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高一数学必修一重难点讲解


高中必修一一些重点
函数值域求法十一种.......................................................................................................... 2 复合函数 .............................................................................................................................. 9 一、复合函数的概念 .................................................................................................... 9 二、求复合函数的定义域: ........................................................................................ 9 复合函数单调性相关定理................................................................................................ 10 函数奇偶性的判定方法.................................................................................................... 10 指数函数: ........................................................................................................................ 12 幂函数的图像与性质........................................................................................................ 15

1

函数值域求法十一种
1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例 1. 求函数 解:∵ x ? 0

y?

1 x 的值域。

1 ?0 ∴x
显然函数的值域是: (??,0) ? (0,??) 例 2. 求函数 y ? 3 ? x 的值域。 解:∵ x ? 0

?? x ? 0,3 ? x ? 3 故函数的值域是: [??,3]
2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2 例 3. 求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 2 解:将函数配方得: y ? (x ? 1) ? 4 ∵ x ? [?1,2]

由二次函数的性质可知:当 x=1 时, y min ? 4 ,当 x ? ?1时, y max ? 8 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法

1 ? x ? x2 1 ? x 2 的值域。 例 4. 求函数 解:原函数化为关于 x 的一元二次方程 y?

( y ? 1)x 2 ? ( y ? 1)x ? 0 (1)当 y ? 1 时, x ? R ? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0 1 3 ?y? 2 解得: 2
?1 3? 1? ? , ? (2)当 y=1 时, x ? 0 ,而 ? 2 2 ? ?1 3? ? , ? 故函数的值域为 ? 2 2 ?
例 5. 求函数 y ? x ? x(2 ? x) 的值域。
2 2 解:两边平方整理得: 2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 (1) ∵ x ?R 2 ∴ ? ? 4( y ? 1) ? 8y ? 0

解得: 1 ? 2 ? y ? 1 ? 2 但此时的函数的定义域由 x (2 ? x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 2
2 2 由 ? ? 0 ,仅保证关于 x 的方程: 2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,

2

?1 3? ? , ? 即不能确保方程(1)有实根,由 ? ? 0 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为 ? 2 2 ? 。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0? x ? 2

? y ? x ? x(2 ? x) ? 0

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)
解得: 即当

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2

?[0,2]

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2 时,

原函数的值域为: [0,1 ? 2 ] 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔 除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x ? 4 例 6. 求函数 5x ? 6 值域。
x?
解:由原函数式可得: 则其反函数为:

4 ? 6y 5y ? 3

y?

4 ? 6y 3 x? 5x ? 3 ,其定义域为: 5

3? ? ? ? ?, ? 5? 故所求函数的值域为: ?
5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。 例 7. 求函数

y?

ex ?1 e x ? 1 的值域。

ex ?
解:由原函数式可得:
x ∵e ?0 y ?1 ?0 ∴ y ?1

y ?1 y ?1

解得: ? 1 ? y ? 1 故所求函数的值域为 ( ?1,1)

cos x sin x ? 3 的值域。 例 8. 求函数 解:由原函数式可得: y sin x ? cos x ? 3y ,可化为: y?

y 2 ? 1 sin x ( x ? ?) ? 3y 3y sin x (x ? ?) ? y2 ? 1 即
∵ x ?R ∴ sin x(x ? ?) ?[?1,1]

3

?1?
即 解得:

3y y2 ? 1
?

?1

2 2 ?y? 4 4

? 2 2? , ?? ? 4 4 ? ? ? 故函数的值域为 ?
6. 函数单调性法 例 9. 求函数 y ? 2
x ?5

? log3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。

解:令 y1 ? 2 , y 2 ? log3 x ? 1 则 y 1 , y 2 在[2,10]上都是增函数 所以 y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增函数 当 x=2 时,

x ?5

y min ? 2 ?3 ? log3 2 ? 1 ?

1 8

5 当 x=10 时, y max ? 2 ? log3 9 ? 33

?1 ? ? ,33? 故所求函数的值域为: ? 8 ?
例 10. 求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的值域。 2 y? x ?1 ? x ?1 解:原函数可化为: 令 y1 ? x ? 1, y 2 ? x ? 1 ,显然 y 1 , y 2 在 [1,??] 上为无上界的增函数 所以 y ? y1 , y 2 在 [1,??] 上也为无上界的增函数

2
所以当 x=1 时, y ? y1 ? y 2 有最小值 2 ,原函数有最大值 2 显然 y ? 0 ,故原函数的值域为 (0, 2 ]

? 2

7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数 学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例 11. 求函数 y ? x ? x ? 1 的值域。 解:令 x ? 1 ? t , ( t ? 0)
2 则 x ? t ?1

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? 2 4 ∵
又 t ? 0 ,由二次函数的性质可知 当 t ? 0 时, y min ? 1 当 t ? 0 时, y ? ?? 故函数的值域为 [1,??)
2 例 12. 求函数 y ? x ? 2 ? 1 ? (x ? 1) 的值域。
2 解:因 1 ? (x ? 1) ? 0 2 即 (x ? 1) ? 1

4

故可令 x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?]
2 ∴ y ? cos ? ? 1 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 1

? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4


0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 故所求函数的值域为 [0,1 ? 2 ] ??

例 13. 求函数

y?

x3 ? x x 4 ? 2 x 2 ? 1 的值域。
y? 1 2x 1 ? x2 ? ? 2 1? x2 1 ? x2

解:原函数可变形为:

2x 1? x2 ? sin 2 ? , ? cos 2 ? 2 2 x ? tg ? 1 ? x 1 ? x 可令 ,则有

1 1 ? y ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin 4? 2 4 k? ? 1 ?? ? y max ? 4 2 8 时, 当 k? ? 1 ?? ? y min ? ? 2 8 时, 4 当 而此时 tan ? 有意义。
? 1 1? ?? , ? 故所求函数的值域为 ? 4 4 ?
? ? ?? x ? ?? , ? ? 12 2 ? 的值域。

例 14. 求函数 y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) , 解: y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1)
? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1

1 sin x cos x ? (t 2 ? 1) 2 令 sin x ? cos x ? t ,则 1 1 y ? (t 2 ? 1) ? t ? 1 ? (t ? 1) 2 2 2 由 t ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? / 4)
? ? ?? x ? ?? , ? ? 12 2 ? 且
2 ?t? 2 可得: 2

3 2 3 2 t? y? ? ? 2 2 时, 4 2 2 ∴当 t ? 2 时, ,当 ?3 ? 2 3 , ? 2? ? ? 2 2 ? ?4 ?。 故所求函数的值域为 ? y max ?

5

2 例 15. 求函数 y ? x ? 4 ? 5 ? x 的值域。
2 解:由 5 ? x ? 0 ,可得 | x |? 5

故可令 x ? 5 cos ?, ? ?[0, ?]

? y ? 5 cos ? ? 4 ? 5 sin ? ? 10 sin(? ? ) ? 4 4 0 ? ? ? ? ∵

? ? 5? ? ??? ? 4 4 4 当 ? ? ? / 4 时, y max ? 4 ? 10
当 ? ? ? 时, y min ? 4 ? 5 故所求函数的值域为: [4 ? 5 ,4 ? 10 ] 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法, 往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
2 2 例 16. 求函数 y ? ( x ? 2) ? ( x ? 8) 的值域。

解:原函数可化简得: y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 | 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) , B(?8) 间的距离之和。 由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 故所求函数的值域为: [10,?? ]
2 2 例 17. 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。 解:原函数可变形为:

y ? (x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? (x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 上式可看成 x 轴上的点 P( x,0) 到两定点 A(3,2), B(?2,?1) 的距离之和,
2 2 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min ?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 43 ,

故所求函数的值域为 [ 43,?? ]

2 2 例 18. 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。
2 2 2 2 解:将函数变形为: y ? (x ? 3) ? (0 ? 2) ? (x ? 2) ? (0 ? 1) 上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 B( ?2,1) 到点 P( x,0) 的距离之差。

即: y ?| AP | ? | BP | 由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P' ,则构成 ?ABP' ,根据三角形两边之差
2 2 小于第三边,有 || AP' | ? | BP' ||?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 26

即: ? 26 ? y ? 26
6

(2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 || AP | ? | BP ||?| AB |? 26 综上所述,可知函数的值域为: (? 26 , 26 ]

注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,则 要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。 如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为: (3,2) , ( ?2,?1) ,在 x 轴的同侧;例 18 的 A,B 两点坐标分别为(3,2) ,

(2,?1) ,在 x 轴的同侧。
9. 不等式法 利用基本不等式 a ? b ? 2 ab , a ? b ? c ? 3 abc (a, b, c ? R ) ,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积 为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
3
?

例 19. 求函数 解:原函数变形为:

y ? (sin x ?

1 2 1 2 ) ? (cos x ? ) ?4 sin x cos x 的值域。
1 1 ? 2 sin x cos 2 x

y ? (sin 2 x ? cos 2 x ) ? ? 1 ? ces 2 x ? sec 2 x ? 3 ? tan 2 x ? cot 2 x ? 33 tan 2 x cot 2 x ? 2

?5 当且仅当 tan x ? cot x ? x ? k? ? 4 时 (k ? z) ,等号成立 即当 故原函数的值域为: [5,?? )
例 20. 求函数 y ? 2 sin x sin 2x 的值域。 解: y ? 4 sin x sin x cos x

? 4 sin 2 x cos x y ? 16 sin 4 x cos 2 x

? 8 sin 2 x sin 2 x (2 ? 2 sin 2 x ) ? 8[(sin 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin 2 x ) / 3]3 ? 64 27
2 2

当且仅当 sin x ? 2 ? 2 sin x ,即当 由

sin 2 x ?

2 3 时,等号成立。

y2 ?

64 8 3 8 3 ? ?y? 9 9 27 可得:

? 8 3 8 3? , ?? ? 9 9 ? ? ? ? 故原函数的值域为:
10. 一一映射法

7

原理:因为 一个变量范围。 例 21. 求函数

y?

ax ? b (c ? 0) cx ? d 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另 1 ? 3x 2x ? 1 的值域。

y?

1 1? ? ?x | x ? ? 或x ? ? ? 2 2? 解:∵定义域为 ?

1 ? 3x x ? 1 ? y 2y ? 3 2x ? 1 得 由 1? y 1? y 1 1 x? ?? x? ?? 2y ? 3 2或 2y ? 3 2 故 y?

3 3 y ? ? 或y ? ? 2 2 解得
3? ? 3 ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,?? ? 2? ? 2 ? 故函数的值域为 ?
11. 多种方法综合运用 例 22. 求函数

y?

x?2 x ? 3 的值域。

2 解:令 t ? x ? 2 (t ? 0) ,则 x ? 3 ? t ? 1

t 1 1 ? ? 1 1 2 t ?1 t ? 0? y? t ? 0 t 2 (1)当 时, ,当且仅当 t=1,即 x ? ?1时取等号,所以 (2)当 t=0 时,y=0。 ? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为: ? 2 ? 注:先换元,后用不等式法 y?
2

例 23. 求函数 解:

y?

1 ? x ? 2x 2 ? x 3 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4 的值域。

y?

1 ? 2x 2 ? x 4 x ? x3 ? 1 ? 2x 2 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4
? x ? ? ? 1? x2 ?
2
2

?1? x2 ?? ?1 ? x2 ?

?1? x2 ? 2 ? ? ? x ? tan ? 1 ? x 2 ? ? cos ? ? 2 ,则 ? 令 x 1 ? sin ? 2 2 1? x 1 1 ? y ? cos 2 ? ? sin ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 2 2 2 1? 17 ? ? ?? sin ? ? ? ? 4? 16 ? 17 1 sin ? ? y max ? 16 4 时, ∴当 当 sin ? ? ?1时, y min ? ?2
此时

tan

17 ? ? ? ?? 2, 16 ? ? 2 都存在,故函数的值域为 ?
8

注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 sin ? 的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑 直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

复合函数
一、复合函数的概念
如果 y 是 u 的函数, 而 u 是 x 的函数, 即 y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么 y 关于 x 的函数 y = f [g ( x ) ]叫做函数 f 与 g 的 复合函数,u 叫做中间变量。 注意:复合函数并不是一类新的函数,它只是反映某些函数在结构方面的某种特点,因此,根据复合函数结构, 将它折成几个简单的函数时,应从外到里一层一层地拆,注意不要漏层。 另外,在研究有关复合函数的问题时,要注意复合函数的存在条件,即当且仅当 g ( x )的值域与 f ( u )的定义域的 交集非空时,它们的复合函数才有意义,否则这样的复合函数不存在。 例:f ( x + 1 ) = (x + 1) 两个函数复合而成。
2

可以拆成 y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成 f ( u ) = u2 与 g ( x ) = x + 1

二、求复合函数的定义域:
(1)若 f(x)的定义域为 a ≤ x ≤ b,则 f [ g ( x ) ] 中的 a ≤ g ( x ) ≤ b ,从中解得 x 的范围,即为 f [g ( x )]的定义 域。 例 1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 , 1 ],求 f ( 2x + 1 )的定义域。 答案: [-1/2 ,0 ] 例 2、已知 f ( x )的定义域为(0,1) ,求 f ( x 2)的定义域。 答案: [-1 ,1] (2)若 f [ g ( x ) ]的定义域为(m , n)则由 m < x < n 确定出 g ( x )的范围即为 f ( x )的定义域。 例 3、已知函数 f ( 2x + 1 )的定义域为(0,1) ,求 f ( x ) 的定义域。 答案: [ 1 ,3] (3)由 f [ g ( x ) ] 的定义域,求得 f ( x )的定义域后,再求 f [ h ( x ) ]的定义域。 例 4、已知 f ( x + 1 )的定义域为[-2 ,3],求 f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。 答案:[-√3/2 ,-√3]∪[√3/2 ,√3] 三、求复合函数的解析式。

1、待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例 1 设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) 解:设 f ( x) ? ax ? b

(a ? 0) ,则

f [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? a(ax ? b) ? b ? a 2 x ? ab ? b

? a2 ? 4 ?? ?ab ? b ? 3

?a ? 2 ? a ? ?2  或   ?? ? ?b?3 ?b ? 1

? f ( x) ? 2 x ? 1  或   f ( x) ? ?2 x ? 3

9

2、 配凑法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x) 的解析式, f [ g ( x)] 的表达式容易配成 g ( x) 的运算形式时,
常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x) 的值域。

1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x x 1 1 2 1 解:? f ( x ? ) ? ( x ? ) ? 2 , x ? ? 2 x x x
例 2 已知 f ( x ?

? f ( x) ? x 2 ? 2

( x ? 2)

3、换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的
定义域的变化。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 解:令 t ?

x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? (t ? 1) 2

f ( x ? 1) ? x ? 2 x

? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,
? f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ( x ? 0)

复合函数单调性相关定理
1、引理 1 证 明 已知函数 y=f[g(x)].若 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是 增函数,那么,原复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2,使 a<x1<x2<b. 因为 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数, 所以 g(x1)<g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1<u2,且 u1,u2∈(c,d). 因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以 f(u1)<f(u2),即 f[g(x1)]<f[f(x2)] , 故函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数. 已知函数 y=f[g(x)].若 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d) 上是减函数,那么,复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数. 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2,使 a<x1<x2<b. 因为函数 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数, 所以 g(x1)>g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1>u2,且 u1,u2∈(c,d). 因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数, 所以 f(u1)<f(u2),即 f [g(x1)] <f [f(x2)] , 故函数 y=f [g(x)] 在区间(a,b)上是增函数. 同增异减

2、引理 2 证明

3、总结

函数奇偶性的判定方法
1.定义域判定法
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例 1 判定 f ( x) ? ( x ?1)

(非奇非偶) x ? 2 的奇偶性.

2.定义判定法 f(x)与 f(-x)关系 例 2 判断 f ( x) ? x ? a ? x ? a 的奇偶性. (偶) 3.等价形式判定法 例 3 判定 f ( x ) ?

1 ? x2 ? x ? 1 1 ? x2 ? x ? 1

的奇偶性. (奇)

评注: 常用等价变形形式有:若 f ( x) ? f (? x) ? 0 或

f (? x) ? ?1 ,则 f ( x) 为奇函数;若 f (? x) ? f ( x) ? 0 或 f ( x)

f (? x) . ? 1 ,则 f ( x) 为偶函数(其中 f ( x) ? 0 ) f ( x)
4.性质判定法 例 4 若 a ? 0 , f ( x)( x ???a ,a?) 是奇函数, g ( x)( x ? R) 是偶函数,试判定 ? ( x) ? f ( x) g ( x) 的奇偶性. 评注:在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下:①两个偶函数的和、差、积都是偶函数; ②两个奇函数的和、差是奇函数,积是偶函数;③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、练习

(1).(★★★★)函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (-∞,-1 ] (2)(★★★★★)若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2), 递增,则 b 的取值范围是__(-∞,0)_______. (1)令 t=|x+1|,则 t 在(-∞,-1 ] 上递减,又 y=f(x)在 R 上单调递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1 ] 上递减. (2)∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x, ∴b=-a(x1+x2),又 f(x)在[x2,+∞ ) 单调递增,故 a>0.又知 0<x1<x,得 x1+x2>0, ∴b=-a(x1+x2)<0. x2,+∞ ) 上单调

2.奇偶性
记 F(x)=f[g(x)]——复合函数,则 F(-x)=f[g(-x)], 如果 g(x)是奇函数,即 g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)], 则当 f(x)是奇函数时,F(-x)=-f[g(x)]=-F(x),F(x)是奇函数; 当 f(x)是偶函数时,F(-x)=f[g(x)]=F(x),F(x)是偶函数。 如果 g(x)是偶函数,即 g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x),F(x)是偶函数。 所以由两个函数复合而成的复合函数,当里层的函数是偶函数时,复合函数是偶函数,不论外层是怎样的函数; 当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时,复合函数是奇函数,当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函 数时,复合函数是偶函数。 在其它的场合,就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。 二 加减函数 1.增减性 对于 F(x)=g(x)+f(x) ,增+增=增 ,减+减=减, 减+增则无定则 2.奇偶性 对于 F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则 三 相乘函数 1.增减性
11

对于 F(x)=g(x)*f(x) , 一切皆无定则. 知道你会不信 ,很好 ,我来举个例子 :f(x)=g(x)=-x ,都是减函数 ,而 F(x)=x^2,有增有减. 2.奇偶性 对于 F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶* 偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成 F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推.

指数函数:
? aa ? 0 且 a ? 1 定义:函数 y 叫指数函数。 定义域为 R,底数是常数,指数是自变量。
x

?

?

要求函数 y ? a

x

中的 a 必须 a? 。因为若 a?0 时, y ? ? ?4? ,当 x ? 0 且 a? 1
x

1 时,函数值不存在。 4

x x x , y ? 0 ,当 x?0 ,函数值不存在。 a? 时, y ? 1 对一切 x 虽有意义,函数值恒为 1,但 y ? 1 a?0 1

的反函数不存在,

因为要求函数 y ? a
x

x

中的 a? 。 0 且 a? 1

?1 ? x 1、对三个指数函数 y? 的图象的认识。 2, y? y? 1 0 ? ?, ? ? 2
图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 x 轴上方; (2)图象都经过点(0,1) ; ( 3) y ? 2, y? 1 0 在第一象限内的纵坐
x x

x

函数性质 (1)x 取任何实数值时,都有 a ? 0;
x

(2)无论 a 取任何正数, x?0 时, y ? 1 ;

? 则 ax ? 1 ?x ? 0, (3)当 a? 时, ? 1 ? 则 ax ? 1 ?x ? 0, 标都大于 1, 在第二象限内的纵坐标都小于 1,
? 1? y ? ? ? 的图象正好相反; ? 2?
x

当0 时, ? ? a ? 1

? 则 ax ? 1 ?x ? 0, ? 则 ax ? 1 ?x ? 0,
x

( 4) y 时, y ? a 是增函数, ? 2, y? 1 0 的图象自左到右逐渐 (4)当 a? 1
x x

? 1? 上升, y ? ? ? 的图象逐渐下降。 ? 2?

x

当0 时, y ? a 是减函数。 ? a ? 1
x

对图象的进一步认识, (通过三个函数相互关系的比较) : ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1) ,如 y ? 2 和 y ? 10 相交于 (0,1) ,当 x?0 时, y ? 10 的图象
x x x

0 ?2 及 1 0 ? 2 。 在 y ? 2 的图象的上方,当 x?0 ,刚好相反,故有 1
x
2 2

? 2

? 2

② y ? 2 与 y ? ? ? 的图象关于 y 轴对称。
x

? 1? ? 2?

x

? 1? x 0 且 a? 1 ③通过 y ? 2 , y ? 10 , y ? ? ? 三个函数图象,可以画出任意一个函数 y ? a ( a? )的示意图, ? 2?
x x

x

12

如 y ? 3 的图象,一定位于 y ? 2 和 y ? 10 两个图象的中间,且过点 (0,1) ,从而 y ? ? ? 也由关于 y 轴的对称
x x x

? 1? ? 3?

x

? 1? 性,可得 y ? ? ? 的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 ? 3?
2、对数: 定义:如果 a ? N (a ? 0且a ? 1) ,那么数 b 就叫做以 a 为底的对数,记作 b? (a 是底数,N 是真数, l o g aN
b

x

) loga N 是对数式。 由于 N 故 loga N 中 N 必须大于 0。 ? a? 0
b

当 N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如:

则 0.32 x ?
x

5 2 4
? 1

求 log 0.32 ?

?5 2? ? ? 4 ?

解:设 log0.32 ?

?5 2? ??x ? 4 ?

? 8? ? 8? 2 即? ? ? ? ? ? 25? ? 25? 1 ∴x ? ? 2 ?5 2? 1 即 log 0.32 ? ??? 2 ? 4 ?
x

评述: 由对数式化为指数式可以解决问题, 反之由指数式化为对数式也能解决问题, 因此必须因题而异。 如求 3 ? 5 中的 x ,化为对数式 x ? log 3 5 即成。 (2)对数恒等式: 由a ? N ( 1 )b ? l o g N ( 2 ) a
b
l o g aN

将(2)代入(1)得 a

?N
1 ? lo g 12 2
3

运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算:

? ?
3

? log1 2
3

解:原式 ?3

?1 ? ?? ? ?3 ?

lo g ? 2 1 2
3



(3)对数的性质: ①负数和零没有对数; (4)对数的运算法则:

②1 的对数是零; ③底数的对数等于 1。

①l o g M N ? l o g M ? l o g N M , N ? R ? ? a a a
?

?

?

o g ? l o g M ? l o g N M , N ? R ②l a a a
③l o g Nn ? l o g N N ? R a a
n

M N

?

?

?
1 n

??

?

?

?

n o g ?l o g NNR ? ④l a N a

?

?

?

13

3、对数函数: 定 义 : 指 数 函 数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的 反 函 数
x

? ( 0 , ? ? )叫做对数函数。 y? l o g a xx
1、对三个对数函数 y ? l o g , y ? l o g , 2x 1x
2

y ? lgx 的图象的认识。
图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 y 轴右侧; (2)图象都过点(1,0) ; (3) y? , y ? lgx 当 x? 时,图象 1 l o g 2x
+

函数性质 (1)定义域:R ,值或:R; (2) x? 时, y ? 0 。即 l ; 1 o g ?0 a1

( 3 )当 a? 1时,若 x? 1,则 y ? 0 ,若 ,则 y ? 0 ; 0 ? x ? 1 时 , 若 x?0, 则 y ? 0 , 若 ? a ? 1 在 x 轴上方,当 0 时,图象在 x 轴下 当 0 ? x ? 0 时,则 y ? 0 ; 0 ? x ? 1 方, y ? log x 与上述情况刚好相反;
1 2

时, y? 是增函数; 1 l o g (4)y 从左向右图象是上 (4) a? ? l o g x , y ? l g x ax 2 升,而 y ? log 1 x 从左向右图象是下降。
2

时, y? 是减函数。 0 ? a ? 1 l o g ax

对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较) : (1)所有对数函数的图象都过点(1,0) ,但是 y? 与 y ? lgx 在点(1,0)曲线是交叉的,即当 x?0 时, l o g 2x 的图象在 y ? lgx 的图象上方;而 0 时, y? 的图象在 y ? lgx 的图象的下方,故有: ? x ? 1 y? l o g l o g 2x 2x ;l 。 l o g 1 . 5 ? l g 1 . 5 o g 0 . 1 ? l g 0 . 1 2 2 (2) y? 的图象与 y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称。 l o g 2x
2

(3) 通过 y? ,y ? lgx ,y ? log 1 x 三个函数图象, 可以作出任意一个对数函数的示意图, 如作 y? l o g l o g 2x 3x
2

的图象,它一定位于 y? 和 y ? lgx 两个图象的中间,且过点(1,0) , x?0 时,在 y ? lgx 的上方,而位于 l o g 2x 的下方, 0 时,刚好相反,则对称性,可知 y ? log 1 x 的示意图。 ? x ? 1 y? l o g 2x
3

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式:

l o gN l o g ? a bN l o g ab LN ? l o g ( 其 中 e? 2 . 7 1 8 2 8 … ) 称 为 N 的 自 然 对 数 n eN LN ? l o g 称 为 常 数 对 数 g 1 0N
由换底公式可得:

l g N l g N L N ? ? ? 2 . 3 0 3 l g N n l g e 0 . 4 3 4 3
14

由换底公式推出一些常用的结论: (1) l o g b ? a
n

1 或 l o g b · l o g a ? 1 a b l o g a b

(2) log a n b m ? (4) logan a ?
m

m log a b n

o g l o g (3) l nb ? ab a

m n

5、指数方程与对数方程* 定义:在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算,故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。 指数方程的题型与解法: 名称 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 题型 解法 取以 a 为底的对数 f? x l o g ?? ab 取以 a 为底的对数 f? x ? x ?? ? ? 取同底的对数化为 fx · l g a ? x · l g b ? ? ? ? 换元令 t ? a 转化为 t 的代数方程
x

af ?x? ?b
f( x ) ? ( x ) a ? a
f? x ?

a ? b

? x ? ?

F ax ? 0

?

? ?

对数方程的题型与解法: 名称 基本题 同底数型 需代换型 题型 解法 对数式转化为指数式 f ?x ? ?a
b

l o g x b ?? a f? l o g fx ? l o g ? x ?? ?? a a
F(log a x ) ? 0

转化为 f? x ? x ?? ? ?(必须验根) 换元令 t ?l 转化为代数方程 o g ax

幂函数的图像与性质
一、幂函数的定义 一般地,形如 y ? x ( x ?R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量,? 是常数.如 y ? x , y ? x , y ? x
?
2 1 3 ? 1 4

等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.
分数指数幂 正分数指数幂的意义是: a n ? 负分数指数幂的意义是: a 1、 幂函数的图像与性质 幂函数 y ? x 随着 n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握
n
? m n
m n

a m ( a ? 0 , m 、 n ? N ,且 n ? 1 )

?

1
n

am

( a ? 0 , m 、 n ? N ,且 n ? 1 )

y ? xn ,当 n ? ?2 , ? 1 , ?

1 1 , , 3 的图像和性质,列表如下. 2 3
15

从中可以归纳出以下结论: ① 它们都过点 ?1,1? ,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.

1 1 , , 1 , 2 , 3 时,幂函数图像过原点且在 ?0 , ? ?? 上是增函数. 3 2 1 ③ a ? ? , ? 1 , ? 2 时,幂函数图像不过原点且在 ? 0 , ? ? ? 上是减函数. 2
② a? ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点.

y ? xn

奇函数 y

偶函数 y

非奇非偶函数 y

n ?1
O

x

O

x

O

x

y

y

y

0 ? n ?1
O

x

O

x

O

x

y

y

y

n?0
O

x

O

x

O

x

例1、

右图为幂函数 y ? x? 在第一象限的图像,则 a, b, c, d 的大小关系是 (



y

y ? xa y ? xb y ? xc

( A) a ? b ? c ? d (C ) a ? b ? d ? c

(B) b ? a ? d ? c ( D) a ? d ? c ? b
c d b a

1 ?1? ?1? ?1? ?1? 解:取 x ? ,由图像可知: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? a ? b ? d ? c ,应 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
选 (C ) .

O

x

三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函

16

数的定义域是(0,+∞) . 幂函数的定义:一般地,形如 y ? x? ( x ?R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, ? 是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域: (0,+∞) ;值域:R; 过点(1,0) ,即当 x =1, y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1) x >0 时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上, y ? x 、 y ? x 、 y ? x 、 y ? x 是增函数,
2 3
1 2

在(0,+∞)上, y ? x ?1 是减函数。
2 ?5 m ?3 例 1.已知函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x ,当 m 为何值时, f ? x ? :

?

?

(1)是幂函数; (2)是幂函数,且是 ? 0, ??? 上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数; (5)是二次函数; 简解: (1) m ? 2 或 m ? ?1 (2) m ? ?1 (3) m ? ? 变式训练:已知函数 f ? x ? ? m ? m x
2

4 2 (4) m ? ? (5) m ? ?1 5 5

?

?

m 2 ? 2 m ?3

,当 m 为何值时, f ? x ? 在第一象限内它的图像是上升曲线。

2 ? ?m ? m ? 0 简解: ? 2 解得: m ? ? ??, ?1? ? ? m ? 2m ? 3 ? 0

?3, ???

小结与拓展:要牢记幂函数的定义,列出等式或不等式求解。 例 2.比较大小:
1 1

(1) 1.5 2 ,1.7 2
1

(2) (?1.2) ,(?1.25) (3) 5.25 ,5.26 ,5.26 (4) 0.53 ,30.5 ,log3 0.5
3 3
1 1

?1

?1

?2

解: (1)∵ y ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数, 1.5 ? 1.7 ,∴ 1.5 2 ? 1.7 2 (2)∵ y ? x 在 R 上是增函数, ?1.2 ? ?1.25 ,∴ (?1.2) ? (?1.25)
3 3 3

(3)∵ y ? x 在 (0, ??) 上是减函数, 5.25 ? 5.26 ,∴ 5.25 ∵ y ? 5.26 是增函数, ?1 ? ?2 ,∴ 5.26
x
?1

?1

?1

? 5.26?1 ;

? 5.26?2 ;

综上, 5.25 ? 5.26
3

?1

?1

? 5.26?2
0.5

(4)∵ 0 ? 0.5 ? 1 , 3

? 1 , log3 0.5 ? 0 ,∴ log3 0.5 ? 0.53 ? 30.5
2

例1

求下列函数的单调区间: y=log4(x -4x+3) 2 解法一:设 y=log4u,u=x -4x+3.由 u>0, 2 u=x -4x+3, 解得原复合函数的定义域为 x<1 或 x>3. 2 当 x∈(-∞,1)时,u=x -4x+3 为减函数,而 y=log4u 为增函数,所以(-∞,1)是复合函数的单调减区间;当 x
17

∈(3,±∞)时,u=x -4x+3 为增函数 y=log4u 为增函数,所以,(3,+∞)是复合函数的单调增区间. 2 解法二:u=x -4x+3=(x-2)2-1, x>3 或 x<1,(复合函数定义域) x<2 (u 减) 解得 x<1.所以 x∈(-∞,1)时,函数 u 单调递减. 2 由于 y=log4u 在定义域内是增函数,所以由引理知:u=(x-2) -1 的单调性与复合函数的单调性一致,所以(-∞, 1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. 2 2 u=x -4x+3=(x-2) -1, x>3 或 x<1,(复合函数定义域) x>2 (u 增) 解得 x>3.所以(3,+∞)是复合函数的单调增区间. 2 例2 求下列复合函数的单调区间: y=log 1 (2x-x )
3

2

解:

设 y=log 1 u,u=2x-x .由
3

2

u>0 2 u=2x-x 解得原复合函数的定义域为 0<x<2. 2 由于 y=log 1 u 在定义域(0,+∞)内是减函数,所以,原复合函数的单调性与二次函数 u=2x-x 的单调性正好相反.
3

易知 u=2x-x =-(x-1) +1 在 x≤1 时单调增.由 0<x<2 (复合函数定义域) x≤1,(u 增) 解得 0<x≤1,所以(0,1]是原复合函数的单调减区间. 2 又 u=-(x-1) +1 在 x≥1 时单调减,由 x<2, (复合函数定义域) x≥1, (u 减) 解得 1≤x<2,所以?1,2)是原复合函数的单调增区间. 例 3、求 y= 7 ? 6x ? x 的单调区间.
2
2 设 y= u ,u=7-6x-x ,由 u≥0, 2 u=7-6x-x 解得原复合函数的定义域为-7≤x≤1.

2

2

解:

因为 y= u 在定义域[0+∞]内是增函数,所以由引理知,原复合函数的单调性与二次函数 u=-x2-6x+7 的单调 性相同. 2 2 易知 u=-x -6x+7=-(x+3) +16 在 x≤-3 时单调增加。由 -7≤x≤1,(复合函数定义域) x≤-3,(u 增) 解得-7≤x≤-3.所以?-7,3?是复合函数的单调增区间. 2 2 易知 u=-x -6x+7=-(x+3) +16 在 x≥-3 时单调减,由 -7≤x≤1 (复合函数定义域) x≥-3, (u 减) 解得-3≤x≤1,所以[-3,1]是复合函数的单调减区间.

1 2 ( ) x ? 2 x ?1 例4 求 y= 2 的单调区间. 1 ( )u 2 解 : 设 y= 2 .由 u∈R, u=x -2x-1,解得原复合函数的定义域为 x∈R. 1 ( )u 2 因为 y= 2 在定义域 R 内为减函数,所以由引理知,二次函数 u=x -2x-1 的单调性与复合函数的单调性相反.
易知,u=x -2x-1=(x-1) -2 在 x≤1 时单调减,由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1, (u 减) 解得 x≤1.所以(-∞,1]是复合函数的单调增区间.同理[1,+∞)是复合函数的单调减区间. 注意:单调区间必须是定义域的子集,当我们求单调区间时,必须先求出原复合函数的定义域.另外,咱们刚刚学习复
18
2 2

合函数的单调性,做这类题目时,一定要按要求做,不要跳步. 练习 求下列复合函数的单调区间. 2 1.y=log3(x -2x);(答:(-∞,0)是单调减区间,(2,+∞)是单调增区间.)

1 2 2.y=log 2 (x -3x+2);(答:(-∞,1)是单调增区间,(2,+∞)是单调减区间.) 5 5 2 3.y= ? x ? 5x ? 6 ,(答: [2, 2 是单调增区间, ] [ 2 ,3]是单调减区间.)
4.y= 0.7 ;(答:(-∞,0),(0,+∞)均为单调增区间.注意,单调区间之间不可以取并集.) 5.y= 2
3? x 2
1 x

;(答(-∞,0)为单调增区间,(0,+∞)为单调减区间)

1 ( ) x ?3 6.y= 3 ,(答(-∞,+∞)为单调减区间.)
7.y= 3 8.y=
4
log
2x

;(答:(0,+∞)为单调减区间.)

log

1

?
2

(4 x ? x 2 )
;(答:(0,2)为单调减区间,(2,4)为单调增区间.)

9.y= x ? 6x ;(答:(0,3)为单调减区间,(3,6)为单调增区间.) 10.y= 7
2 x? x2

;(答(-∞,1)为单调增区间,(1,+∞)为单调减区间.)

19


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