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高中数学第一章解三角形学案正弦定理新人教A版必修5

§1.1 学习目标 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 学习过程 一、复习回顾 回忆初中所学的三角形的知识,回答下列问题: 1、三角形的内角和 A ? B ? C = 2、 三角形的三边之间的关系: 3、三角形的边、角之间的关系: 。 。 。 4、 ? ABC 的基本元素: 。 二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边 的等式关系. 探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: (下面我们推导锐角三角形的情况) 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立. (请你课后自己推导) 新知:正弦定理 a 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 s in A ? b s in B ? c s in C . 1 [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a a ? ? k sin A , b ? c ,c ? k sin C c ; ? b s in B a ? c s in C (2) s in A s in B s in C 等价于 (3)正弦定理的基本作用为: , s in C , s in A . s in B ; b ? ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, b 如 ; sin C ? . (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形. 典例探究 类型一 已知两角及一边解三角形 s in A ? a s in B a ? b s in A . 例 1. 在 ? A B C 中,已知 A ? 45 ,B ? 60 ,a ? 42 cm,解三角形. 变式:在 ? A B C 中,已知 B ? 45 ,C ? 60 ,a ? 12 cm,解三角形. 类型二 已知两边及一边的对角解三角形 ? 6 , A ? 45 , a ? 2, 求 b和 B , C 例 2. 在 ? A B C 中 , c . 变式:在 ? A B C 中 , b ? 3 , B ? 6 0 , c ? 1, 求 a 和 A , C . 2 类型三 判断三角形的形状 2 例 3 在 ? ABC 中,已知 a tan B ? b 2 tan A ,试判断三角形的形状。 变式:已知在 ? ABC 中, b sin B ? c sin C ,且 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,试判断三角形的形状。 三、总结提升 ※ 学习小结 a 1. 正弦定理: s in A s in B s in C 2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义, 还有②等积法,③外接圆法,④向量法. 3.应用正弦定理解三角形: ①已知两角和一边; ②已知两边和其中一边的对角. ※ 知识拓展 a s in A ? b s in B ? c s in C ? 2R ? b ? c ,其中 2 R 为外接圆直径. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测 ). 3 cos A 1、在 ? A B C 中,若 c o s B a ,则 ? A B C 是( ). A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 2、已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4,则 a∶b∶c 等于( A.1∶1∶4 3、 在△ABC 中,若 sin A. C. A? B A ? b ). 3 B.1∶1∶2 A ? sin B C.1∶1∶ D.2∶2∶ ). 3 ,则 A 与 B 的大小关系为( B. D. A? B A ≥B 、 B 的大小关系不能确定 ,则 a : b : c = a ?b ? c A ? s in B ? s in C 4、 已知 ? ABC 中, sin 5、 已知 ? ABC A : sin B : sin C ? 1 : 2 : 3 . 中, ? A ? 6 0 ? , a ? 3 ,则 s in = . 课后作业 1、已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 1 2 0 ? ,解此三角形. 2、已知△ABC 中, a ? 2 ,b=2,A= 30 ,解此三角形。 ? cos 2C ? ? 1 4 3、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (I)求 sinC 的值;(Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 c 的长. 4 正弦定理练习题 一、选择题 1.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6 , B ? 30 ,则 c ? b 等于( A. 1 B. ? 1 C. 2 3 D. ? 2 3 ) 1 0 0 ) 2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D. tan A ) 3.在△ABC 中,角 A , B 均为锐角,且 cos A ? sin B , 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 0 4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,则底边长为( ) 3 A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 3 ) 0 5.在△ A B C 中,若 b ? 2 a sin B ,则 A 等于( A. 30 或 60 0 0 B.

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