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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件文


§4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
振幅 周期
2π ω T=____

y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0), x∈R

频率

相位

初相

A

ω 2π f= 1 =____ T

ωx+φ ______

φ ___

2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
0-φ ______ ω
π 2-φ ______ ω
π -φ ______ ω

x

3π 2 -φ ______ ω

2π-φ ______ ω

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

___ 0 0

π 2 ____

___ π 0

3π ____ 2
-A

____ 2π 0

A

3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的
步骤如下
几何画板展示

|φ|
φ ω

知识拓展 1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移 φ 个单位长 ω 度而非φ个单位长度. 2.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+ π ,k∈Z确定;对称中心 2 由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.

思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
? ? π ? x - (1)y=sin? ? ?的图象是由 4 ? ? ? ? π π ? ? y=sin?x+4?的图象向右平移2个单位得到的. ? ?

( √ )

(2) 将函数 y = sin ωx 的图象向右平移 φ(φ>0) 个单位长度,得到函数 y = sin(ωx-φ)的图象.( × ) (3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平 移的长度一致.( × )

(4)函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T= 2π .( × ) ω (5)把y=sin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 1 ,所得图象 2 1 对应的函数解析式为y=sin x.( × ) 2 (6)若函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,则函数图象的两个相邻对称

T 中心之间的距离为 .( √ ) 2

考点自测

1 π 1 π 2,4π,-3 1.(教材改编)y=2sin(2x-3)的振幅,频率和初相分别为____________.
答案 解析

1 ω 1 π 由题意知 A=2,f=T=2π=4π,初相为-3.

2.(教材改编)将y= 1 sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐 2 sin x 标不变,便得到函数f(x)的图象,则f(x)=______.
答案 解析

1 将函数 y=2sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍,
1 横坐标不变,便得到函数 f(x)=2×2sin x=sin x 的图象.

3.(2016· 全国甲卷改编)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象
? π? ? y=2sin?2x-6? ? ? ? 如图所示,则函数的表达式为______________.

答案

解析

?π ? ? π? ? ?? ? 由图可知,T=2?3-?-6??=π,所以 ? ?? ?

ω=2,

π π π 由五点作图法可知 2×3+φ=2, 所以 φ=-6, 所以函数的解析式为
? π? ? y=2sin?2x-6? ?. ? ?

4 4.若函数y=sin(ωx+φ) (ω>0)的部分图象如图所示,则ω=____.
答案 解析

π π 由函数图象知 T=4×2=2,
2π 2π ω= T = π =4. 2

π 5.(教材改编) 在同一平面直角坐标系中, 画出三个函数 f(x)= 2sin(2x+4), π π g(x)=sin(2x+3),h(x)=cos(x-6)的部分 图象(如图),则 a,b,c 对应的函数依次

h(x),f(x),g(x) 答案 是______________.

解析

由于函数 f(x),g(x),h(x)的最大值分别是 2,1,1,

因此结合图形可知,曲线b为f(x)的图象;
又g(x),h(x)的最小正周期分别是π、2π,

因此结合图形可知,曲线a,c分别是h(x),g(x)的图象.

题型分类

深度剖析

题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1
? π? ? (2015· 湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)?ω>0,|φ|< ? 2? ? ?

在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

ωx+φ x Asin(ωx+φ)

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6 -5



0

5

0

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; 解答

(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的 图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为
解答
?5π ? ? ? ,0? ? 12 ? ?

,求θ的最小值.

引申探究
π 在本例(2)中,将f(x)图象上所有点向左平移 个单位长度,得到g(x)的图象, 6 求g(x)的解析式,并写出g(x)图象的对称中心. 解答
π π π π 由(1)知 f(x)=5sin(2x-6), 因此 g(x)=5sin[2(x+6)-6]=5sin(2x+ ). 6

因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
π kπ π 令 2x+6=kπ,k∈Z,解得 x= 2 -12,k∈Z.

kπ π 即 y=g(x)图象的对称中心为( 2 -12,0),k∈Z.

思维升华
(1)五点法作简图:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过
π 3 变量代换,设z=ωx+φ,由z取0, ,π, π ,2π来求出相应的x,通过 2 2 列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.

(2)图象变换:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象, 有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

跟踪训练1 把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半, π 纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移 个单位,得到的函数图 4 y=cos 2x 象的解析式是___________.
答案 解析
几何画板展示

由y=sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半, 纵坐标保持不变,

所得图象的解析式为y=sin 2x,
π π 再向左平移4个单位得 y=sin 2(x+4),即 y=cos 2x.

题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
π 例2 如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象,求A、ω、φ 2 的值,并确定其函数解析式. 解答

思维升华
求 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)解析式的步骤 M-m M+m (1)求 A,B,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= 2 ,B= 2 . 2π (2)求 ω,确定函数的周期 T,则 ω= T .

(3)求φ,常用方法如下:

①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上
还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.

②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具 体如下: “ 第一点 ”( 即图象上升时与 x 轴的交点 ) 为 ωx + φ = 0 ; “ 第二

π 点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ= ;“第三点”(即图象下降时与x轴的 2 3π 交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ= ;“第五 2
点”为ωx+φ=2π.

π 跟踪训练 2 (2016· 徐州模拟)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0, |φ|<2)的部分 π π {x|x=kπ-3,k∈Z} 图象如图所示,则 y=f(x+6)取得最小值时 x 的集合为_________________.
答案 解析

题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用 例3 (2015· 陕西改编)如图,某港口一天6时到 ?π ? ? 18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin ? x+φ? ? ?6 ? +k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的
8 答案 最大值为______.
解析

由题干图易得ymin=k-3=2,则k=5.
∴ymax=k+3=8.

命题点 2 例4

函数零点(方程根)问题
2 ?π ? ? 在?2,π? ?上有两个不同 ? ?

已知关于 x 的方程 2sin x- 3sin 2x+m-1=0

(-2,-1) 的实数根,则 m 的取值范围是____________.
答案 解析

引申探究
例 4 中,若将 “ 有两个不同的实数根 ” 改成 “ 有实根 ” ,则 m的取值范围 [-2,1) 是__________.
答案 解析

? 1? m ? ? - 1 , 由例 4 知, 2 的范围是? ?, 2 ? ?

∴-2≤m<1, ∴m的取值范围是[-2,1).

命题点 3 例5

图象与性质的综合应用

π π π 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,-2≤φ<2)的图象关于直线 x=3

对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π.

(1)求ω和φ的值;
解答

π (2)当 x∈[0,2]时,求函数 y=f(x)的最大值和最小值. 解答

π 由(1)知 f(x)= 3sin(2x-6),

π π π 5π 当 x∈[0,2]时,-6≤2x-6≤ 6 , π π π ∴当 2x-6=2,即 x=3时,f(x)最大值= 3;
π π 3 当 2x-6=-6,即 x=0 时,f(x)最小值=- 2 .

思维升华
(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题; 二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数 的有关知识解决问题. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.

(3) 研究 y =Asin(ωx+φ) 的性质时可将 ωx+φ 视为一个整体,利用换元法
和数形结合思想进行解题.

π π 跟踪训练 3 已知函数 f(x)=cos(3x+3),其中 x∈[6,m],若 f(x)的值域是 2π 5π 3 [ 9 ,18] [-1,- 2 ],则 m 的取值范围是__________.
答案 解析

答题模板系列4

典例

三角函数图象与性质的综合问题 x π x π (14 分)已知函数 f(x)=2 3sin(2+4)· cos(2+4)-sin(x+π).

(1)求f(x)的最小正周期;

π (2)若将f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数 6 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思维点拨 规范解答 答题模板

(1)先将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求周期; (2)将f(x)解析式中的x换成x- π ,得g(x),然后利用整体思想求最值. 6

课时作业

x π 4π 1.(教材改编)函数 y=2sin(2+5)的最小正周期是________.
答案 解析

2π 最小正周期 T= 1 =4π. 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

π 2.(2016· 无锡期末)将函数f(x)=2sin 2x的图象上每一点向右平移 个单位 6
π 2sin(2x-3) 长度,得函数y=g(x)的图象,则g(x)=____________.
答案 解析

π 函数 f(x)=2sin 2x 的图象上每一点向右平移6个单位长度,
π π 可得函数 g(x)=2sin 2(x-6)=2sin(2x-3)的图象,
π 故 g(x)=2sin(2x-3).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3.已知函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 π π 的交点中,若相邻交点距离的最小值为3,则 f(x)的最小正周期为______.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

4.(2017· 江苏通州中学月考)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, π π -2<φ<2)的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是

π 2,-3 ________.

答案

解析

3 5π π 3 3π 2π 2π 由题中图象可知4T=12-(-3)?4T= 4 ?T=π, 则 ω= T = π =2.

5π 5π 5π 5π 又图象过点(12,2),∴f( )=2?2sin( +φ)=2?sin( +φ)=1. 12 6 6
5π π π π π π 5π 4π ∵-2<φ<2,∴3<φ+ 6 < 3 ,∴ 6 +φ=2,∴φ=-3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5.函数

? ? π π ? ? f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?的图象向左平移6个单位后所得函数图象的 ? ?

解析式是奇函数,则函数
答案 解析

3 ? ? π -2 ? 0 , f(x)在? 上的最小值为 ________. ? 2? ? ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

6.(2016· 连云港模拟)已知函数

? π? ? f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2? ?的最小正周期 ? ?

π 是 π,若将 f(x)的图象向右平移3个单位后得到的图象关于原点对称,则下

② 列关于函数 f(x)的图象说法正确的是______.
π ①关于直线 x=12对称
?π ? ? ③关于点?12,0? ?对称 ? ?

5π ②关于直线 x=12对称
?5π ? ? ④关于点?12,0? ?对称 ? ?

答案

解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

7.(2016· 苏北四市期末)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,
π 3 若AB=5,则ω的值为____.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

π π 8.(2016· 南通质检)设函数 y=sin(ωx+3)(0<x<π),当且仅当 x=12时,y 取得

2 答案 最大值,则正数 ω 的值为_____.

解析

π π π 因为 0<x<π,ω>0,所以 ωx+3∈(3,ωπ+3), π 又函数当且仅当 x=12时取得最大值,
? ?ωπ+π≤5π, ? 3 2 所以? ? πω π π + = , ? ? 12 3 2

解得 ω=2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

π 1 9.(2016· 扬州期末 ) 已知函数 f(x) = sin(2x + 3 )(0≤x<π) ,且 f(α) = f(β) = 2 7π 答案 解析 (α≠β),则 α+β=______. 6

π π 7π 因为 0≤x<π,所以 2x+3∈[3, 3 ),
1 π 5π 13π π 11π 所以由 f(x)=2,得 2x+3= 6 或 6 ,解得 x=4或 12 ,

1 π 11π 7π 由于 f(α)=f(β)=2(α≠β),所以 α+β=4+ 12 = 6 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

π 1 10.先把函数 f(x)=sin(x-6)的图象上各点的横坐标变为原来的2(纵坐标不变),再 π π 3π 把新得到的图象向右平移3个单位,得到 y=g(x)的图象.当 x∈(4, 4 )时,

3 (- 2 ,1] 函数 g(x)的值域为__________.

答案

解析

π π 5π 依题意得 g(x)=sin[2(x-3)-6]=sin(2x- 6 ), 5π 3 π 3π 5π π 2π 此时 sin(2x- 6 )∈(- 2 ,1], 当 x∈(4, 4 )时,2x- 6 ∈(-3, 3 ), 3 故 g(x)的值域是(- 2 ,1].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

π 11.(2016· 江苏海安中学调研)若函数 f(x)=sin(ωx+6)(ω>0)图象的两条相邻的 π π 对称轴之间的距离为2, 且该函数图象关于点(x0, 0)成中心对称, x0∈[0, 2],

5 π 12 则 x0=________.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

12.(2016· 江苏扬州中学月考)将y=sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0), π π 3 使得平移后的图象仍过点( , ),则φ的最小值为_____. 6 3 2
答案 解析

2π 3 由题意得 sin( 3 -2φ)= 2 ,
2π π 2π 2π ∴-2φ+ 3 =2kπ+3(k∈Z)或-2φ+ 3 =2kπ+ 3 (k∈Z),

π π 又 φ>0,∴φ 的最小值为6. ∴φ=-kπ+6 (k∈Z)或 φ=-kπ (k∈Z),
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

13.设函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间 π π π 2π π π [6,2]上具有单调性,且 f(2)=f( 3 )=-f(6),则 f(x)的最小正周期为____.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

*14. 函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ< (1)求f(x)的解析式; 解答

π )的部分图象如图所示. 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

π 2 π π (2)设 g(x)=[f(x-12)] ,求函数 g(x)在 x∈[-6,3]上的最大值,并确定 此时 x 的值. 解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14


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