 2

...............6 分

因 为 点 P 在 第 一 象 限 , 所 以 yP ?

a 3 b , 同 理 可 得 xQ ? ? , 2 2

yQ ?

3 b, 2

................7 分

所以 k AP kOQ





3b b2 ? ? 2 ?? 2 , a a a ? (?a) ? 2 2 c 1 e? ? 1 ) 知 a 2
Q

3b 2





b2 3 ? a2 4







kA k

P

3 ? ? O. 4

...............9 分

(3)由(1)知 e ? 圆 ①.

x2 y 2 c 1 ? ,又 b ? 3 ,解得 a ? 2 ,所以椭圆 C 方程为 ? ? 1, a 2 4 3 2 3 O 的 方 程 为 x2 ? y 2 ? 7

...............11 分 连接 OM , ON ,由题意可知, OM ? PM , ON ? PN ,

所以四边形 OMPN 的外接圆是以 OP 为直径的圆, 设 P( x0 , y0 ) , 则四边形 OMPN 的外接圆方程为 ( x ? 即 ②. ①-②,得直线 MN 的方程为 xx0 ? yy0 ?

x0 2 y 1 ) ? ( y ? 0 ) 2 ? ( x0 2 ? y0 2 ) , 2 2 4 2 x ? xx0 ? y2 ? yy0 ? 0

...............13 分

2 3 , 7 2 2 x0 y0 3 4 2 3 2 3 ), 令 y ? 0 ,则 m ? ;令 x ? 0 ,则 n ? . 所以 2 ? 2 ? 49( ? m n 4 3 7 x0 7 y0
因 为 点

P







C









2 2 x0 y0 ? ?1 4 3







3 4 ? 2 ? 49 . 2 m n
19 . 解 :( 1 ) 因 为 函 数 g ( x ) ? 立,
?x

...............16 分

f ( x) f (? x ) f x ( ) ?? x 恒成 是奇函数,所以 x ?x e e e

?????2 分
2

? xe ? a ? ? x ? xe x ? ax 2 2 ?x x 即 ,得 ax (e ? e ) ? 0 恒成立, ?? ?x x e e ?a ? 0.
?????4 分 (2)① f ? ? x ? ? e ( x ? 1) ? 2ax ,设切点为 ( x0 , f ( x0 )) ,
x

?

则切线的斜率为 f ? ? x0 ? ? e 0 ( x0 ?1) ? 2ax0 ,
x

据 题 意 f ? ? x0 ? 是 与

a 无 关 的 常 数 , 故 x0 ? 0, k ? f ? ? x0 ? ? 1 , 切 点 为
y?x
, 即

(0, 0) ,

?????6 分 由 点 斜 式 得 切 线 的 方 程 为 ?..???8 分 k ? 1, b ? 0 .

h( x ) ? x

, 故

② 当 f ( x1 ) ? h( x1 ) ? 0 时,对任意的 x2 ? ? 0, ??? ,都有 f ( x2 ) ? h( x2 ) ? 0 ; 当 f ( x1 ) ? h( x1 ) ? 0 时,对任意的 x2 ? ? 0, ??? ,都有 f ( x2 ) ? h( x2 ) ? 0 ; 故 f ( x) ? h( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,或 f ( x) ? h( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立.
x x 而 f ( x) ? h( x) ? x e ? ax ? 1 ,设函数 p( x) ? e ? ax ? 1, x ? [0, ??) .

?

?

则 p( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒 成 立 , 或 p( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒 成 立, ??????10 分

p?( x) ? e x ? a , 1? 当 a ? 1 时 , ? x ? ? 0, ??? , ? e x ? 1 , ? p?( x) ? 0 恒成立 , 所以 p ( x) 在 ?0, ??? 上 递增, p(0) ? 0 ,
故 意.

p ( x) ? 0



?0, ???

















.??.. .???12 分

2? 当 a ? 1 时,令 p?( x) ? 0 ,得 x ? ln a ,令 p?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ln a ,
故 p ( x) 在 ? 0,ln a ? 上递减,所以 p(ln a) ? p ?0 ? ? 0 , 而 p(a) ? e ? a ? 1, 设函数 ? (a) ? e ? a ? 1, a ? [1, ??) ,
a 2 a 2

则 ??(a) ? ea ? 2a ,??? ?(a)?? ? ea ? 2 ? 0 恒成立,

?? ?(a) 在 ?1, ?? ? 上递增,?? ?(a) ? ? ?(1) ? e ? 2 ? 0 恒成立,
?? (a) 在 ?1, ?? ? 上递增, ?? (a) ? ? (1) ? e ? 2 ? 0 恒成立,
即 p(a) ? 0 ,而 p(ln a) ? 0 ,不合题意. 1? 2? 综 上 , 知 实 数

20.解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,

? ??,1? .

a











??????16 分

?1 ? d ? q 2 ? 由题意得, ? ,解得 d ? 0 或 3 ,因数列 ?an ? ,?bn ? 单调递增, 4 ? ?1 ? 5d ? q
所 以

d ? 0 q, ?

, 1 所 以

d ? 3 , q ? 2 , 所 以 an ? 3n ? 2 ,

...............2 分 bn ? 2n?1 . 因为 b1 ? a1 , b3 ? a2 , b5 ? a6 , b7 ? a20 , 所

c2 ? a ? 49 .
.........4 分 (2)设等差数列 ?cn ? 的公差为 d ,又 a1 ? 1 ,且 bn ? 3n ,

0

以 ......

所以 c1 ? 1 ,所以 cn ? dn ?1 ? d . 因为 b1 ? 3 是 ?cn ? 中的项,所以设 b1 ? cn ,即

d (n ? 1) ? 2.
当 数;

n?4









d?

2 ?1 , 不 满 足 各 项 为 正 整 n ?1

当 b1 ? c3 ? 3 时, d ? 1 ,此时 cn ? n ,只需取 an ? n ,而等比数列 ?bn ? 的项都是等差 数 列

...............6 分 中 的

?an ?
1 n )







以 .......

Sn ?

1 ( ? n ; 2

........8 分 当 b1 ? c2 ? 3 时, d ? 2 ,此时 cn ? 2n ? 1,只需取 an ? 2n ? 1,

3n ? 1 , 3n 是奇数, 3n ? 1 是正偶数, m 有正整数解, 2 所 以 等 比 数 列 ?bn ? 的 项 都 是 等 差 数 列 ?an ? 中 的 项 , 所 以
由 3n ? 2m ?1 ,得 m ?

Sn ? n 2 .
综 上 所 述 ,

...............10 分 数 列

?cn ? ?an ?





n





Sn ?

1 ( n ? n1 或 ) 2

Sn ? n 2 .
( 3 ) 存 在 等 差 数 列

...............11 分 , 只 需 首 项

a1 ? (1, q) , 公 差

d ? q ?1 .

...............13 分

下 证 bn 与 bn ?1 之 间 数 列 ?an ? 的 项 数 为 bn . 即 证 对 任 意 正 整 数

n ,都有

? ?bn ? ab1 ?b2 ?????bn?1 ?1 , ? ? ?bn ?1 ? ab1 ?b2 ?????bn ? ?bn ? a1? q ? q2 ??qn?2 ?1 即? 成立. b ? a 2 n?1 n ? 1 ? 1? q ? q ??q ? n ?1 2 n?2 由 bn ? a1? q ? q 2 ??q n?2 ?1 ? q ? a1 ? (1 ? q ? q ? ? q )(q ? 1) ? 1 ? a1 ? 0 ,
bn ?1 ? a1? q ? q 2 ??q n?1 ? q n ? a1 ? (1 ? q ? q 2 ? ? q n ? 2 ? q n ?1 ? 1)(q ? 1) ? q ? a1 ? 0 .
所 以 首 项 a1 ? ( 1 q, , ) 公 差 d ? q ?1 的 等 差 数 列 意. 21. ..............16 分

?an ?

符 合 题

附加题答案
A、解:设半径为 r,由切割线定理, FB ? FA ? FE ? FD 得 ??????4 分 18 ? 42 ? FB ? ( FB ? 2r ) , 在三角形 DOF 中,由勾股定理,得 DF 2 ? OD2 ? FO2 , 即 即

(18 ? 24)2 ? r 2 ? (r ? BF )2 .
8分 由 上 两 式 解

?????? 得

r ?6

1 4 . ??????10 分 B、设曲线 C 上任一点为(x,y) ,经过变换 T 变成 ( x0 , y0 ) ,则
?1 ? ?0 0 ? ? x ? ? x0 ? ?? ? ? ? ? 2 ? ? y ? ? y0 ?
, 即

x0 ? x, y0 ?


2 y . 2
2 x0 y2 ? 0 ?1 4 2

?????6 分 , ?????10 分 得

x2 ? y 2 ? 4 .
C 、 解 : 由 题 意 得 , 直 线

l
坐 线

的 直 角 坐 标 方 程 为 标 方 程 , 为 得

x ? 3y ? 2 ? 0 , C 圆 2 2 2 x ?y ?r .
则 直

?????4 分 的 线 直 和 角 曲 ?????8 分 相 切 ?????10 分
?

r?

2 ?1. 1? 3
D、证:因为 a, b, c ? R ,所以由基本不等式,得

c2 a2 b2 ? a ? 2c, ? b ? 2a, ? c ? 2b . a b c
????4 分 三式相加,得 又

?

c2 a 2 b2 ? ? ? a ? b ? c. a b c a?b?c ? 3







c 2 a 2 b2 ? ? ?3. ?????10 分 a b c 22.解:因为 面PAD ? 面ABCD , ?PAD为正三角形, 作 AD 边上的高 PO, 则由 面PAD ? 面ABCD=AD ,由面面垂直的性质定理,得 PO ? 面ABCD , 又 ABCD 是 矩 形 , 同 理 CD ? 面PAD , 知 CD ? PD , PC= 13, PD ? 2 , 故
CD=3 . ????2 分
以 AD 中点 O 为坐标原点,OA 所在直线为 x 轴,OP 所在直线为 z 轴,AD 的垂直平分线 y 轴,建立如图所示的坐标系,则 P(0,0, 3),A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),D(-1,0,0) , z 连结 AC 交 BD 于点 N,由 PA // 面MBD,面APC ? 面MBD=MN , P 所以 MN//PA ,又 N 是 AC 的中点,

1 3 3 ) , ???4 分 2 2 2 ? 设面 BDM 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ?? ? ???? ? 1 3 3 BD ? (?2, ?3,0), MD=( , , ), 2 2 2 A -2x-3y=0 ? ? ??? ? ? ???? ? ? , n ? BD ? 0, n ? MD ? 0 ,得 ? x 3 y x 3y ? ? ? 0 ? 2 ?2 2 ? 2 1 2 3 令 x=1 ,解得 y=- ,z= ,所以取 n ? (1, ? , ). 3 3 3 3 ?? ? ? PC ? n 3 13 (1)设 PC 与面 BDM 所成的角为 ? ,则 sin? = ?? , ? ? ? 13 PC ? n
所以 M 是 PC 的中点,则 M(- , , 所 以 直 线

M D O N B C

y

PC







BDM

















3 13 . 13

????????6 分

(2)面 PAD 的法向量为向量 CD ? (0,-3,0) ,设面 BDM 与面 PAD 所成的锐二面角为 ? ,

??? ?

?? ? ? CD ? n 1 则 cos? = ?? ? ? ? , 故 平 面 BDM 与 平 面 PAD 所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为 CD ? n 2

? . ???????10 分 3 23.解: (1) ?5 的概率 ?

5

3

4

分布为:

P


2 5

3 5

f (5) ? E (?5 ) ?
2分

18 . 5

??????

?6

3

4

5

?6 的 概 率 分 布 如

P

1 5

2 5

2 5

下:



f (6) ? E (? 6 ) ?

21 . 5

????

??4 分 (2) 方法一: ?n ? 3, 4,5,?, n ?1,

P(?n ? i) ?
?????6 分

(n ? i)Ci2?1 ,(i ? 3, 4,?, n ?1) , 4 Cn

?

n ?1 ? (n ? i )Ci2?1 ? 1 n ?1 1 n ?1 ? (i ? 1)(i ? 2) ? 2 ? ? ? f (n) ? E (? n ) ? ? ?i ? ? i ? ( n ? i ) C ? i ? (n ? i ) ? i ?1 ? 4 4 ?? 4 ?? ? Cn Cn i ? 3 ? 2 ? i ?3 ? ? Cn i ? 3 n ?1 n ?1 n ?1 1 i(i ? 1)(i ? 2) ? 3 3 ? ? 4 ? ?3(n ? i) ? ? 4 ?? (n ? i) ? Ci3 ? ? 4 ? ? nCi3 ? iCi3 ? ? ? ? Cn i ?3 ? 6 Cn i ?3 ? Cn i ?3

?

n ?1 3 n?1 3 n?1 3 ? n?1 ? 3 3 3 4 3 ( n ? 1) C ? ( i ? 1) C ? ( n ? 1) C ? 4 C ? ( n ? 1) C ? 4 Ci4?1 ? ? i i ? i i ?1 ? i 4 ?? 4 ?? 4 ?? Cn i ?3 Cn i ?3 Cn ? i ?3 i ?3 ? n ?1 n ?1 3 ? ? 3 3 4 5 ? ( n ? 1) C ? 4 Ci4?1 ? ? 4 ? (n ? 1)Cn ? 4Cn ? n ? 1? ? ? ?1 ? ? i ? ? 5 i ?3 i ?3 ? ? Cn

?

3 4 Cn

??

????10 分

(n ? i)Ci2?1 方法二: ?n ? 3, 4,5,?, n ?1, P(?n ? i) ? ,(i ? 3, 4,?, n ? 1), 4 Cn
n ?1 ? (n ? i )Ci2?1 ? 18 21 ? f (n) ? E (? n ) ? ? ?i ? ?, 得 f (4) ? 3, f (5) ? , f (6) ? , 4 Cn 5 5 i ?3 ? ?



想 ????? n

f

?

3 ? ? ? ? 1? . 5

?6 分 下面用数学归纳法证明. 证明:① n ? 4,5,6 时猜想显然成立; ②假设 n ? k (k ? 4) 时猜想成立,即 f (k ) ? 则

? (k ? i )Ci2?1 ? 3 ? ?i ? ? ? ? k ? 1? , Ck4 i ?3 ? ? 5
k ?1

?? ?i(k ? i)C
i ?3

k ?1

2 i ?1

3 4 ? ? ? 5 ? k ? 1? Ck ,
k

当 n ? k ? 1 时 f ( n) ? f ( k ? 1) ?

? (k ? 1 ? i )Ci2?1 ? 1 k ?i (k ? 1 ? i )Ci2?1 ? i ? ? ? ? ? 4 4 ?? ? C C i ?3 ? k ?1 k ?1 i ? 3 ? 1 k 1 k 1 k 2 2 2 ? ? ? ? 4 ?? i ( k ? i ) C ? iC ? i ( k ? i ) C ? ? ? iCi2?1 i ?1 i ?1 ? i ?1 ? Ck ?1 i ?3 ? Ck4?1 i ?3 ? Ck4?1 i ?3

1 k ?1 1 k 1 ?3 3 k 3 2 3 4? ? ? i ( k ? i ) C ? 3 C ? k ? 1 C ? ? ? k ? 4 ? Ci ? ? i C4 ? i ?1 ? Ck4?1 i ?3 ? Ck4?1 i ?3 5 ? ? Ck ?1 i ?3 k ?1 1 ?3 3 3 ? ? 4 ? ? k ? 1? Ck4 ? ? 4 Ck4?1 ? ? ? k ? 1? ? 1? ? Ck ?1 ? 5 5? ? Ck ?1 即 n ? k ? 1 时命题也成立. 综上①②,对一切 n ? n ? 4? 猜想都成立. ??????10 分 ?


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