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安徽省泗县双语中学2013届高三上学期12月月考数学理试题


安徽省泗县双语中学 2013 届高三上学期 12 月月考数学理试 题
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. )

A ? {x | y ? log 2 x} , B ? {x ? Z | x 2 ? 4 ? 0} ,则下列结论正确的 1.设全集 U ? R ,集合
是( ) A. A ? B ? (0, ??) C. ?CU A? ? B ? ?? 2,?1,0
2

B.

(CU A) ? B ? ? ??, 0?
(CU A) ? B ? {1, 2}


?

D.

2 log a 2.若复数 z ? (a ? 4) ? (a ? 2)i (其中 a ? R , i ? ?1 )是纯虚数,则 4 的值为(

A.

0

B.

1

C. 2 )

1 D. 2

3.已知向量 a ? (1,1) ,则与 a 共线的单位向量 b 为( A. (?

2 2 ,? ) 2 2

B. (

2 2 ,? ) 2 2

C. (?

2 2 , ) 2 2

D. (?1,?1)

4.若变量 x, y 满足约束条件 ? A.3 B.4

?2 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ?1 ? x ? y ? 2
C.5 D.8



5. 在平面直角坐标系下, 已知 C1 : ?

? x ? mt ? x ? 2 cos? ( t 为参数,m ? 0 的常数) C2 : ? , ?y ? 1? t ? y ? 2 sin ?
) D.相交、相切、相离都有可能 ) (C) ?11, 17?
'

( ? 为参数).则 C1 、 C2 位置关系为( A.相交 6.已知 B.相切 则

C.相离

a ? (5,12), a ? b ? 3,

b

的取值范围是(

(A) ?9, 15?
3 2

(B) ?10, 16?

(D) ?12, 18?

7.如果函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 4) x(a ? R ) 的导函数 f ( x) 是偶函数,则曲线 y ? f (x) 在原点处的切线方程是( A. y ? ?4 x ) B. y ? ?2 x C. y ? 4 x D. y ? 2 x

第 1 页 共 8 页

8. 设方程 ( ) x ? x ? 0 的实根为 x1 , 方程 log 2 x ? x ? 0 的实根为 x 2 , 方程 log 2 x ? 的实根为 x3 ,则( A. x1 ? x 2 ? x3 ) B. x 2 ? x1 ? x3 C. x1 ? x 2 ? x3 )

1 2

1 ?0 x

D. x1 ? x 2 ? x3

9.若 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 2 ,则下列不等式恒成立的是(

1 ?1 A. ab

1 1 ? ?2 B. a b

C. ab ? 1

D. a ? b ? 2
2 2

10. 给出以下命题: (1) ?x ? R ,使得 sin x ? cos x ? 1 ; (2)函数 f ( x) ?

sin x ? ?? 在区间 ? 0, ? 上是单调减函数; x ? 2?

(3) x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件; “ (4)在 ?ABC 中, A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的必要不充分条件。 “ 其中是真命题的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题纸的相应位置. )

11.已知命题 p :| x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3a 恒成立,命题 q : y ? (2a ? 1) 为减函数,若 p 且 q 为
x

真命题,则 a 的取值范围是

ln(? x 2 ? x ? 2) 的定义域为 . x ? 1 ( x ? 3) ? 3 ? 13.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? m , (m ? R ) 恰有 3 个不 ( x ? 3) ? ? x?3 ?
12.函数 y ? 同的实根 x1 , x 2 , x3 ,则数据 x1 , x 2 , x3 的标准差为 ( s2 ? .

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] ) n ? ? ? ? ? ? ? ? ? a, b , | a |? 1,| b |? 2 ,且 | 2a ? b |? 10 ,则向量 a 与 a ? 2b 的夹角 14.已知平面向量
第 2 页 共 8 页



. (写出所有正确命题的编号)

15.下列命题中正确的是

① y ? sin x ( x ? R ) ,在第一象限是增函数;②对任意 ?ABC , cos A ? cos B ? 0 恒成立; ③ tan x ? 0 是 tan 2 x ? 0 的充分但不必要条件;④ y ? sin x 和 y ? sin x 都是 R 上周期函数;

k? ,0) , (k ? Z ) 成中心对称. 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演
⑤ y ? tan x 的图象关于点 ( 算步骤.) 16. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? cos(? ) ? sin(? ? (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间;

x 2

x ), x ? R 。 2

C b c 若 (Ⅱ) ?ABC 的内角 A ,B , 的对边分别为 a , , , f ( A) ? 若
求 ?ABC 的面积。

2 10 b c , ? 1, ? 2 , 5

17.(本题满分12分)已知函数 y ? f (x) 在定义域 ?? 1,1? 上是奇函数,又是减函数。 (Ⅰ)证明:对任意的 x1 , x 2 ? ?? 1,1? ,有 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 )?( x1 ? x 2 ) ? 0; (Ⅱ)解不等式 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0 。
2

18.(本题满分 12 分)已知函数

1 f ( x) ? x 2 e x ?1 ? x 3 ? x 2 。 3
(I)讨论函数 f (x) 的单调性; (II)设函数 g ( x) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f (x) 与 g (x) 的大小。 3

A. (本小题满分13分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 对任意 n ? N * ,有 2an ? S n ? n .

第 3 页 共 8 页

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 f (n) ? n 2 (n ? N * ) ,试比较 S n 与 f (n) 的大小,并说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 数列 {an } 为正项等比数列, 且满足 a1 ? 前 n 项和为 Sn,满足

1 1 2 设正项数列 {bn } 的 a2 ? 4, a3 ? a2 a6 ; 2 4

bn ? 1 ? Sn . 2

(1)求 {an } 的通项公式; (2)设 Cn ? an bn , 求数列{Cn } 的前项的和 Tn.

21. (本小题满分13分)已知三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 为 R 上奇函数,且
3 2

在x?

3 2 3 处取得极值 ? .记函数图象为曲线 C .(Ⅰ)求函数 f (x) 的表达式; 3 9

(Ⅱ) 设曲线 C 与其在点 P (1, f (1)) 处的切线交于另一点 P2 ( x2 , f ( x2 )) , 线段 P P2 与曲线 C 1 1 所围成封闭图形的面积记为 S1 ,求 S1 的值; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设曲线 C 与其在点

P2 处的切线交于另一点 P3 ( x3 , f ( x3 )) ,线段 P2 P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积记为
S 2 ,? ,按此方法依次做下去,即设曲线 C 与其在点 Pn ( xn , f ( xn )) 处的切线交于另一点
Pn?1 ( xn?1 , f ( xn?1 )) ,线段 Pn Pn ?1 与曲线 C 所围成封闭图形的面积记为 S n ,试求 S n 关于 n 的
表达式.

第 4 页 共 8 页

2 10 A ? 2 5 及(Ⅰ)可得 sin( ? ) ? , 5 2 4 5 A A 2 10 A A 8 3 即 sin ? cos ? ,? (sin ? cos ) 2 ? ,即 sin A ? 2 2 5 2 2 5 5 1 3 ? S ?ABC ? bc sin A ? 。?????12 分 2 5
解法二:由 f ( A) ? 17.解: (Ⅰ)若 x1 ? x 2 ? 0 ,显然不等式成立; 若 x1 ? x 2 ? 0, 则 ? 1 ? x1 ? ? x 2 ? 1 ,? y ? f (x) 在定义域 ?? 1,1? 上是奇函数,又是 减函数,? f ( x1 ) ? f (? x 2 ) ? ? f ( x 2 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x 2 )? ? 0; 故原不等式成立; 同理可证当 x1 ? x 2 ? 0 原不等式也成立。 (Ⅱ)由 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0 和已知可得以下不等式组:
2

----6分

第 5 页 共 8 页

?? 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ? .?? 1 ? a ? 1 ? 1 ? 0 ? a ? 1 ?1 ? a 2 ? a ? 1 ?

-----12分

19. (Ⅰ)当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? 1 ? a1 ? 1 ????1分

? 2a n ? S n ? n (n ? N * ) ,? 2a n ?1 ? S n ?1 ? n ? 1 (n ? 2) ,
两式相减得 a n ? 2a n ?1 ? 1 则

(n ? 2) ,即 a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1) (n ? 2) ,令 bn ? a n ? 1

bn ? 2 (n ? 2) 且 b1 ? a1 ? 1 ? 2 ,所以 bn ? b1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n (n ? N * ) bn ?1

? a n ? 2 n ? 1 (n ? N * ) ????7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ? 2 n ?1 ? n ? 2 当 n ? 1,2 时, S n ? f (n) ;当 n ? 3 时, S n ? f (n) ???9 分 只需证 2 n ?1 ? n 2 ? n ? 2 (n ? 3) ,利用

1 0 1 2 n n 0 1 2 (1 ? 1) n ? C n ? C n ? C n ? ? ? C n ?1 ? C n ? C n ? C n ? C n = (n 2 ? n ? 2) 2
? 2 n ?1 ? n 2 ? n ? 2 (n ? 3) .???13 分
注:也可用数学归纳法证,也可构造函数

第 6 页 共 8 页

s ( x) ? 2 x ?1 , f ( x) ? x 2 ? x ? 2 利用导数证明,方法不限.(过程略)

又 b1 ? S1 ?

(b1 ? 1) 2 , 4

? b1 ? 1,? bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1.
由 cn ? an bn , 得 Cn ? (2n ? 1) ? 2n ,

Tn ? C1 ? C2 ?? Cn

? (2 ?1 ? 1)21 ? (2 ? 2 ? 1)2 2 ? ? ? (2n ? 1)2 n ,
2Tn ? (2 ?1 ? 1) ? 22 ? (2 ? 2 ? 1) ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ?1
①-②得: ?Tn ? 2(22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2

① ②

第 7 页 共 8 页

2(2n ?1 ? 1) ?2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 2 ?1 n ?1 ? 2 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? ?2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2.
?Tn ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2.

第 8 页 共 8 页


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