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专题四 第3讲空间向量与立体几何


第3讲 自主学习导引 空间向量与立体几何 真题感悟 1. (2012· 陕西)如图所示, 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1, CA=CC1=2CB, 则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 5 A. 5 2 5 C. 5 解析 利用向量法求解. 不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2. 可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1), → =(0,2,-1),AB → =(-2,2,1), ∴BC 1 1 →· → 4-1 BC 1 5 1 AB1 → → ∴cos〈BC1,AB1〉= = = = 5 >0. → ||AB →| 5× 9 5 |BC 1 1 → 与AB → 的夹角即为直线 BC 与直线 AB 的夹角, ∴BC 1 1 1 1 5 ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 5 . 答案 A 5 B. 3 3 D.5 2.(2012·辽宁)如图,直三棱柱 ABC ? A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,点 M,N 分别 为 A′B 和 B′C′的中点. (1)证明:MN∥平面 A′ACC′; (2)若二面角 A′MNC 为直二面角,求 λ 的值. 解析 (1)证明 证法一 连接 AB′,AC′,由已知∠BAC=90° ,AB=AC,三棱柱 ABCA′B′C′ 为直三棱柱,所以 M 为 AB′的中点.又因为 N 为 B′C′的中点,所以 MN∥AC′.又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′,因此 MN∥平面 A′ACC′. 证法二 取 A′B′的中点 P,连接 MP,NP.而 M,N 分别为 AB′与 B′C′的中点,所以 MP∥AA′, PN∥A′C′,所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′.又 MP∩NP=P,因此平面 MPN∥平面 A′ACC′.而 MN?平面 MPN,所以 MN∥平面 A′ACC′. (2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA′为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O- xyz,如图所示. 设 AA′=1,则 AB=AC=λ,于是 A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1),所 λ 1 λ λ ,0, ?,N? , ,1?. 以 M? 2? ?2 ?2 2 ? 设 m=(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量, λ 1 → ? ? ?2x1-2z1=0, A ′M=0, ?m· 由? 得? → =0 λ 1 ? m · MN ? ? ?2y1+2z1=0, 可取 m=(1,-1,λ). 设 n=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量, λ λ - x + → ? 2 ? ? 2 2y2-z2=0, NC=0, ?n· 由? 得? → =0 λ 1 ? MN ? n· ? ?2y2+2z2=0, 可取 n=(-3,-1,λ). 因为 A′?MNC 为直二面角,所以 m· n=0. 2 即-3+(-1)× (-1)+λ =0,解得 λ= 2(负值舍去). 考题分析 应用空间向量解决立体几何问题是高考的必考考点,空间向量的工具性主要体现在平行与垂 直的判定,求空间的角的大小.解题时要特别注意避免计算失误. 网络构建 高频考点突破 考点一:利用向量证明平行与垂直 【例 1】如图所示,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,E、F 分别是 PC、

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