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1.1正弦定理(优质课比赛)


《正弦定理》第一课时
尊敬的各位专家、评委、老师们: 大家好! 我是第 号参赛选手,我今天说课的课题是:正弦定理 (选自人教 A 版新课程标准实验教材必修 5 第一章第一节第一课时) 这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识,再以 “教什么,怎么教,为什么这样教”的思路,来说明我的教学过程与设计,最后是教学评价。 首先是教学背景分析我分三小点来说明:

一、教学背景分析
1、教材分析 随着解三角形在实际测量和物理中的广泛应用, 正弦定理作为解三角形最有力的工具之 一,有着很高的学习价值,从知识上讲它又是函数知识与平面三角形知识的的交汇,是任意 三角形边角关系准确量化的表示,通过本节课对定理的探索,无论在知识上,还是思想方法 上对后续的学习都有重要的意义,因此我认为,本节课的重点是定理的发现与证明,及定理 的简单运用。 2、学情分析 正弦定理是在学生已经学习三角形知识,解直角三角形、向量知识,三角函数等知识后 对任意三角形边角关系的探索,学生有了一定的知识基础,但学生对知识的构建、论证能力 还不强,探究过程中在思维上难免会受限,另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有 待加强。 因此我认为本节课的难点是定理的发现、 证明及已知两边和一边对角时的解三角形。 根据上述教材、学情的分析,我制定如下教学目标: 3、教学目标 (1)知识与技能 引导学生发现正弦定理的内容,探索证明正弦定理的方法; 简单运用正弦定理解三角形。 (2)过程与方法 通过对定理的探究,培养学生发现数学规律的思维方法与能力; 通过对定理的证明和运用,培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结 合的思想方法. (3)情感态度价值观 通过对三角形边角关系的探究学习,经历数学探究活动的过程,体会由特殊到一 般再由一般到特殊的认识事物的规律,培养探索精神和创新意识,体会数学的应用价值。 为了使学生能够达到本节课设定的教学目标,我再从教法和学法上进行分析。 (首先 是教法分析)

二、教法学法分析
1、教法分析 根据教材的内容和编排的特点, 本讲我将以 “教师为主导,以学生为主体” ,'采用“师 生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式” , 用层层深入的话题将学生引入对定理的 发现证明运用过程中,使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上,有效的组织教学。

突破重点的手段:抓住学生情感的兴奋点,激发他们的探究兴趣;另外,抓知识选 择的切入点,从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,教师给以适当的提示和指导。 突破难点的方法:抓住学生的能力线,联系方法与技能使学生通过合作学习较易证明 正弦定理,另外通过例题和练习来突破难点。 2、学法分析 指导学生掌握“观察——猜想——实验——证明——运用”这一思维方法,采取个人 思考、集体合作等解难释疑的尝试活动,将自己所学知识应用于对任意三角形边角关系的探 究中。让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创 新,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。 我的整个教学是由八个话题组成的话题链来驱动的,共分六个环节,分别是: 创设情境,兴趣导入 积极诱导,生成猜想 师生互动 论证猜想 定理解读,突出重点 强化理解,简单应用 课堂小结,深化认识 下面我来的说明我的教学过程

三.教学过程与设计
(一)创设情境,兴趣导入 话题一. 我们坐着羊皮筏子,看着潺潺流水,你知道家乡的河有多宽?羊皮筏从河 这岸 A 点漂到对岸的 B 点有多远吗?你会测量吗? 【设计意图】 “一个好的开头,就是成功的一半! ” ,如果一节课导入设计的精彩,那 就意味着整节课也不会差。把我们的学习任务用探讨漂距作为导入,这种来自学生身边的测 量本身就是学生最感兴趣的。而“兴趣又是最好的老师” 话题二 老师用一个尺子和测角仪就能解决,你信吗? 【设计意图】 老师极速的把问题简单化, 又一次激发了学生的求知欲, 及理性的思考, 并通过引导就构造出来三角形的模型,并且发现有些问题在直角三角形中直接解决不了的, 进而顺利的进入本章探索的主题——任意三角形边角关系。 且让学生感觉到数学来源于生活, 同时无意中也培养了学生的建模意识。激发了探究的兴趣。 :此时顺势告诉学生本章章题: 《解三角形》——已知三角形的某些边和角,求其他的边 和角的过程。 话题三 解三角形,需要用到许多三角形的知识,你对任意三角形的边和角的知识 知道多少?能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系? 学情预设:“大角对大边,大边对大角”即 a>b>c ←→ A>B>C,老师强调这属于 定性的研究 【设计意图】 从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了 新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构。 (二)积极诱导,生成猜想 话题四 从定量的角度考察三角形中边和对角的关系,猜想可能存在哪些关系?

学情预设:此处,学生可能出现以下答案情形。如: a b c a b c = = , = = , A B C sinA sinB sinC
a b c = = , cosA cosB cosC a b c = = tanA tanB tanC

· · · · · ·等等。 【设计意图】猜想也是一种数学能力,培养学生的发散思维。 话题五 我们已经学习了锐角三角函数,不妨在直角三角形中看看?
0

教师点提,学生通过联系旧知很快写出 在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, ?C ? 90 , 根据锐角的正弦函数的定义,有
a b c ? sin A ? sin B sinC ? 1 ? c c, ,c ,

a

则 sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?c

,从而在直角三角形 ABC

a
中, sin A

?

b
sin B

?

c
sinC 。

话题六 这一关系式在任意三角形中是否成立呢? 【设计意图】 启发学生猜想。奥苏伯尔认为,意义学习就是将符号所代表的新知识与 学习者认知结构中已有的适当观念建立起非人为的和实质的联系。在此环节上,我突破难点 的方法是利用已学知识引导学生从熟悉的求直角三角形各角的正弦入手,鼓励、引导学生积 极主动地思考,创造意义学习的条件。这个特例作为切入点,从特殊到一般的思维方式。也 符合学生合的认知规律 可培养学生合情猜想 。 话题七 算算看,下列三角形的边和对角的正弦比相等吗?
A A A

60?
c b c

45?
b

30?

60?
B a

60?
C

B

45?
a

90?

C

60?
B

90?
C

这儿我给了几个特殊的三角形,先让学生动手计算结果,然后教师用“几何画板”演示 【设计意图】 简单的验证能引发全员的参与,并且通过验证猜想增强了信心,不断地 使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性,另外,媒体的演示,直观的视觉思维增添了学 习兴趣,增强了论证的信心 (三)师生互动,论证猜想 话题八 你会证明吗? 证明是本节课又一个重点,教师可根据学生的实际情况,做适当的提示,如: 直角三角形 已证 锐角三角形 成立? 钝角三角形 成立? 如何证明?

(1)可不可以采取转化的方法? 给学生足够的时间,就锐角、钝角三角形先后,自主探究,合作交流,有进展的同学 在投影仪上展示成果,并说明关键,给不会的同学给以启示,将课堂气氛推向高潮 。 然后,指导学生写出在锐角三角形中严格的推理证明过程(在钝角三角形中的证明过程学生 自主完成,交流订正) ,养成严谨治学的数学品质。 (2)你还想到别的证明方法了吗? 教师提示: “前面我们学习了平面向量,能否运用向量的方法证明呢?” (当然有的小组 还可能得到其他证明方法,我认为在本堂上不做更深的探究,可根据学生发言的情况做适当 提示留做课后探究) (四)定理解读,突出重点 通过上面的证明,告诉学生这就是正弦定理 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即

a b c = = , sinA sinB sinC
让学生口述定理内容,教师提示,学生总结 1.对称美 2.三个等式

a b ? sin A sin B

b c ? sin B sin C

a c ? sin A sin C

3.两边对角知三求一 【设计意图】 享受成果,对正弦定理有一个属于自己的直观的认识 (五)强化理解、简单应用 1、小试牛刀 (1) 、.你会解决羊皮筏的飘距问题吗?(回应导入,尝试应用,了解解法即可) (2) 、(教材例题 1)⊿ABC 中,已知 A=30?,B=75?,a=40cm,解三角形(比较简单, 由学生自己完成,属于两角一边,一解问题) (3) 、 (教材例题 2)在⊿ABC 中 a=20cm,b=28cm,A=30?,解三角形。 (也由学生 完成,属两边和其中一边对角,多解问题,是本节课的又一个难点,老师适时提醒即可) 2.强化练习 让全体同学限时完成教材 4 页练习第一题,找两位同学上黑板。 【设计意图】 有效的数学学习过程,不能单纯的模仿与记忆,数学思想的领悟和学习过 程更是如此。让学生在解题过程中亲身经历和实践体验。 ( 六) 、课堂小结,深化认识 1、课堂小结 : 请同学们谈谈学习本课的收获和感受 学情预设: 生 1:原来我只会解直角三角形,现在我会解一般三角形了。 师:通过本课学习,你发现自己更强大了。 生 2:原来我以为正弦定理的证明,只有书上一种方法,今天我们还可用别的方 法证明。

师:我们学习过两个重要数学工具,即三角函数与平面向量,正弦定理的证明 充分展示了它们的妙用。 生 3:公式很美。 师:美在哪里? 生 3:体现了公式的对称美,和谐美······ 教师总结:在同学们的热烈讨论的基础上,用课件展示小结: 1、在正弦定理的发现及其证明中,蕴涵了丰富的思想方法,既有由特殊到一般 的归纳思想,又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探 求了数学工具的多样性。 2 、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律 ,据此,可以用角的正弦替代 对边,具有美学价值 3、利用正弦定理解决三类三角形问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角。 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而求出其他的边和角。 (3)实现边与角的正弦的互化。 【设计意图】 通常,课堂小结均由老师和盘托出,学生接受现成的结论。本设计充 分发挥学生思维参与的主动性和创造性,师生合作,让课堂小结成为点睛之笔。 2、布置作业 (1)、必做题:课本 P10 习题 1.1 1、2 (2 )选作题:用向量法证明定理。 (3)、研究类作业
a b c ? ? ?k 在△ABC 中, sin A sin B sin C ,研究 k 的几何意义

【设计意图】 作业分为必做题、选做题和研究类作业,必做题对本节课学生知识水平的 反馈,选做题是对本节课内容的补充,不同学生不同梯度的题,既尊重学生的个性差异,又 有利于因材施教的教学原则的贯彻,课后研究作业,给学生探索空间指一方向,利于学生的 发展。 3.板书设计 1.1.1 正弦定理 引入 正弦定理 的推导

正弦定理 例1 例2

例3 练习 小结、作业

【设计意图】 这样板书可以提纲挈领,突出重点,增强教学过程节奏感,有助于集 中学生注意力,便于学生记忆、理解相关内容,也便于学生记录和课后复习。

四、教学评价
1、在这节课的教学中,我立足于“数学教学是数学活动的教学”这一基本理念,对教材 进行了处理,设计了八个层层递进话题让学生亲身感受定理发现、证明过程和应用,采用实

验验证、自主探究、合作交流的学习方式。 2、在设计正弦定理的发现及其证明两个环节中,蕴涵了丰富的数学思想方法,既有由特 殊到一般的归纳思想,类比联想又有严格的演绎推理,定理的证明实质是:用垂直做媒介, 将一般三角形化为直角三角形处理,既有化归思想,又有逻辑推理,符合学生的认知规律。 几何画板的运用让学生形成体验性认知,有效地将现代教育技术手段与数学学科整合起来。 3、 教学设计中注意了课程与实际生活的联系, 注重了知识的发生过程, 从实际问题出发, 引入数学课题,最后把所学知识应用于实际问题,让学生经历提出问题、探索问题、解决问 题和应用问题的过程。 以上是我对这节课的教学预设,具体的教学过程还要根据学生在课堂中的具体情况适当 调整。最后我以赫尔巴特的一句名言结束我的说课,发挥我们的创造性,力争“使教育过程成 为一种艺术的事业”,使我们不聪明的孩子变得聪明,使聪明的孩子变得更聪明。

《正弦定理》第一课时 ----说课稿

2012、5、9


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