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呼和浩特市重点高中2012-2013学年第一学期数学期中考试试卷附答案[编辑5页]


呼和浩特市重点高中 2012-2013 学年 第一学期数学期中考试试卷附答案
考察知识范围:集合、函数、指数与指数函数 考试时间: 120 分钟

一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? x ? R x ? 2 , B ? x ? Z A. 2) (0, B.[0,2]

?

?

?

x ? 4 ,则 A ? B =(
C. {0, 2}

?

) D. {0,1,2} )

2.若函数 y ? f ( x) 的定义域是[0,2],则函数 g ( x) ? A.[0, 1]
2

f (2 x) 的定义域是( x ?1

B.[0,1)
x

C. [0,1) ? (1, 4] )

D. (0,1)

3.函数 y ? (a ? 5a ? 5)a 是指数函数,则有( A. a ? 1 或 a ? 4 4.已知 f ( x) ? ? A.-3
x

B. a ? 1

C. a ? 4

D. a ? 0, 且a ? 1

? 2x , x ? 0 ? x ? 1, x ? 0

,若 f (a) ? f (1) ? 0 ,则实数 a 等于( C.1 ) C. [0, 4)



B.-1

D.3

5.函数 y ? 16 ? 4 的值域是( A. [0, ??) B. [0, 4]

D. (0, 4)

6.如果奇函数 y ? f ( x)( x ? 0) ,在 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x ? 1 ,那么使 f ( x ? 1) ? 0 的 x 的取值范围是 ( ) B.1<x<2
3

A.x<0

C.x<0 或 1<x<2

D.x<2 且 x≠0 ) D. (4,5)

7.在下列区间中,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 的零点所在的区间是( A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) )

8.设 f ( x) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( A. f ( x) f (? x) 是奇函数 C. f ( x) ? f (? x) 是偶函数

B. f ( x) f (? x) 是奇函数 D. f ( x) ? f (? x) 是偶函数
1/6

9.设 a ? 4

0.9

,b ? 8

0.48

?1? ,c ? ? ? ?2?

?1.5

,则(

) C. a ? b ? c D. a ? c ? b )

A. c ? a ? b

B. b ? a ? c

10.若不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? ??, ?2 ? ? ? 3, ?? ? ,则不等式 cx2 ? bx ? a ? 0 的解集是( A. ? ? ,

? 1 1? ? ? 3 2?

B. ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 3? ? 2 ? ? y y

?

1? ?1

?
y 1
1 y

C. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 3?
-1

1? ?1 1 ? ? D. ? ??, ? 1 ? ? ? , ?? ? ? 2? ?3
x O

?
x

?b? 2 11.二次函数 y ? ax ? bx 与指数函数 y ? ? ? 的图象只可能是( ?a? A A
y 1
1 y

x

O -1 1

1

O

1 O x

1

x



B
y 1 1
1

B
y

y 1
1

y

y 1
xO 1
x -1

y 1

-1

-1 O

O 1

x1

x

O

O -1 1

x O

x

O

x O

1

x

A
y

A
y
2 2

B
y

B
y

C

C

D


D

12.若不等式 mx ? 2mx ? 4 ? 2 x ? 4 x 对任意实数 x 均成立,则 m 的取值范围是( A.1 ?2, 2? ?
1

B. ? ?2, 2?
x
x

1

1

C. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ?
O 1

D.

? ??, 2 ?

-1

-1 O

O

O

x1

x

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5D 分,共 20 分) C C D
3

13.

a 2 a ?3 ?

9

a ?7 a13 =

; ;

14.函数 y ?

? 3 ? 4 x ? x 2 的单调增区间是

15.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c(b, c ? R) ,给出如下四个命题:①若 c=0,则函数 f ( x) 为奇函数; ②若 b=0,则函数是 R 上的增函数;③函数 y ? f ( x) 的图象关于点(0, c)成中心对称图形;④关于 x 的方程 f ( x) ? 0 ,最多有两个实根。其中正确的命题有 16.若关于 x 的方程 ax ? 2ax ? 1 ? 0 至少有一个负根,则 a 的取值范围是
2

; .

三、解答题(本题共 6 个小题,共 70 分)

2/6

? x 2 ? 2 x ? 4, x ? ?1 ? 17. (本小题 10 分)已知 f ( x) ? ??2 x ? 5, ?1 ? x ? 1 ?3, x ?1 ?
(1)求 f (?2) , f (0) , f (1) 的值; (2)求函数 f ( x) 的值域. 18. (本小题 12 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1)求实数 a 的值; (2)证明:函数 f (x) 在 ?0,??? 上是增函数

2x a ? 是 R 上的偶函数 a 2x

19. (本小题 12 分)设集合 A ? x ? R x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x ? R 2 x ? ax ? 2 ? 0 ,若 A ? B ? A ,
2 2

?

?

?

?

求实数 a 的取值集合.

20. (本小题 12 分)某商品在近 30 天内每件的销售价格 p (元)与时间 t (天)的函数关系是

?t ? 20, p?? ??t ? 100,

0 ? t ? 25, t ? N , 25 ? t ? 30, t ? N .

该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系是

Q ? ?t ? 40 (0 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30
天中的第几天?

21.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? 3 在区间 ? ?
2

? 3 ? , 2 上的最大值为 1,求 a 的值. ? 2 ? ?

22. (本小题 12 分)函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0},且满足对于定义域内任意的 x1 , x2 都有等式

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
(1)求 f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (3)若 f (4) ? 1,且 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,解关于 x 的不等式 f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 .
3/6

呼和浩特市重点高中 2012-2013 学年 第一学期数学期中考试试卷参考答案
一、 选择题 DBCAC CADDD AB 二、 13. a
1 ? 2

填空题 14. (1,2) 15. ①②③ 16.

?a a ? 0或a ? 1?

三、解答题 17. 解: (1)由题意得 f (?2) ? 12 , f (0) ? 5 , f (1) ? 3 (2)当 x ? ?1 时,函数 y ? x ? 2 x ? 4 ? ? 7, ?? ?
2

…………………..3 分 ………………….5 分 ………………….7 分 ………………….9 分 ………………….10 分

当 ?1 ? x ? 1 时,函数 y ? ?2 x ? 5 ? ? 3, 7 ? 当 x ? 1时,函数 y ? 3 综上所述,函数的值域为 ?3, ?? ?

18. 解: (1) (法一)

? 函数 f ( x) 为 R 上的偶函数,即 f ( x) ? f (? x)
? a ?1
(法二) ……………………….4 分

? 函数 f ( x) 为 R 上的偶函数,即 f (1) ? f (?1)
? a ?1
经检验, a ? 1 符合题意,? a ? 1 (2)在 ? 0, ?? ? 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,

?x ? x2 ? x1 ? 0

………………….6 分

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 x2 ?
? x2 ? x1 ? 0

1 1 (2 x2 ? 2 x1 )(2 x1 ? x2 ? 1) ? 2 x1 ? x1 ? ………………….10 分 2 x2 2 2 x1 ? x2

? 2x2 ? 2x1 ? 0 , 2x1 ? x2 ? 1 ? 0 , 2x1 ? x2 ? 0 ,即??y ? 0 …………………………………….12 分
4/6

19. 解: ① B ? ? 时, ? ? a 2 ? 16 ? 0 ,即 ?4 ? a ? 4 ② B ? ?1? 或?2? 时, ? ? a 2 ? 16 ? 0 ,即 a ? ?4 当 a ? 4 时, B ? ? ? ,符合题意; 1 当 a ? ?4 时, B ? ?? 1? ,不符合题意,舍掉 ③ B ? ?1, 2? , 无解 .…………………………….………………8 分 ……………………………………………11 分 ……………………………………………..…12 分 …………………..………………….5 分

综上所述: a ? ?? 4,4? 20. 由题意得 y ? pQ ? ?

?(?t ? 40)(t ? 20 ), 0 ? t ? 25 , ?(?t ? 40)( ?t ? 100 ), 25 ? t ? 30

…………………6 分

所以当 0 ? t ? 25 时, y max ? f (10) ? 900 当 25 ? t ? 30 时, ymax ? f (25) ? 1125 综上所述, ymax ? f (25) ? 1125 21. 解:

………………….8 分 ………………….10 分 ………………….12 分

2a ? 1 ? 2 2a ? 1 当? ? 2
当? 22. 解:

1 ,即 a ? 4 1 ,即 a ? 4

1 1 时, y max ? f (2) ? 1 ,即 a ? ………………………..6 分 4 2 1 3 1 时, y max ? f (? ) ? 1 ,即 a ? ? ………………….12 分 4 2 12

(1)令 x1 ? x 2 ? 1 ,则 f (1) ? 0 (2)令 x1 ? x2 ? ?1 ,则 f (?1) ? 0 令 x1 ? ?1, x2 ? x ,则 f (? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) 所以函数为偶函数 (3)因为 3 ? 3 f (4) ? f (64) 所以原式可变形为 f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? f (64) 则?

………………….2 分

………………….6 分 ………………….8 分

? (3 x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64 ?(3 x ? 1)( 2 x ? 6) ? 0

5/6

所以 x ? ??

? 7 1? ? 1 ? ,? ? ? ? ? ,3 ? ? ?3,5? ? 3 3? ? 3 ?

………………….12 分

6/6


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