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高中数学《函数的单调性与导数》公开课优秀教学设计

教学设计 普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1 (人教A版) 函数的单调性与导数 (第一课时) 《函数的单调性与导数》教学设计 课题:函数的单调性与导数 教材:人教A版《数学》选修1-1 课时:1课时 教材分析: 函数的单调性与导数是人教 A 版选修 1-1 第三章第三课第一节的内容. 《数学课程标准》中与本节课相关的要求是:结合实例,借助几何直观探 索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会 求不超过三次的多项式函数的单调区间. 函数的单调性是函数的重要性质之一 .在必修一中学习了利用函数单 调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性,学习了导数以后,利用导 数来研究函数的单调性,是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应 用. 在前几节课中,学生学习了平均变化率,瞬时变化率,导数的定义和 几何意义等内容,在本节课中,学生将要在此基础上学习通过导数来研究 函数的单调性,掌握研究函数单调性的更一般方法,进而为后面学习函数 的极值,最值等作出知识铺垫,打下能力基础,进行方法指导,因此,本 节课可以起到承上启下,完善建构,拓展提升的作用. 学生学情分析: 课堂学生为高二年级的学生,学生基础普遍比较好,但是学习单调性 的概念是在高一第一学期学过,因此对于单调性概念的理解不够准确,同 时导数是高中学生新接触的概念,如何将导数与函数的单调性联系起来是 一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的 四则运算,初步接触了导数在几何中的简单应用,但对导数的应用还仅停 留在表面上 .本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单 调性. 教学目标: 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系:能利 用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单 调区间. 难点:探索并了解函数的单调性与导数的关系. 借助几何直观,通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系;理解 并掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的单调区间;体 会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学发 展的一般规律. 教学策略分析: 根据新课程标准的要求,本节课的知识目标定位在以下三个方面:一 是能探索函数的单调性与导数的关系;二是掌握判断函数单调性的方法; 三是能由导数信息绘制函数大致图象. 本节课的教学设计也是围绕这些目标,让学生自主探究,充分参与课 堂,并从中体会学习的成功和快乐. 本节课时学习过导数的概念和运算后,首次运用导数解决函数相关问 题的一节课,如何激发学生的兴趣,使其探索和运用新的工具即导数解决 单调性问题是本节课的关键,利用手边胡工具,更好的分析这个过程,运 用信息技术确认加深理解. 充分利用学生已有的基础,分析原函数的单调性与导数正负之间的关 系,本着由形到数,由数到形,数形结合的思想. (一)创设情境,引发冲突. 师:在北方,进入十月,就能感觉到阵阵寒意,今天我们就从一个气温的 实际问题开始数学之旅. 师:我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示,从 2 时到 5 时的 气温 C 与时间 t 可近似的用函数 C (t ) ? t ? 4 ln t ? 1拟合, 问: 这段气温 C 随 时间 t 的变化趋势如何? 回答这个问题,我们需要了解这个函数的什么性质? 生:函数的单调性. 师:如何判断这个函数的单调性呢? 生:画图象,用定义. 师:有的同学说画图象,有的说用单调性的定义,我们动手来做一下吧 生:动手操作. 师:选择画图的同学们,可以画出图象么? 生:不可以. 师:哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决. 生:在区间 2 到 5 上,任意选取 t1,t 2 且 t1 ? t 2 ,我们需要判断 C(t1 ) ? C(t 2 ) 的符号, 师:可以判断么? 生:不可以. 师:好,请坐,也就是我们已有的方法都遇到了困难,如何解决这个单调 性问题呢? 设计意图: 通过学生熟悉的生活情景,激发学生迫切知晓函数单调性的欲望,尝试 运用所学知识解决非初等函数的单调性,引发学生的认知冲突,思考如何 将未知化为已知,激发了学生主动学习新知识的热情. (二)回归定义,寻求方法. 师:追本溯源,我们重新回到定义.请一位同学回答单调性的定义. ( a, b) 内,满足对于任意的 x1 , x2 ? (a, b) 生:在函数 f ( x) 的定义域内的某区 且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,是增函数. 师:很好,也就是我们要需要判断 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号,我们把这个形式变 形,判断 生:大于 0. 师:即函数值的改变量与自变量改变量的比值: 生:大于 0 师:函数 f ( x) 在区间 (a, b)内是减函数,满足对于任意的 x1 , x2 ? (a, b) 且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ),也就是 f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 生:小于 0. 即函数值的改变量与自变量改变量的比值: f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 的符号,结果为: 生:小于 0. 师:我们发现,函数的单调性与这样一个比值的符号相关,在本章的学习 中,我们知道这叫做---生:函数的平均变化率. 师:我们运用无限趋近于的方式,可以由平均变化率得到瞬时变化率,反 过来,瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况,我们知道瞬时变 化率,即---生:导数. 师:非常棒!我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性. 板书:3.3.1 函数的单调性与导数. 设计意图: 注意到知识的联系,尝试在学生原有认知的基础上建立新知,通过回 顾函数单调性的定义,将其形式改变,联想平均变化率,运用无限趋近于 的方式,得到瞬时变化率,即导数,引发学生思考导数与单调性的关系,

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