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第03讲 函数的奇偶性与周期性【教师版】


戴氏教育净居寺总校

2014 暑假精品班◎ 数学

第 3 讲 函数的奇偶性与周期性

教师版

第3讲

函数的奇偶性与周期性

【基础知识梳理】 1.奇、偶函数的概念 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数. 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (3)在公共定义域内: ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么 就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 4.温馨提示 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. (2)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (3)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1、D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (4)判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. (5)周期性的三条结论 1 1 或 f(x+a)=- ?T=2a; f?x? f?x? ② f(x+a)=f(x+b)(a≠b)?T=|a-b|; ③ f(2a-x)=f(x)且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b)?T=2(b-a). ① f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 【基础知识自测】 5 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f(- )=( ) 2 1 1 1 1 A. - B. - C. D. 2 4 4 2 5 5 1 1 解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,所以 f(- )=-f( )=-f( )=- .故选 A. 2 2 2 2 答案 A 1 2.f(x)= -x 的图象关于( ) x A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 1 1 解析 定义域为(-∞,0)∪ (0,+∞),又 f(-x)= -(-x)=-( -x)=-f(x),则 f(x)为奇函数,图象关于原点对称. x -x 答案 C 3.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数

D.|f(x)|-g(x)是奇函数

解析 由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶,B 错;C 项与 D 项:分别为偶+奇= 偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 答案 A 4.对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中 a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果 一定不可能是( ) A.4 和 6 B .3 和 1 C.2 和 4 D .1 和 2 解析 ∵ f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=-asin 1-b+c 且 c∈ Z,∴ f(1)+f(-1)=2c 是偶数,只有 D 项中两数和为奇数, 故不可能是 D.
人生格言: 业精于勤,荒于嬉;行成于思,毁于随。 ——韩愈 第

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答案 D 5.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 (法 1)∵ f(-x)=f(x)对于 x∈ R 恒成立, ∴ |-x+a|=|x+a|对于 x∈ R 恒成立, 两边平方整理得 ax=0 对于 x∈ R 恒成 立,故 a=0. (法 2)由 f(-1)=f(1),得|a-1|=|a+1|,得 a=0. 答案 0 【考向探究导析】 考向一 判断函数的奇偶性 3x -3 x 1-x 【例 1】?下列函数:①f(x)= 1-x + x -1;②f(x)=x -x;③f(x)=ln(x+ x +1);④f(x)= ;⑤f(x)=lg , 2 1+x 其中奇函数的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5


2

2

3

2

解析 ①f(x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=±f(x)=0,则 f(x)= 1-x2+ x2-1是奇函数,也是 偶函数;②f(x)=x3-x 的定义域为 R,又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),则 f(x)=x3-x 是奇函数;③由 x+ 1 x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x2+1)的定义域为 R, 又 f(-x)=ln(-x+ ?-x?2+1)=ln =-ln(x+ x2+1) x+ x2+1
- - 3x-3-x 3 x-3x 3x-3 x =-f(x),则 f(x)为奇函数;④ f(x)= 的定义域为 R,又 f(-x)= =- =-f(x),则 f(x)为奇函数;⑤ 2 2 2

1-x 1- x 1+x 1-x -1 1-x 由 >0 得-1<x<1,f(x)=ln 的定义域为(-1,1),又 f(-x)=ln =ln( ) =-ln =-f(x),则 f(x)为 1+ x 1 - x 1 + x 1+x 1+x 奇函数. 答案 D 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性: 4-x2 (1)f(x)= ; |x+3|-3 解

(2)f(x)=x2-|x-a|+2.

2 ? ?4-x ≥0, ? (1)解不等式组 得-2≤x<0 或 0<x≤2,因此函数 f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2],则 f(x)= ?|x+3|-3≠0, ?

4-x2 4-?-x?2 4-x2 . f(-x)= =- =-f(x),所以 f(x)是奇函数. x x -x (2)f(x)的定义域是(-∞,+∞).当 a=0 时,f(x)=x2-|x|+2,f(-x)=x2-|-x|+2=x2-|x|+2=f(x),因此 f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(a)=a2+2,f(-a)=a2-|2a|+2,f(-a)≠f(a)且 f(-a)≠-f(a).因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数. 考向二 函数奇偶性的应用 【例 2】?已知 f(x)=x ?
? 1
x

? 2 ?1

?

1? ? (x≠0). 2?
x
-x

(1)判断 f(x)的奇偶性;(2)证明:f(x)>0. 解 -x 2 +1 x 2 +1 1 ? x 2 +1 ? 1 ? ? = ·x (1)(法 1)f(x)的定义域是(-∞, 0)∪(0, +∞), ∵f(x)=x ? x . ∴f(-x)= ·-x = ·x =f(x), 2 2 2 - 1 2 2 -1 2 - 1 2 ? 2 ?1 ?
x

故 f(x)是偶函数. 3 3 1? ? 1 ? ?+ (法 2)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(1)= ,f(-1)= ,∴f(x)不是奇函数.∵f(x)-f(-x)=x ? x 2 2 ? 2 ?1 2 ? x?
? 1 ? 2?x
x ? 1 ? ? ? 1? 2x ? =x ? 1 ? 2 ? 1? =x(-1+1)=0,∴f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. ? ? =x ? x ? ? 1 x x ? ? ? ? ?1 2 ? ? 2 ?1 1 ? 2 ? ? 2 ?1 ?

(2)证明 当 x>0 时,2x>1,2x-1>0,所以 f(x)=x ?

?

1

? 2x ?1

?

1? ? >0.当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)>0,又 f(x)是偶 2?

函数,∴ f(-x)=f(x),所以 f(x)>0.综上,均有 f(x)>0. 【训练 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围.
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? ?? 2 ? 1 ? m ? 2 ∵ f(x)的定义域为[-2,2],∴ 有? ,解得-1≤m≤ 3① .又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, 2 ? ?? 2 ? 1 ? m ? 2

∴ 在[-2,2]上递减,∴ f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1,即-2<m<1.② 综合① ② 可知,-1≤m<1.

考向三 函数的奇偶性与周期性 【例 3】?已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x∈[0,1]时,f(x)=2x-1, (1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式;(3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. 解 (1)证明 函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数. (2)解 当 x∈ [1,2]时,2-x∈ [0,1],又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈ [1,2]. (3)解 ∵ f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数.∴ f(0)+f(1)+f(2)+…+ f(2013)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值 为( ) A.-1 B.1 C.0 D.无法计算 解析 由题意,得 g(-x)=f(-x-1),又∵ f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,∴ g(-x)=-g(x), f(-x)=f(x),∴ f(x-1)=-f(x+1),∴ f(x)=-f(x+2),∴ f(x)=f(x+4),∴ f(x)的周期为 4,∴ f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3) =f(-1),又∵ f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴ f(2 013)+f(2 015)=0. 答案 C 【专题专项突破】 奇偶性、单调性、周期性的交汇问题 【示例】?设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间. 解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,∴ f(π)=f(-1 ×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.

(2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+x)=f(1-x),故知函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=1 对称.又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示. 当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=4S△ OAB=4×? ? 2 ? 1? =4.
? ?1 ?2 ?

(3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈ Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈ Z). 【试一试】已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 解析 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数知 f(x)在[-2,2]上递增,又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)= f(x),故 f(x)以 8 为周期,f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11),选 D. 答案 D 【课后巩固作业】 一、选择题 1.若奇函数 f(x)=3sin x+c 的定义域是[a,b],则 a+b+c 等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.无法计算 解析 由于函数 f(x)是奇函数,且定义域为[a,b],所以 a+b=0,又因为 f(0)=0,得 c=0,于是 a+b+c=0. 答案 C 人生格言: 第 3 页 共 3 页
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2.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2+x)=f(2-x),则 f(4)=( ) A.4 B.2 C.0 D.不确定 解析 ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0.∴f(4)=f(2-2)=f(0)=0. 答案 C x 3.若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ) ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4 x 1 1 解析 (法 1)由已知得 f(x)= 定义域关于原点对称,由于该函数定义域为{x|x≠- 且 x≠a}知 a= . 2 2 ?2x+1??x-a? -x -x x (法 2)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),又 f(x)= 2 ,则 2 = 2 在函数的定 2x +?1-2a?x-a 2x -?1-2a?x-a 2x +?1-2a?x-a 1 义域内恒成立,∴1-2a=0,可得 a= . 2 答案 A 4.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)=( ) A.0 B.1 C.2 D .3 解析 由题意,f(x)是 4 为周期的奇函数,∴f(4)=f(4+0)=f(0)=0,f(8)=f(4+4)=f(4)=0. 答案 A ?1,x∈Q, ? ex-1 5.设 Q 为有理数集,函数 f(x)=? ,g(x)= x ,则函数 h(x)=f(x)· g(x)( ) e +1 ? ?-1,x∈?RQ, A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数 解析 ∵当 x∈Q 时,-x∈Q,∴f(-x)=f(x)=1;当 x∈?RQ 时,-x∈?RQ,∴f(-x)=f(x)=-1.综上,对任意 x∈R, - e x-1 1-ex ex-1 都有 f(-x)=f(x),故函数 f(x)为偶函数.∵g(-x)= -x = =-g(x),∴函数 g(x)为奇函数.∴h(-x) x=- e +1 1+e 1+ex e-1 =f(-x)· g(-x)=f(x)· [-g(x)]=-f(x)g(x)=-h(x), ∴函数 h(x)=f(x)· g(x)是奇函数. ∴h(1)=f(1)· g(1)= , h(-1)=f(- e+1 - e 1-1 1-e 1)· g(-1)=1× -1 = ,h(-1)≠h(1),∴函数 h(x)不是偶函数. e +1 1+e 答案 A 6.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( ) A.6 B.7 C.8 D .9 解析 由 f(x)=0,x∈[0,2)可得 x=0 或 x=1,即在一个周期内,函数的图象与 x 轴有两个交点,在区间[0,6)上共有 6 个交点,当 x=6 时,也是符合要求的交点,故共有 7 个不同的交点. 答案 B 二、填空题 7.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=________. 解析 (法 1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x,∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3. (法 2)设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x, 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-2x2-x,∴f(1)=-2×12-1=-3. 答案 -3 8.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为________. - - - 解析 由于 f(x)是偶函数, 故当 x<0 时, f(x)=2 x-4, 当 x-2<0 时, 由 f(x-2)=2 (x 2)-4>0, 解得 x<0; 当 x-2≥0 - x 2 时,由 f(x-2)=2 -4>0,解得 x>4.综上可知不等式解集为{x|x<0 或 x>4}. 答案 {x|x<0 或 x>4} 2a-1 9.设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,若 f(1)<1,f(2)= ,则 a 的取值范围是____________________. a+1 2a-1 3a 解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)<1.∴f(-1)>-1.又∵f(x)的周期为 3,∴f(-1)=f(2)= >-1.即 a+1 a+1 >0,解得 a>0 或 a<-1. 答案 (-∞,-1)∪(0,+∞) 三、解答题
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10.设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围. 解 由 f(m)+f(m-1)>0,得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m)又∵f(x)在[0,2]上单调递减且 f(x)在[-2,2]上为奇函 -2≤1-m≤2 ? ? 数,∴f(x)在[-2,2]上为减函数.∴?-2≤m≤2 ? ?1-m>m -x +2x,x>0, ? ? 11.已知函数 f(x)=?0, x=0, ? ?x2+mx, x<0
2

-1≤m≤3 ? ?-2≤m≤2, 即? 1 ? ?m<2

1 解得-1≤m< . 2

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解 (1)设 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. ?a-2>-1, ? (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合 f(x)的图象知? 所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. ? ?a-2≤1, 12.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x)当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012) 解 (1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=- 2x-x2,∴f(x)=x2+2x.又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又 f(x)是周期为 4 的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)=0.∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)=0.

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