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浙江省温州市九校2017-2018学年高一下学期期末联考数学试卷


浙江省温州市九校 2017-2018 学年高一下学期 期末联考数学试卷
本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求) 1.下列说法中正确的是( ▲ )

A.有两个面相互平行,其余各面均为平行四边形的几何体是棱柱 B.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C.用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 2.两直线 3x ? y ? a ? 0 与 3x ? y ? 1 ? 0 的位置关系是( A.相交 B. 平行 C. 重合 ) D. 平行或重合

3.在数列 ?an ?中, a1 ? ? A. ?

1 1 (n ? 1) ,则 a2018 的值为( ▲ ) , an ? 1 ? an ?1 4

1 4 B. C. 5 D.以上都不对 5 4 4.在 ?ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 ?ABC 是( ▲ )
A.钝角三角形 B.直角三角形 ) C.锐角三角形 D.无法确定

5.函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 的零点个数为( ▲ A.0 B.1C.2 D.3

6.已知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1(i ? 1,2,3) 都成立的 x 的取值范围是( ▲ ) A. (0,

1 ) a1

B. (0,

2 ) a1

C. (0,

1 ) a3

D. (0,

2 ) a3

7.一条线段长为 5 2 ,其侧视图长为 5 ,俯视图长为 34 ,则其正视图长为( ▲ ) A. 41 B. 34 C. 6 D. 5

8.设 a, b ? R 定义: M (a, b) ? ( ▲ )

a ? b? | a ? b | a ? b? | a ? b | m( a, b) ? .下列式子错误 的是 .. 2 2

A. M (a, b) ? m(a, b) ? a ? b

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B. M (| a ? b |, | a ? b |) ?| a | ? | b | C. m(| a ? b |, | a ? b |) ?| a | ? | b | D. m(M (a, b), m(a, b)) ? m(a, b)

?x ? 1 ? 9.已 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若对于满足条件的 x , y ,不等式 ax ? 4 y ? 2a ? 0 恒成 ?y ? x ? 3 ?
立,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ? B. a ? ▲ )

8 3

8 8 8 C . a ? ?1 D . ? ? a ? 3 3 3

2 2 10.设 a , b ? R ,关于 x 的方程 x ? ax ? 1 x ? bx ? 1 ? 0 的四个实根构成以 q 为公比的等

?

??

?

?1 ? 比数列,若 q ? ? , 2? ,则 ab 的取值范围是( ▲ ) ?3 ?
A. [ , 4 ]

1 9

B. [4,

112 ] 9

C. [4,6]

D. ( ,4]

5 2

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11.动直线 (m ? 2) x ? (m ? 3) y ? 5 ? 0 (m ? R) 过定点_________, 点 Q(?3,1) 到动直线的最 大距离是_______。 12.已知一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的体积是 _________,表 面积是_________。 13.已知数列 {an } 满足 a2 ? a5 ? 18, a3a4 ? 32 ,若 {an } 为单调递增的等 差数列,其前 n 项和为 Sn ,则 S10 ? __________,若 {an } 为单调递减的等 比数列,其前 n 项和为 Tn ? 63 ,则 n ? __________。 14. 已 知 函 数 f ( x) ? c o sx( si n x ? 3 c o sx) ?

3 , 则 函 数 y ? f ( x) 的 对 称 轴 方 程 为 2

__________,函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值是_________。 2 15.已知正实数 a , b, c 满足

?

1 1 1 1 1 ? ? 1 , ? ? ? 1 ,则实数 c 的取值范围是。 ab bc ca a b

16.已知向量 | a |? 1, | a ? b |? 2 | a ? b | ,则 | b | 的取值范围是_________。 17.在边长为 1 的正三角形纸片 ABC 的边 AB , AC 上分别取 D, E 两点, 使沿线段 DE 折叠三角 形纸片后,顶点 A 正好落在边 BC (设为 P ),在这种情况下, AD 的最小值为。

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三、解答题(本大题共 5 题,共 74 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 18.设函数 f ( x) ? lg(| x ? 3 | ? | x ? a |) ? 1 (Ⅰ)当 a ? 1 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)如果对任意的 x ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

19.已知 m ? (cos?x ? sin ?x, 3 cos?x) , n ? (cos?x ? sin ?x,2 sin ?x) ,其中 ? ? 0 , 若函数 f ( x) ? m ? n ,且 f ( x ) 的对称中心到 f ( x ) 对称轴的最近距离不小于 (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ) 在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 且 a ? 1, b ? c ? 2 , 当 ? 取最大值时,

? 4

f ( A) ? 1,求 ?ABC 的面积.

20.已知过原点 O 的直线 l : 4 x ? y ? 0 和点 P(6,4) ,动点 Q(m, n)(m ? 0) 在直线 l 上,且直
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线 QP 与 x 轴的正半轴交于点 R (Ⅰ)若 ?QOR 为直角三角形,求点 Q 的坐标; (Ⅱ)当 ?QOR 面积的取最小值时,求点 Q 的坐标。

21.本题说明:本题有 A, B 两道小题,请根据学习情况任选一题进行解答,若两题均解答, 则默认为解答 A 小题。 (A)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PD ? 底面 ABCD , M , N 分别是 PA, BC 的中点,且 PD ? AD ? 1 . (Ⅰ)求证: MN // 平面 PCD ; (Ⅱ)求直线 AC 和平面 PBC 所成角的正弦值。

(B)已知圆 C 的圆心在 x 的正半轴上,半径为 5,圆 C 被直线 x ? y ? 3 ? 0 截得的弦长为

2 17 .
(Ⅰ)求圆 C 的方程;
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(Ⅱ)直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且圆心 C 在的以 AB 为直径的内部, 求实数 a 的取值范围。

22.已知数列 {an } 的各项均不为零, Sn ? 2an ? 2(n ? N * ) , 其前 n 项和为 S n , 设 bn ? 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . (Ⅰ)比较 bn ?1 与

3n , 2n Sn

3 bn 的大小( n ? N * ); 4

(Ⅱ)证明: ? 2n ?1? bn ? T2n?1 ? 3 , n ? N * .

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2017 学年高一第二学期温州九校联考期末测试数学 参考答案
一、选择题(本大题题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求) 题号 选项 1 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 B 7 A 8 C 9 A 10 B

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11. (?5,5) , 2 5 13. 370 , 6 15. 1 ? c ?

4 3

8 ,8? 4 2 3 5 k? ?? ,k ?Z , 1 14. x ? 12 2 1 16. [ ,3] 17. 2 3 ? 3 3
12.

三、解答题(本大题共 5 题,共 74 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 18.解:(Ⅰ) f ( x) ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 1 |) ? 1 ? 0 即 lg(| x ? 3 | ? | x ? 1 |) ? 1 即等价于 | x ? 3 | ? | x ? 1 |? 10, ①当 x ? 1 时,不等式等价于 x ? 3 ? x ? 1 ? 10 ? x ? 4 ②当 ? 3 ? x ? 1 时,不等式等价于 x ? 3 ? x ? 1 ? 10 ? 不等式无解 ③当 x ? ?3 时,不等式等价于 ? x ? 3 ? x ? 1 ? 10 ? x ? ?6 由①②③知不等式 f ( x) ? 0 解集是 {x | x ? 4或x ? ?6} (Ⅱ)由条件知道只要 f ( x) min ? 0 即可 ............7 分 ...........9 分

? | x ? 3 | ? | x ? a |?| 3 ? a | (当且仅当 min{ ?3, a} ? x ? max{ ?3, a} 取等号)

? f ( x)min ? lg | a ? 3 | ?1 ? 0 ?| a ? 3 |? 10
?a ? 7或a ? ?13
解:(Ⅰ) f ( x ) ? m ? n ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 sin ? x ? cos ? x ..............14 分

?? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin ? 2? x ? ? 6? ?
?? ? 0 ,? 函数 f ( x) 的周期 T ?
2? ? T ? 1 ? ,由题意知 ? ? ? 1?? ? 1 2? ? 4 4 ?

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又? ? ? 0 ,.故 ? 的取值范围是 {? | 0 ? ? ? 1} (Ⅱ)由(I)知 ? 的最大值为 1, f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

.............7 分

?
6

).

? f ( A) ? 1 .? sin( 2 A ?


?
6

)?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13? ? 5 ? ,? 2 A ? ? ? ? A ? 6 6 6 3

1 2

------------9 分

由余弦定理可知 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ? b 2 ? c 2 ? bc ? 1 2bc 2

又 b ? c ? 2 联立解得 ?

?b ? 1 1 3 ---------15 分 ? S ?ABC ? bc sin A ? c ? 1 2 4 ?

20.解:(Ⅰ)①当 ?QRO ? ②当 ?RQO ?

?
2

时,直线 QR 的方程为 x ? 6 ?Q 的坐标为 (6,24) ----3 分

?

2

时, kl ? kQR ? ?1? kQR ? ?

1 4

4 ? n 4 ? 4m 1 22 ? ? ? ?m ? 6?m 6?m 4 17 22 88 ? 点 Q 的坐标为 ( , ) 17 17 4m ? 4 (Ⅱ)? Q 在直线 y ? 4 x ? n ? 4 m ? kQR ? m?6 4m ? 4 ? 直线 QR 为 y ? 4 ? ( x ? 6) m?6 5m 令 y ? 0 ? xR ? m ?1 ? kQR ?

----------7 分 ---------9 分

S ?QOR

1 1 5m 10m 2 ? xR yQ ? ? 4m ? 2 2 m ?1 m ?1

------------12 分

?

m2 m2 ? 1 1 1 1 ? ? ? m ?1? ? m ?1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 (当且仅当 m ? 2 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1

时取等号)

? S ?QOR ?

1 1 5m 10m 2 xR yQ ? ? 4m ? ? 40,此时 m ? 2, n ? 8 2 2 m ?1 m ?1
-----------15 分

?Q 的坐标为 (2,8)
21.(A 题)解:(Ⅰ)取 PD 中点 E ,连接 EM , EC 由在 ?APD 中应用中位线定理可知 EM // AD , EM ?

1 AD 2

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又 NC // AD , NC ?

1 AD ? EM // NC , EN ? NC 2

? 四边形 EMNC 为平行四边形,? MN // EC
MN ? 平面PCD,EC ? 平面PCD

? MN // 平面 PCD

------------7 分

(Ⅱ)? PD ? 平面ABCD? 平面PDC ? 平面ABCD

? BC ? CD ? BC ? 平面PCD? 平面PCD ? 平面PBC
取 PC 中点 F ,连接 DF ,由条件知易得 DF ? PC ? DF ? 平面PBC 故点 D 到 平面PBC 的距离为 DF

? AD // 平面PBC ? 点 A 到平面 PBC 的距离也是 DF

? AC 与平面 PBC 所成角的正弦

2 DF 1 sin ? ? ? 2 ? AC 2 2

-------------8 分

(B 题)解:(Ⅰ)设圆心为 (m,0) ,由条件知圆心到直线 x ? y ? 3 ? 0 距离

d ? 52 ? (

2 17 2 ) ?2 2 2

------------3 分

| m ?3| ? 2 2 ? m ? 1 或 m ? ?7 (舍去) 2
? 圆 C 的方程是 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25
(Ⅱ)由条件知直线与圆 C 相交 -------------7 分

? 圆心 C 到直线的距离小于半径即 d ?

| a ?5| 1? a
2

? r ? 5? a ? 0或a ?

5 12

...①-----9 分

? 圆心 C 在以 AB 为直径的圆的内部即 ?ACB 为钝角或平角,设 ?ACB ? 2?
则 cos? ? cos

?
4

?

2 d ? cos? ? ? r ? 2d 2 r 10 ? 15 3 10 ? 15 3 .....② 或a ? 23 23
------------15 分

?5 ? 2

| a ?5| 1? a
2

? 23a 2 ? 20a ? 25 ? 0 ? a ?

由①②可得 a 的取值范围是 (??,

10 ? 15 3 10 ? 15 3 )?( ,??) 23 23

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22.解:(Ⅰ)由 S n ? 2an ? 2 得: Sn?1 ? 2an?1 ? 2 , 两式相减得: an ? 2an ? 2an?1 (n ? 2) ,

? an ? 2an?1 ,

-------------------3 分
n n?1

又 a1 ? 2 ,∴ an ? 2 , Sn ? 2an ? 2 ? 2 ∴ bn ?

?2

3n 3n ? 2n Sn 2n (2n?1 ? 2)

3 3n?1 3n?1 3n?1 bn ? ? ? , 4 4 ? 2n (2n?1 ? 2) 2n?1 (2n?2 ? 4) 2n?1 (2n?2 ? 2)
3 bn ; 4 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: b1 ? , bn ?1 ? bn , 4 4
即: bn ?1 ? ------------7 分

3 因此当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 4
则 T2 n ?1 ? b1 ? b2 ?

?3? ?? ? ?4?

n ?1

?3? b1 ? ? ? , ?4?
?3? ?? ? ?4?
2 n ?1

n

3 ?3? ? b2 n ?1 ? ? ? ? ? 4 ?4?

2

? ? 3 ?2 n ?1 ? =3 ?1- ? ? ? ? 3 , ? ?4? ? ? ?
------------11 分

又∵当 n ? 2, k ? 1,2,?,2n ? 1 时,

bk ? b2 n?k

3k 32 n?k ? k k ?1 ? 2 (2 ? 2) 22 n?k (22n?1?k ? 2)

?2

3k 32 n?k ? 2k (2k ?1 ? 2) 22 n?k (22 n?1?k ? 2) 32 n 22 n (2k ?1 ? 2)(22 n?1?k ? 2)
1 (2 ? 1)(22n?k ?1)
k

?2
3n ? n 2

?

3n 2n

1 2 ? (2 ? 22n?k ) ? 1
2n k

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?

3n 2n

1 3n ? ? 2bn , 22n ? 2 ? 2n ? 1 2n (2n ? 1)

当且仅当 n ? k 时等号成立, ∴ T2n?1 ? b1 ? b2 ?

? b2n?1 ? (2n ?1)bn ,
------------------15 分

∴ ? 2n ?1? bn ? T2n?1 ? 3 , n ? N* .

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