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2017版高中人教A版数学必修1课时作业23 Word版含解析

第三章 课时作业(二十三)
一、选择题

函数的应用 方程的根与函数的零点

1.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是( )

A.若 f(a)· f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 B.若 f(a)· f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 C.若 f(a)· f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 D.若 f(a)· f(b)<0,有可能不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 答案:C 解析:根据函数零点存在定理可判断,若 f(a)· f(b)<0, 则一定存在实数 c∈(a,b),使 f(c)=0,但 c 的个数不确定,故 B,D 错误. 若 f(a)· f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a, b),使得 f(c)=0,如 f(x) =x2-1,f(-2)· f(2)>0,但 f(x)=x2-1 在(-2,2)内有两个零点,故 A 错误,C 正确. 4 2.函数 y=x -x 的零点是( A.2 C.2,-2 答案:C
?1? 3.已知函数 f(x)=log2x-?3?x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解, ? ?

) B.-2 D.(2,-2)

且 0<x1<x0,则 f(x1)的值( A.恒为负 C.恒为正

) B.等于零 D.不小于零

答案:A 解析:因为 x0 是方程 f(x)=0 的解,所以 f(x0)=0,又
?1? 因为函数 f(x)=log2x-?3?x 在(0,+∞)上为增函数,且 0<x1<x0,所 ? ?

以有 f(x1)<f(x0)=0. 2 4.函数 f(x)=ln(x+1)-x 的零点所在的大致区间是( A.(0,1) C.(2,e) B.(1,2) D.(3,4) )

答案:B 解析:∵f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,∴函数 f(x) 2 =ln(x+1)-x的零点所在的大致区间是(1,2). 5.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零 点依次为 a,b,c,则( A.a<b<c C.b<a<c ) B.a<c<b D.c<a<b

1 1 答案:B 解析:由于 f(-1)=2-1=-2<0, f(0)=1>0, 故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0). ∵g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2.
?1? 1 1 ∵h?2?=-1+2=-2<0,h(1)=1>0, ? ? ?1 ? 故 h(x)的零点 c∈?2,1?,因此 a<c<b. ? ?

1 6.已知 x0 是函数 f(x)= +ln x 的一个零点,若 x1∈(1,x0), 1-x

x2∈(x0,+∞),则(

)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)<0,f(x2)>0 1 1 答案:D 解析:令 f(x)= +ln x=0,从而有 ln x= ,此 1-x x-1 方程的解即为函数 f(x)的零点.在同一坐标系中作出函数 y=ln x 与 y 1 = 的图象如图所示. x-1

1 由图象易知 >ln x1, x1-1 1 从而 ln x1- <0, x1-1 1 故 ln x1+ <0,即 f(x1)<0. 1-x1 同理 f(x2)>0. 7.若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是 ( )

A.[-4,0] C.[0,4]

B.(-4,0) D.(0,4)

答案:B 解析:画出函数 y=|4x-x2|的图象,再画出函数 y=- a 的图象,要使函数有 4 个零点,即两个函数有 4 个不同的交点,所 以 0<-a<4, ∴-4<a<0. 二、填空题 8.对于方程 x3+x2-2x-1=0,有下列判断: ①在(-2,-1)内有实数根; ②在(-1,0)内有实数根; ③在(1,2)内有实数根; ④在(-∞,+∞)内没有实数根. 其中正确的有________.(填序号) 答案:①②③ 9. 根据下表, 能够判断 f(x)=g(x)有实数解的区间是________. (填 序号) x f (x ) g (x ) -1 -0.677 -0.530 0 3.011 3.451 1 5.432 4.890 2 5.980 5.241 3 7.651 6.892

①(-1,0);②(0,1);③(1,2);④(2,3). 答案:② 10.已知函数 f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点 之和等于________. 答案:0 解析:∵奇函数的图象关于原点对称,

∴若 f(x)有三个零点,则其和必为 0. 三、解答题 11.求下列函数的零点. (1)f(x)=-6x2+5x+1; (2)f(x)=x3+1; x2+2x+1 (3)f(x)= . x-1 解:(1)∵f(x)=-6x2+5x+1=-(6x+1)(x-1), 1 令-(6x+1)(x-1)=0,解得 x=-6或 x=1, 1 ∴f(x)=-6x2+5x+1 的零点是 x=-6和 x=1. (2)f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1), 令(x+1)(x2-x+1)=0,解得 x=-1, ∴f(x)=x3+1 的零点是 x=-1. x2+2x+1 ?x+1?2 (3)∵f(x)= = , x -1 x-1 ?x+1?2 令 =0,解得 x=-1, x-1 x2+2x+1 ∴f(x)= 的零点是 x=-1. x- 1 12.若函数 f(x)=ax2-x-1 仅有一个零点,求实数 a 的值. 解:(1)若 a=0,则 f(x)=-x-1 为一次函数,易知函数只有一 个零点. (2)若 a≠0,则函数 f(x)为二次函数,若其只有一个零点,则方程 ax2-x-1=0 仅有一个实数根. 1 故判别式 Δ=1+4a=0,得 a=-4.

1 综上所述,当 a=0 或 a=-4时,函数仅有一个零点. 13.求函数 f(x)=2x+lg(x+1)-2 的零点个数. 解:解法一:因为 f(0)=1+0-2=-1<0, f(2)=4+lg 3-2≈2.48>0,所以由函数零点存在性定理,知 f(x) 在(0,2)上必定存在零点. 又 f(x)=2x+lg(x+1)-2 在(0, +∞)上为增函数, 故 f(x)=0 有且 只有一个实根,即函数 f(x)仅有一个零点. 解法二:在同一坐标系中作出 h(x)=2-2x 和 g(x)=lg(x+1)的图 象,如图所示.

由图象可知 h(x)=2-2x 和 g(x)=lg(x+1)有且只有一个交点,即 f(x)=2x+lg(x+1)-2 与 x 轴有且只有一个交点, 即函数 f(x)仅有一个 零点. 尖子生题库 14.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2 +mx-1. (1)当 x∈(0,+∞)时,求 f(x)的解析式; (2)若方程 y=f(x)有五个零点,求实数 m 的取值范围. 解:(1)设 x>0,则-x<0, ∴f(-x)=-x2-mx-1. 又 f(x)为奇函数,即 f(-x)=-f(x),

所以 f(x)=x2+mx+1(x>0). 又 f(0)=0, x +mx+1,x>0, ? ? 所以 f(x)=?0,x=0, ? ?-x2+mx-1,x<0. (2)因为 f(x)为奇函数,所以函数 y=f(x)的图象关于原点对称, 即方程 f(x)=0 有五个不相等的实数解,得 y=f(x)的图象与 x 轴 有五个不同的交点. 又 f(0)=0,所以 f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与 x 轴正半轴有两 个不同的交点, 即方程 x2+mx+1=0 有两个不等正根,记两根分别为 x1,x2, Δ=m -4>0, ? ? 则?x1+x2=-m>0, ? ?x1· x2=1>0,
2 2

解得 m<-2,

所以实数 m 的取值范围是(-∞,-2).


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