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2019湘教版高中数学必修一1.2.8二次函数的图象和性质——对称性精品课件_图文

高中数学课件
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高中数学·必修1·湘教版
1.2.8 二次函数的图象和性质—— 对称性

预习导学
? [学习目标] ? 1.能说出奇函数和偶函数的定义; ? 2.会判断具体函数的奇偶性; ? 3.会分析二次函数图象的对称性; ? 4.能求一个二次函数在闭区间上的最值.

预习导学

? [知识链接]

? 函数y=x的图象关于原对点称,y=x2的图象关于对y轴称. ? [预习导引]

? 1.函数的奇偶性

? (1)如果对一切使F(x)有定义的x,也有定义,并且成立,

则称F(x)为偶函数;

F(-x)

? (则2F)称(如-F果x()x=对)为F一(x奇)切函使数F.(x)有定义的x,也有定义,并且成立,

F(-x)

F(-x)=-F(x)

预习导学
2.二次函数图象的对称性 (1)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线 x= -2ba; (2)如果函数 f(x)对任意的 h 都有 f(s+h)=f(s-h) ,那么 f(x) 的图象关于直线 x=s 对称.

课堂讲义
要点一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=|x+2|+|x-2|; (3)f(x)=x2+ x; (4)f(x)=2xx2++12x; (5)f(x)= x2-4+ 4-x2.

课堂讲义
? 解 (1)函数定义域为R,且f(-x)=(-x)3+(-x) =-x3-x=-(x3+x)=-f(x),所以该函数是奇 函数;
? (2)函数定义域为R,且f(-x)=|-x+2|+|-x-2| =|x-2|+|x+2|=f(x),所以该函数是偶函数;
? (3)函数定义域是{x|x≥0},不关于原点对称,因 此它是非奇非偶函数;
? (4)函数定义域是{x|x≠-1},不关于原点对称, 因此它是非奇非偶函数;

课堂讲义
(5)要使函数有意义,需满足?????x42--x42≥ ≥00, , 解得 x=±2,即函数 的定义域是{2,-2},这时 f(x)=0. 所以 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),因此该函数既是奇函数又是 偶函数.

课堂讲义
? 规律方法 1.判断函数的奇偶性,一般有以下 几种方法:
? (1)定义法:若函数定义域不关于原点对称, 则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于 原 点 对 称 , 则 应 进 一 步 判 断 f( - x) 是 否 等 于 ±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确 定奇偶性.注意当解析式中含有参数时,要 对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判 定.
? (2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函

课堂讲义
? (3)还有如下性质可判定函数奇偶性: ? 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶
函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数 个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注: 利用以上结论时要注意各函数的定义域) ? 2.判断函数奇偶性前,不宜盲目化简函数解 析式,若必须化简,要在定义域的限制之下 进行,否则很容易影响判断,得到错误结 果.

课堂讲义
跟踪演练 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x22+x 3; (2)f(x)=x2x-4 1; (3)f(x)=(x2-1) x+1.

课堂讲义
解 (1)函数定义域为 R, 且 f(-x)=?--x?22+x 3=x-2+2x3=-f(x). 故该函数是奇函数; (2)函数定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,且 f(-x)=?-?-x?x2-?4 1 =x2x-4 1=f(x).故 f(x)是偶函数. (3)函数定义域是{x|x≥-1},不关于原点对称,所以是非奇非 偶函数.

课堂讲义
? 要点二 函数奇偶性的简单应用 ? 例2 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0
时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( ) ? A.-3B.-1C.1D.3 ? (2)若函数f(x)=x3+3x+a是奇函数,则实数a
=________. ? 答案 (1)A (2)0

课堂讲义
? 解析 (1)因为当x≤0时,f(x)=2x2-x, ? 所以f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3. ? 又f(x)是奇函数, ? 所以f(1)=-f(-1)=-3,选A. ? (2)法一 因为f(x)是奇函数, ? 所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R都成立, ? 即-x3-3x+a=-x3-3x-a对任意x∈R都成
立. ? 所以a=0.

课堂讲义
? 法二 因为f(x)是奇函数且在x=0处有定义.
? 必有f(0)=0,即03+3×0+a=0,解得a=0.
? 规律方法 1.利用奇偶性求值时,主要根据f(x) 与f(-x)的关系将未知转化为已知求解,若需 要借助解析式求值,代入自变量值时,该自 变量值必须在该解析式对应的区间上,否则 不能代入求值,而应转化.
? 2.已知函数是奇函数或偶函数,求解析式中 参数值时,通常有两种方法:一是利用奇、 偶函数的定义建立关于参数的方程求解,二 是采用特殊值法,尤其是在x=0处有定义的奇 函数,还可根据f(0)=0求解.

课堂讲义
? 跟踪演练2 (1)已知f(x)是偶函数,且f(4)=5, 那么f(4)+f(-4)的值为( )
? A.5B.10C.8D.不确定 ? (2)若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=
() ? A.-2B.-1C.1D.2 ? 答案 (1)B (2)C

课堂讲义
? 解析 (1)∵f(x)是偶函数, ? ∴f(4)+f(-4)=f(4)+f(4)=2f(4)=2×5=10. ? (2)因为f(x)是偶函数, ? ∴f(-x)=f(x)对任意x∈R都成立, ? 即(-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a). ? 整理得2(a-1)x=0, ? ∵x∈R,∴必有a-1=0,即a=1.

课堂讲义
? 要点三 二次函数的区间最值问题 ? 例3 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. ? (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值; ? (2)用a表示出函数f(x)在区间[-5,5]上的最值. ? 解 (1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2
+1, ? 因为1∈[-5,5]时,故当x=1时,f(x)取得最小
值,f(x)min=f(1)=1; ? 当x=-5时,f(x)取得最大值, ? f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37.

课堂讲义
? (2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图 象开口向上,对称轴为x=-a.
? ①当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5] 上递增,所以f(x)max=f(5)=27+10a,
? f(x)min=f(-5)=27-10a; ? ②当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图象
如图(1)所示. ? 由图象可得f(x)min=f(-a)=2-a2, ? f(x)max=f(5)=27+10a;

课堂讲义
? ③当0<-a<5,即-5<a<0时,函数图象 如图(2)所示,由图象可得f(x)max=f(-5)=27 -10a,
? f(x)min=f(-a)=2-a2;

课堂讲义
? ④当-a≥5,即a≤-5时,函数在区间[-5,5] 上递减,所以f(x)min=f(5)=27+10a,
? f(x)max=f(-5)=27-10a.

课堂讲义
? 规律方法 1.对于定义域为R的二次函数,其 最值和值域可通过配方法求解.
? 2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的 最值或值域,则以对称轴是否在该区间内为 依据分类讨论:
? (1)若对称轴不在所求区间内,则可根据单调 性求值域;
? (2)若对称轴在所求区间内,则最大值和最小 值可在区间的两个端点处或对称轴处取得, 比较三个数所对应函数值的大小即可求出值

课堂讲义
? 跟踪演练3 求函数f(x)=-x2-mx+6(m<0) 在区间[0,2]上的最大值.
解 f(x)=-x2-mx+6=-(x+m2 )2+m42+6, 该函数曲线开口向下,对称轴为直线 x=-m2 . (1)当-m2 >2,即 m<-4 时,f(x)在[0,2]上单调递增,其最大值 为 f(2)=2-2m.

课堂讲义
(2)当 0<-m2 ≤2,即-4≤m<0 时,f(x)在[0,2]上的最大值为 f(- m2 )=m42+6.

当堂检测

1.下列函数为奇函数的是( )

A.y=|x|

B.y=3-x

C.y=1x

D.y=-x2+4

? 答案 C

? 解析 A项和D项中的函数为偶函数,B项中 的函数是非奇非偶函数,选C.

当堂检测
? 2.对于定义在R上的函数f(x),给出下列判断: ? (1)若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数; ? (2)若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数; ? (3)若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数. ? 其中正确的判断的个数是( ) ? A.0 B.1C.2 D.3 ? 答案 B

当堂检测
? 解析 (1)仅有f(-2)=f(2)不足以确定函数的 奇偶性,不满足奇函数、偶函数定义中的 “任意”,故(1)错误;
? (2)当f(-2)≠f(2)时,该函数就一定不是偶函 数,故(2)正确;
? (3)若f(-2)=f(2),则不能确定函数f(x)不是奇 函数.如若f(x)=0,x∈R,则f(-2)=f(2),但 函数f(x)=0,x∈R既是奇函数又是偶函数, 故(3)错误.

当堂检测

3.函数 y= x-1· x+1( )

A.是奇函数

B.既是奇函数又是偶函数

C.是偶函数

D.是非奇非偶函数

? 答案 D

? 解析 函数定义域是{x|x≥1},不关于原点对 称,是非奇非偶函数,选D.

当堂检测

4.函数 f(x)=-2x2+x-1 在区间[-1,2]上的值域是( )

A.(-∞,-78] B.[-7,-4]

C.[-7,-78]

D.[-4,-78]

? 答案 C

当堂检测
解析 由于 f(x)=-2x2+x-1=-2(x-14)2-78, 而14∈[-1,2],所以 f(x)最大值是 f(14)=-78, 最小值为 f(2)=-7,故值域为[-7,-78], 故选 C.

当堂检测
? 5.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为偶 函数,那么a=________.
? 答案 8 ? 解析 ∵f(x)为区间[3-a,5]上的偶函数, ? ∴区间[3-a,5]关于坐标原点对称, ? ∴3-a=-5,即a=8.

当堂检测
? 1.在奇函数与偶函数的定义域中,都要求 x∈D,-x∈D,这就是说,一个函数不论是 奇函数还是偶函数,它的定义域都一定关于 坐标原点对称.如果一个函数的定义域关于 坐标原点不对称,那么这个函数就失去了作 为奇函数或偶函数的条件.
? 2.解题中可以灵活运用f(x)±f(-x)=0对奇偶 性作出判断.
? 3.奇函数f(x)若在x=0处有意义,则必有f(0) =0.

当堂检测
5.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线 x=-2ba,开口 方向由 a 确定,和 x 轴的位置关系由判别式 Δ=b2-4ac 确定.

再见


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