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盐城市2017届高三第三次模拟考试数学试卷(理)含答案

盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试 数学试题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写 在试卷及答题卡上.
参考公式:
锥体体积公式:V ? 1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 3
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请 把答案写在答题纸的指定位置上)
1.已知全集U ? ??1,0, 2? ,集合 A ? ??1,0?,则 ?U A = ▲ .

2.设复数 z 满足 zi ? 3 ? i ( i 为虚数单位),则| z |? ▲ .

3.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人、700 人、700 人,为了解不同年级学生的眼睛近视情况,现用分层抽样的方法抽取了容量 为 100 的样本,则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ .

4.若命题“ ?t ? R ,t2 ? 2t ? a ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

5.甲甲、组乙:两88组、各89有、三90名;同乙学组,:他87们、在88一、次92测. 试如中果的分成别绩从分甲别、为乙:两i ? 1 组中随机选取一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值 S ? 0

不超过 3 的概率是 ▲ .

While S ? 20

6.执行如图所示的伪代码,输出 i 的值为 ▲ .

S ? 2S ? 3

7.设抛物线

y2

? 8x 的焦点与双曲线 x2

?

y2 b2

? 1(b

?

0)

i?i?2 End While Pr int i

的右焦点重合,则 b = ▲ .

第 6 题图

?y ?0

8.设

x,

y

满足

? ?

y

?

x

,则 z ? x ? y 的最大值为 ▲ .

??| x | ? | y |? 1

9.将函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象向左平移 ?(? ? 0) 个单位后,恰好得到函数的 3

y ? sin 2x 的图象,则? 的最小值为 ▲ .

10.已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2,点 P,Q 分别为棱 CC1, BC 的 中点,则四面体 A1 ? B1PQ 的体积为 ▲ .

? ? 11.设 数列

an

的首项

a1

?1

,且满足

a2n? 1

?

2a 2n?


1

a2n

?

a2n?1

?1

,则

S20

?

▲.

12.若 a, b 均为非负实数,且 a ? b ?1,则 1 ? 4 的最小值为 ▲ . a ? 2b 2a ? b

13.已知 A, B,C, D 四点共面,BC ? 2 , AB2 ? AC2 ? 20 ,CD ? 3CA ,则| BD |的

最大值为 ▲ .

14.若实数 x, y 满足 2x ? 3 ? ln(x ? y ?1) ? ln(x ? y ? 2) ,则 xy ? ▲ .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分. 解答应写出必要的文字说明,证明过

程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)

15.(本小题满分 14 分)

如 图 , 在 四 棱 柱 A B C D? 1A1B 1C 1中D , 平 面 A1ABB1 ? 底 面 ABCD , 且

?ABC ? ? . 2
(1)求证: B1C1 // 平面 BCD1 ;
(2)求证:平面 A1ABB1 ? 平面 BCD1 .

D1

C1

A1

B1

D C

A

B

第 15 题图

16.(本小题满分 14 分) 设△ ABC 面积的大小为 S ,且 3 AB ? AC ? 2S . (1)求 sin A的值; (2)若 C ? ? , AB ? AC ?16 ,求 AC .
4

17. (本小题满分 14 分) 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施,其轴截面如图中实线所示.
ABCD是等腰梯形, AB ? 20 米,?CBF ? ? ( F 在 AB 的延长线上,? 为锐 角). 圆 E 与 AD, BC 都相切,且其半径长为100 ?80sin? 米. EO 是垂直于 AB 的一个立柱,则当 sin? 的值设计为多少时,立柱 EO 最矮?

D

E C

?
A OB F
第 17 题图

18.(本小题满分 16 分)

已知

A 、F

分别是椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的左顶点、右焦点,点 P 为椭

圆 C 上一动点,当 PF ? x 轴时, AF ? 2PF .

(1)求椭圆 C 的离心率;

(2)若椭圆 C 存在点 Q ,使得四边形 AOPQ 是平行四边形(点 P 在第一象

限),求直线 AP 与 OQ 的斜率之积;

(3)记圆 O : x2 ? y2

?

ab a2 ? b2

为椭圆

C

的“关联圆”.

若b ?

3 ,过点 P 作

椭圆 C 的“关联圆”的两条切线,切点为 M 、 N ,直线 MN 的横、纵

截距分别为 m

、n

,求证:

3 m2

?

4 n2

为定值.

19.(本小题满分 16 分)

设函数 f (x)=xex ? ax2 (a ? R) .

(1)若函数 g(x) ?

f (x) 是奇函数,求实数 a 的值; ex

(2)若对任意的实数 a ,函数 h(x) ? kx ? b( k, b 为实常数)的图象与函数 f (x)

的图象总相切于一个定点.

① 求 k 与 b 的值; ② 对 (0, ??) 上的任意实数 x1, x2 ,都有[ f (x1) ? h(x1)][ f (x2 ) ? h(x2 )] ? 0 ,

求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分)
已知数列 ?an? ,?bn ? 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的 顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列 ?cn ? . (1)设数列?an? 、?bn? 分别为等差、等比数列,若 a1 ? b1 ? 1 ,a2 ? b3 ,a6 ? b5 ,
求 c20 ;
(2)设?an? 的首项为 1,各项为正整数,bn ? 3n ,若新数列?cn?是等差数列, 求数列?cn? 的前 n 项和 Sn ;
(3)设 bn ? qn?1( q 是不小于 2 的正整数),c1 ? b1 ,是否存在等差数列?an? , 使得对任意的 n ? N* ,在 bn 与 bn?1 之间数列 ?an? 的项数总是 bn ?若存 在,请给出一个满足题意的等差数列?an? ;若不存在,请说明理由.

盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试 数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)

21.[选做题](在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.

请把答案写在答题纸的指定区域内)

A.(选修 4—1:几何证明选讲)

已知 AB,CD 是圆 O 两条相互垂直的直径,弦 DE 交 AB 的延长线于点 F ,若

DE ? 24 , EF ?18 ,求 OE 的长.

D

E

A

O

BF

C 第 21(A)图

B.(选修 4—2:矩阵与变换)

已知矩阵

A=

?1 ?

?0

线 C 的方程.

0

? ?

所对应的变换

2?

T

把曲线

C

变成曲线

C1 :

x2 4

?

y2 2

? 1 ,求曲

C.(选修 4—4:坐标系与参数方程)

在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ? ) ? 1. 以极点 O 为原点,极 3

轴为

x

轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆

C

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

r r

cos?(? sin?



参数). 若直线 l 与圆 C 相切,求 r 的值.

D.(选修 4—5:不等式选讲) 已知 a,b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 3,证明: c2 ? a2 ? b2 ? 3 . abc

[必做题](第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定 区域内) 22.(本小题满分 10 分)
如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD是矩形,面 PAD ?底面 ABCD, 且 ?PAD 是边长为 2 的等边三角形,PC ? 13 ,M 在 PC 上,且 PA ∥面 BDM. (1)求直线 PC 与平面 BDM 所成角的正弦值; (2)求平面 BDM 与平面 PAD 所成锐二面角的大小.
P
M

D

C

A

B

第 22 题图

23.(本小题满分 10 分) 一只袋中装有编号为 1,2,3,…,n 的 n 个小球,n ? 4 ,这些小球除编号以外 无任何区别,现从袋中不重复地随机取出 4 个小球,记取得的 4 个小球的最 大编号与最小编号的差的绝对值为?n ,如?4 ? 3,?5 ? 3 或 4 ,?6 ? 3 或 4 或 5 ,
记?n 的数学期望为 f ?n? .
(1)求 f ?5?, f ?6? ;
(2)求 f ?n? .

盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试

数学参考答案

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.

1. ?2?

2. 2

3. 35

4. (??, ?1]

7. 3

8. 1

9. 5?

6

14. ? 9 4

10. 3 2

11. 2056

5. 8 9
12. 3

6. 7 13.10

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

15 . 证 明 : ( 1 ) 在 四 棱 柱 A B ?C 1 D 1 A1 中 B1 , C 有 D

B1C1 // BC .

……………4 分

又 B1C1 ? 平 面 B C1 D, BC ? 平 面 B C1 D, 所 以 B1C1 // 平 面

B C1 .D

……………6 分

(2)因为平面 A1ABB1 ? 底面 ABCD,交线为 AB ,

BC ? 底 面 ABCD , 且 B ?C A, B所 以 BC ? 平 面

A1ABB1 .

…………12 分

又 BC ? 平 面 B C1 ,D 所 以 平 面 A1ABB1 ? 平 面

B C1 . D

…………14 分

16.解:(1)设 ?ABC 的三边长分别为 a,b, c ,由 3 AB ? AC ? 2S ,



3bc cos A ? 2? 1 bc sin A





2

s A? A. i

n

…………3 2 分

c

o



sin2 A ? 9 cos2 A ? 9(1? sin2 )







sin2 A ? 9 . 10

…………4 分



A?(0,? )







s A? i

n,

故0

s A ? 3i . n 1

0

10

…………6 分

(2)由 sin A ? 3cos A 和 sin A ? 3 10 ,得 cos A ? 10 ,

10

10

又 AB ? AC ?16 , 所 以 b c c o? s A , 1得 6 bc ? 1 6 1 0

①.

…………8 分

又 C ? ? ,所以 sin B ? sin(A ? C) ? sin AcosC ? cos Asin C 4

? 3 10 ? 2 ? 10 ? 2 ? 2 5

.

10 2 10 2 5

…………10 分

在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 , 得 b ? c , 即 b ? c , 得 c ? 10 b

s i nB s iCn

25 2

4

②. …………12 分

52
y





①②







b?8





AC ? 8.

…………14 分

17.解:方法一:如图所示,以 AB 所在直线为 x 轴,以线段

AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系.

因为 B(10, 0) , kBC ? tan? ,所以直线 BC 的方程为

D

·E

C

y ? tan? ?(x ?10) ,

即 x tan? ? y ?10 tan? ? 0 .

...............4 分

设圆心 E(0,t)(t ? 0) ,由圆 E 与直线 BC 相切,

得100 ? 80sin?

?

| ?t ?10 tan? 1? tan2 ?

|

?

t

?10 tan? 1



cos?



?
A OB F x
第 17 题图


E ? ?1 ?

?.

c?

.........8 分

O...... 0 o



f (? ) ? 100 ? 90sin?



? ? (0, ? )





cos?

2

f

?(?

)

?

100(sin? ? cos2 ?

9 10

)



...............10 分

设 sin?0

?

9 10



?0

?

(0,

? 2

)

.

列表如下:

?

(0,?0 )

?0

(?

0

,

? 2

)

f ?(? )



0



f (? )



极小值



所 以 当 ? ? ?0
值.

, 即 s ?i ? n9 时 , 10
...............13 分

f (? )

取最小

答:当 sin?

?

9 10

时,立柱

EO 最矮.

...............14 分

方法二:如图所示,延长 EO,CB 交于点 G ,过点 E 作 EH ? BC 于 H ,D

·E

C

则 EH ? R ?100 ?80sin? , ?HEG ? ?OBG ? ?CBF ? ? .

H

在 Rt?EHG 中, EG ? R ? 100 ? 80sin? .

cos?

cos?

在 Rt?OBG 中, OG ? OB tan? ?10tan? .

所以 EO ? EG ?OG ? 100 ?90sin ? . cos ?

...............4 分
...............6 分 AO
...............8 分

?
BF

(以下同方法一)
18.解:(1)由 PF ? x 轴,知 xP ? c ,代入椭圆 C 的方程,

G
第 17 题图

得 c2 a2

?

yP2 b2

? 1 ,解得 yP

? ? b2 a

.

...............2 分



AF ? 2PF







a ? c ? 2b2

,解得

a

e? 1. 2

...............4 分

(2)因为四边形 AOPQ 是平行四边形,所以 PQ ? a 且 PF / / x 轴,

所以

xP

?

a 2

,代入椭圆

C

的方程,解得

yP ? ?

3 b, 2

...............6 分

因为点

P

在第一象限,所以

yP ?

3b 2

,同理可得

xQ

?

?

a 2



yQ ?

3 b, 2

................7 分

3b 3b

所以 kAPkOQ ?

a

2 ? (?a)

?

2 ?a

?

?

b2 a2



2

2

由(1)知

e? c ?1 a2

,得

b2 3 a2 ? 4

,所以

kA k

P

?

?

3. 4O

Q

...............9 分

(3)由(1)知 e ? c ? 1 ,又 b ? 3 ,解得 a ? 2 ,所以椭圆 C 方程为 x2 ? y2 ? 1,

a2

43



O









x2 ? y2 ? 2 3

7

①.

...............11 分

连接 OM ,ON ,由题意可知, OM ? PM , ON ? PN ,

所以四边形 OMPN 的外接圆是以 OP 为直径的圆,



P(x0 ,

y0 ) ,则四边形 OMPN

的外接圆方程为 (x

?

x0 2

)2

?

(y

?

y0 2

)2

?

1 4

( x0 2

?

y02 )





x2 ? xx0 ? y2 ? yy0 ? 0

②.

...............13 分

①-②,得直线

MN

的方程为

xx0

?

yy0

?

23 7



令 y ? 0,则 m ?

23 7 x0

;令 x ? 0 ,则 n ?

2 3. 7 y0

所以 3 m2

?

4 n2

? 49( x02 4

?

y02 ) , 3

因 为 点 P 在 椭 圆 C 上 , 所 以 x02 ? y02 ? 1 , 所 以 43

3 ? 4 ? 49. m2 n2

...............16 分

19 . 解 :( 1 ) 因 为 函 数

g(x) ?

f (x) ex

是奇函数,所以

立,

……………2 分

f (?x e?x

)? ?

f x( ex

)恒 成



? xe? x

? a??x?2
e?x

?

?

xex ? ax2 ex

,得 ax2 (e?x

? ex)

? 0 恒成立,

?a ? 0.



……………4 分

(2)① f ?? x? ? ex (x ?1) ? 2ax ,设切点为 (x0, f (x0 )) ,

则切线的斜率为 f ?? x0 ? ? ex0 (x0 ?1) ? 2ax0 ,

据 题 意 f ?? x0 ? 是 与 a 无 关 的 常 数 , 故 x0 ? 0, k ? f ?? x0 ? ?1 , 切 点 为

(0, 0) ,

……………6 分

由 点 斜 式 得 切 线 的 方 程 为 y ? x , 即 h(x) ? x , 故

k ? 1,b ? 0 .

…..………8 分

② 当 f (x1) ? h(x1) ? 0 时,对任意的 x2 ??0, ???,都有 f (x2 ) ? h(x2 ) ? 0 ;

当 f (x1) ? h(x1) ? 0 时,对任意的 x2 ??0, ???,都有 f (x2 ) ? h(x2 ) ? 0 ;
故 f (x) ? h(x) ? 0 对 x ?(0, ??) 恒成立,或 f (x) ? h(x) ? 0 对 x ?(0, ??) 恒成立.

? ? 而 f (x) ? h(x) ? x ex ? ax ?1 ,设函数 p(x) ? ex ? ax ?1, x ?[0, ??) .

则 p(x) ? 0 对 x ?(0, ??) 恒 成 立 , 或 p(x) ? 0 对 x ?(0, ??) 恒 成

立,

………………10 分

p?(x) ? ex ? a ,

1? 当 a ?1 时, x??0, ??? ,?ex ? 1,? p?(x) ? 0 恒成立,所以 p(x) 在 ?0, ??? 上

递增, p(0) ? 0 ,

故 p(x) ? 0 在 ?0, ??? 上 恒 成 立 , 符 合 题

意.

.…….. .………12 分

2?当 a ?1时,令 p?(x) ? 0 ,得 x ? ln a ,令 p?(x) ? 0 ,得 0 ? x ? ln a ,

故 p(x) 在 ?0,ln a? 上递减,所以 p(ln a) ? p ?0? ? 0 ,

而 p(a) ? ea ? a2 ?1, 设函数?(a) ? ea ? a2 ?1, a ?[1, ??) ,

则??(a) ? ea ? 2a , ???(a)?? ? ea ? 2 ? 0 恒成立,

???(a) 在 ?1, ???上递增,???(a) ? ??(1) ? e ? 2 ? 0 恒成立,

??(a) 在 ?1, ???上递增, ??(a) ? ?(1) ? e ? 2 ? 0 恒成立,

即 p(a) ? 0 ,而 p(ln a) ? 0 ,不合题意.

综 上 1? 2? , 知 实 数 a 的 取 值 范 围

???,1? .

………………16 分

20.解:(1)设等差数列?an? 的公差为 d ,等比数列?bn? 的公比为 q ,

由题意得,

??1 ? ??1

? ?

d ? q2 5d ? q

4

,解得 d

?

0 或 3 ,因数列?an?,?bn?单调递增,

所 以 d ? 0 q,? ,1 所 以 d ? 3 , q ? 2 , 所 以 an ? 3n ? 2 ,

bn ? 2n?1 .

...............2 分

因为 b1 ? a1 , b3 ? a2 , b5 ? a6 , b7 ? a20 ,





c2 ? a ? 49 .
.........4 分

......
0

? ? (2)设等差数列 cn 的公差为 d ,又 a1 ? 1,且 bn ? 3n ,

? ? 所以 c1 ? 1 ,所以 cn ? dn?1 ? d . 因为 b1 ? 3 是 cn 中的项,所以设 b1 ? cn ,即
d(n ? 1)? 2.

当 n? 4 时 , 解 得 d ? 2 ?1 , 不 满 足 各 项 为 正 整 n ?1

数;

...............6 分

当 b1 ? c3 ? 3 时,d ?1,此时 cn ? n ,只需取 an ? n ,而等比数列?bn? 的项都是等差





?an?













Sn

?

1 2

(

?

n;

1

n

)

........8 分

.......

当 b1 ? c2 ? 3时, d ? 2 ,此时 cn ? 2n ?1,只需取 an ? 2n ?1,

由 3n ? 2m ?1,得 m ? 3n ?1 , 3n 是奇数, 3n ?1 是正偶数, m 有正整数解, 2

所 以 等 比 数 列 ?bn? 的 项 都 是 等 差 数 列 ?an? 中 的 项 , 所 以

Sn ? n2 .

...............10 分

综上所述,数列

?cn?

的前

n

项和

Sn

?

1 2

(n?

n1 或)

Sn ? n2 .

...............11 分

( 3 ) 存 在 等 差 数 列 ?an? , 只 需 首 项 a1 ? (1, q) , 公 差

d ? q ?1.

...............13 分

? ? 下 证 bn 与 bn?1 之 间 数 列 an 的 项 数 为 bn . 即 证 对 任 意 正 整 数 n , 都 有

??b ? a n

, b1 ?b2 ?????bn?1 ?1

???b ? a n?1

b1 ?b2 ?????bn



??b ? a n

1?q?q2 ? qn?2 ?1

???bn?1 ? a1?q?q2 ? qn?1

成立.

由 bn ? a1?q?q2 ? qn?2 ?1 ? qn?1 ? a1 ? (1? q ? q2 ? qn?2 )(q ?1) ? 1? a1 ? 0 ,

b ? a n?1 1?q?q2 ? qn?1 ? qn ? a1 ? (1? q ? q2 ? qn?2 ? qn?1 ?1)(q ?1) ? q ? a1 ? 0 .

所 以 首 项 a1 ? ( 1q , ,) 公 差 d ? q ?1 的 等 差 数 列 ?an? 符 合 题

意.

..............16 分

附加题答案

21. A、解:设半径为 r,由切割线定理,



FB? FA ? FE ? FD



18? 42 ? FB ? (FB ? 2r) ,

………………4 分

在三角形 DOF 中,由勾股定理,得 DF 2 ? OD2 ? FO2 ,


(18 ? 24)2 ? r2 ? (r ? BF )2 .

………………

8分













r?6 .

1

4

………………10 分

B、设曲线 C 上任一点为(x,y),经过变换 T 变成 (x0 , y0 ) ,则

?1 ? ?0

0 2

?
? ?

? ? ?

x y

? ? ?

?

? ? ?

x0 y0

? ? ?





x0 ? x, y0 ?

2y 2

.

……………6 分



x02 ? y02 ? 1





42

x2 ? y2 ? 4 .

……………10 分

C、解:由题意得,直线 l 的直角坐标方程为

x ? 3y ?2 ? 0,

……………4 分



C

















x2 ? y2 ? r2.

……………8 分





线





线









r ? 2 ?1. 1? 3

……………10 分

D、证:因为 a, b, c ? R? ,所以由基本不等式,得

c2 ? a ? 2c, a2 ? b ? 2a, b2 ? c ? 2b .



a

b

c

…………4 分

三式相加,得 c2 ? a2 ? b2 ? a ? b ? c . abc



a?b?c ?3







c2 ? a2 ? b2 ? 3 . abc

……………10 分

22.解:因为 面PAD ? 面ABCD , ?PAD为正三角形,作 AD 边上的高 PO,

则由 面PAD 面ABCD=AD ,由面面垂直的性质定理,得 PO ? 面ABCD ,

又 ABCD 是 矩 形 , 同 理 CD ? 面PAD , 知 CD ? PD , PC= 13, PD ? 2 , 故 CD=3. …………2 分
以 AD 中点 O 为坐标原点,OA 所在直线为 x 轴,OP 所在直线为 z 轴,AD 的垂直平分线 y

轴,建立如图所示的坐标系,则 P(0,0, 3),A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),D(-1,0,0) ,

连结 AC 交 BD 于点 N,由 PA // 面MBD,面APC 面MBD=MN ,

z

所以 MN//PA ,又 N 是 AC 的中点,

P

所以

M



PC

的中点,则

M(-

1 2

,

3 2

,

3), 2

………4 分

设面 BDM 的法向量为 n ? (x, y, z) ,

M

D

C

BD ? (?2, ?3, 0), MD=( 1 , 3 , 3 ) , 22 2

O

N

y

? -2x-3y=0

A

n

?

BD

?

0,

n

?

MD

?

0

,得

? ? ??

x 2

?

3y 2

?

3y ? 0, 2

x

B

令 x=1,解得 y=- 2 ,z= 3

1 ,所以取 n ? (1, ? 2 ,

3

3

3). 3

(1)设 PC 与面 BDM 所成的角为? ,则sin? = PC ? n ? 3 13 ,
PC ? n 13

所 以 直 线 PC 与 平 面 BDM 所 成 角 的 正 弦 值 为

3 13 . 13

……………………6 分

(2)面 PAD 的法向量为向量 CD ? (0,-3,0) ,设面 BDM 与面 PAD 所成的锐二面角为? ,

则 cos?= CD ? n ? 1 , 故 平 面 BDM 与 平 面 PAD 所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为 CD ? n 2

? . …………………10 分 3 23.解:(1)?5 的概率 ?5
P

3

4 分布为:

23

55



f

(5)

?

E

(?5

)

?

18 5

.

2分

?6

345

………………

?6 的概率分布如 P

1 2 2 下: 555



f

(6)

?

E(?6 )

?

21 5

.

……4 分

…………

(2) 方法一:?n ? 3, 4,5, , n ?1,

P(?n

?

i)

?

(n

? i)Ci2?1 Cn4

, (i

?

3, 4,

, n ?1) ,



……………6 分

? ? ? ? f (n) ?

E(?n ) ?

n?1 i?3

? ?i ?

?

(n

? i)Ci2?1 Cn4

? ? ?

?

1 Cn4

n?1
??i ? (n ? i)Ci2?1 ?? ?
i?3

1 Cn4

n?1 i?3

???i

?

(n

?

i)

(i

?1)(i 2

?

2)

? ??

? ? ?? ? ?

1 Cn4

n?1 i?3

???3(n

?

i)

?

i(i

?1)(i 6

?

2)

? ??

?

3 Cn4

n?1
??(n ? i) ? Ci3 ?? ?
i?3

3 Cn4

n?1 i?3

nCi3 ? iCi3

?? ? ?? ? ? ? ? 3 n?1 C4 n i?3

(n ?1)Ci3 ? (i ?1)Ci3

? 3 n?1 C4
n i?3

(n ?1)Ci3 ? 4Ci4?1

?

3 Cn4

? ??

n?1 i?3

(n

?

1)Ci3

?

4

n?1 i?3

C4 i ?1

? ??

? ? ? ? ?

3 Cn4

???(n

?

1)

n?1 i?3

Ci3

?

4

n?1 i?3

C4 i?1

? ??

?

3 Cn4

??(n ?1)Cn4

? 4Cn5?1 ??

?3 5

n ?1

…………10 分

……

方法二:?n ? 3, 4,5,

, n ?1,

P(?n

?

i)

?

(n ? i)Ci2?1 Cn4

, (i

?

3, 4,

, n ?1),

? ?

f

(n)

?

E(?n )

?

n?1 i?3

? ?i ? ?

(n

? i)Ci2?1 Cn4

? ?, ?



f (4) ? 3,

f (5) ? 18 , f (6) ? 21,

5

5





f ? ? ? 3 ? ?1? .
5
…6 分 下面用数学归纳法证明.
证明:① n ? 4,5, 6 时猜想显然成立;

……n ………

? ②假设 n

?

k(k

?

4)

时猜想成立,即

f

(k)

?

k ?1 i?3

? ?i ? ?

(k

? i)Ci2?1 Ck4

? ? ?

?

3 5

?k

?1? ,

? ? ? 则

k ?1 i?3

??i(k

?

i)Ci2?1 ??

?

3 5

k ?1

Ck4 ,

? ? 当 n ? k ?1时

f (n) ?

f (k ?1) ?

k i?3

? ?i ?

?

(k

?1? i)Ci2?1 C4
k ?1

? ? ?

?

1 C4
k ?1

k i?3

??i(k ?1? i)Ci2?1 ??

? ? ? ?

1 C4
k ?1

k i?3

??i(k

? i)Ci2?1 ? iCi2?1 ??

?

1 C4
k ?1

k i?3

??i(k

?

i)Ci2?1

??

?

1 C4
k ?1

k
iCi2?1
i?3

? ? ? ? ? ?

1 C4
k ?1

k ?1
??i(k ? i)Ci2?1 ?? ?
i?3

1 C4
k ?1

k
3Ci3
i?3

?

1 C4
k ?1

?3 ?? 5

k

?1

Ck4

? ??

?

3 C4
k ?1

k
Ci3
i?3

?

1 C4
k ?1

?3 ?? 5

?k

?1? Ck4

? ??

?

3 C4
k ?1

C4 k ?1

?

3 5

??? k

? 1?

? 1??

即 n ? k ?1时命题也成立.

综上①②,对一切 n?n ? 4? 猜想都成立.

………………10 分


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