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2016版优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅱ·理科)二轮复习专题三 数列第2讲


专题三 数列 第2讲 数列求和与数列的综合应用 专题三 数列 2016考向导航——适用于全国卷Ⅱ 高考中对数列求和及其综合应用的考查题型,主、客观题均 会出现,难度中等.数列主观题常与函数、不等式等知识点 交汇,综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思 想.考查内容主要是:以等差、等比数列为载体,考查数列 的通项、求和;利用递推关系求数列的通项、前n项和;而该 部分的难点是数列与其他知识点的交汇问题,如:数列中的 给定信息题、证明题、恒成立问题等. 专题三 数列 1.活用公式与结论 数列求和最常用的四种方法 (1)公式法求和 适合求等差数列或等比数列的前n项和.对等比数列利用公式 法求和时,一定要注意公比q是否取1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,主要用于求 数列 {an· bn} 的前 n 项和,其中 {an} 、 {bn} 分别是等差数列和等 比数列. 栏目 导引 专题三 数列 (3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方 ? 1 ? 法,适用于求数列?a a ?的前 n 项和.其中 {an}若为等差数列, ? n n+ 1? 1 ? 1 1? 1 - 则 = a a . + d anan+ 1 ? n n 1? (4)分组求和法 一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当 拆开, 重新组合, 就会变成几个可以求和的部分, 即先分别求和, 然后再合并. 栏目 导引 专题三 数列 2.辨明易错易混点 (1)求解 {an}的前 n 项和的最值时,无论是利用 Sn 还是 an,都要 注意条件 n∈N*. (2)运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的 n+ 1 项中的 前 n 项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以代数式时,注意 要讨论代数式是否为零. 栏目 导引 专题三 数列 考点一 分组转化求和 [命题角度] 分组转化求和是把数列之和分为几组,各组中根据项的不同 特征利用不同的方法求和,求出各组和之后再求整体之和, 考查时多以解答题形式出现主要考查: 1.周期数列的求和. 2.奇偶项分别有相同的特征的数列求和. 3.通项中含有(-1)n的数列求和. 栏目 导引 专题三 数列 (2015· 高考湖南卷改编 )设数列 {an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, a2= 2,且 an+ 2=3Sn- Sn+ 1+3, n∈ N*. (1)证明:an+2=3an; (2)求 S2n. [思路点拨] (1)依据已知等式再构造一个类似的等式, 然后两式 相减,将和 Sn 消掉进行证明. (2)利用(1)中得到的关系求出该数列的通项公式, 然后分组求和. 栏目 导引 专题三 数列 [解 ] (1)证明:由条件,对任意 n∈ N*,有 an+2=3Sn- Sn+ 1+ 3, 因而对任意 n∈ N*, n≥2,有 an+1=3Sn-1- Sn+ 3. 两式相减,得 an+2-an+ 1= 3an-an+ 1,即 an+2=3an, n≥ 2. 又 a1= 1, a2=2, 所以 a3= 3S1- S2+ 3= 3a1- (a1+a2)+ 3=3a1. 故对一切 n∈ N*, an+2=3an. 栏目 导引 专题三 数列 an+2 (2)由 (1)知,an≠0,所以 = 3. an 于是数列 {a2n- 1}是首项 a1= 1,公比为 3 的等比数列;数列{a2n} 是首项 a2=

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