3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

专题四 第3讲空间向量与立体几何

第3讲 自主学习导引 空间向量与立体几何 真题感悟 1. (2012· 陕西)如图所示, 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1, CA=CC1=2CB, 则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 5 A. 5 2 5 C. 5 解析 利用向量法求解. 不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2. 可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1), → =(0,2,-1),AB → =(-2,2,1), ∴BC 1 1 →· → 4-1 BC 1 5 1 AB1 → → ∴cos〈BC1,AB1〉= = = = 5 >0. → ||AB →| 5× 9 5 |BC 1 1 → 与AB → 的夹角即为直线 BC 与直线 AB 的夹角, ∴BC 1 1 1 1 5 ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 5 . 答案 A 5 B. 3 3 D.5 2.(2012·辽宁)如图,直三棱柱 ABC ? A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,点 M,N 分别 为 A′B 和 B′C′的中点. (1)证明:MN∥平面 A′ACC′; (2)若二面角 A′MNC 为直二面角,求 λ 的值. 解析 (1)证明 证法一 连接 AB′,AC′,由已知∠BAC=90° ,AB=AC,三棱柱 ABCA′B′C′ 为直三棱柱,所以 M 为 AB′的中点.又因为 N 为 B′C′的中点,所以 MN∥AC′.又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′,因此 MN∥平面 A′ACC′. 证法二 取 A′B′的中点 P,连接 MP,NP.而 M,N 分别为 AB′与 B′C′的中点,所以 MP∥AA′, PN∥A′C′,所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′.又 MP∩NP=P,因此平面 MPN∥平面 A′ACC′.而 MN?平面 MPN,所以 MN∥平面 A′ACC′. (2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA′为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O- xyz,如图所示. 设 AA′=1,则 AB=AC=λ,于是 A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1),所 λ 1 λ λ ,0, ?,N? , ,1?. 以 M? 2? ?2 ?2 2 ? 设 m=(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量, λ 1 → ? ? ?2x1-2z1=0, A ′M=0, ?m· 由? 得? → =0 λ 1 ? m · MN ? ? ?2y1+2z1=0, 可取 m=(1,-1,λ). 设 n=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量, λ λ - x + → ? 2 ? ? 2 2y2-z2=0, NC=0, ?n· 由? 得? → =0 λ 1 ? MN ? n· ? ?2y2+2z2=0, 可取 n=(-3,-1,λ). 因为 A′?MNC 为直二面角,所以 m· n=0. 2 即-3+(-1)× (-1)+λ =0,解得 λ= 2(负值舍去). 考题分析 应用空间向量解决立体几何问题是高考的必考考点,空间向量的工具性主要体现在平行与垂 直的判定,求空间的角的大小.解题时要特别注意避免计算失误. 网络构建 高频考点突破 考点一:利用向量证明平行与垂直 【例 1】如图所示,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,E、F 分别是 PC、 PD 的中点,PA=AB=1,BC=2. 求证:(1)EF∥平面 PAB; (2)平面 PAD⊥平面 PDC. [审题导引] 建立空间直角坐标系后,使用向量的共线定理证明∥即可证明第(1)问,第(2)问 根据向量的垂直关系证明线线垂直,进而证明线面垂直,得出面面垂直. [规范解答] 以 A 为原点,AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐 1? ?1 标系如图所示,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以 E 为?2,1,2?,F ? ? 1? ? 为?0,1,2? ? ? 1 ? → → =? → =(0,2,-1),AP → =(0,0,1),AD → =(0,2,0),DC →= ?-2,0,0?,PB EF =(1,0,-1),PD ? ? → =(1,0,0). (1,0,0),AB → =-1AB → → → (1)因为EF 2 ,所以EF∥AB, 即 EF∥AB. 又 AB?平面 PAB,EF?平面 PAB, 所以 EF∥平面 PAB. →· → =(0,0,1)· (2)因为AP DC (1,0,0)=0, →· → =(0,2,0)· AD DC (1,0,0)=0, → ⊥DC → ,AD → ⊥DC → ,即 AP⊥DC,AD⊥DC. 所以AP 又 AP∩AD=A,AP?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 DC⊥平面 PAD. 因为 DC?平面 PDC,所以平面 PAD⊥平面 PDC. 【规律总结】 用空间向量证明位置关系的方法 (1)线线平行:欲证直线与直线平行,只要证明它们的方向向量平行即可; (2)线面平行:用线面平行的判定定理,证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平 行;用共面向量定理,证明平面外直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量共面;证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直; (3)面面平行:平面与平面的平行,除了用线面平行的判定定理转化为线面平行外,只要证明 两平面的法向量平行即可; (4)线线垂直:直线与直线的垂直,只要证明两直线的方向向量垂直; (5)线面垂直:用线面垂直的定义,证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量 垂直;用线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂 直

推荐相关:

2013年高考数学能力加强集训:专题四第3讲 空间向量...

2013年高考数学能力加强集训:专题四第3讲 空间向量与立体几何_数学_高中教育_教育专区。2013 年高考数学能力加强集训: 专题四 第3讲 空间向量与立体几何 一、选择...


2013高考数学能力加强集训:专题四第3讲 空间向量与...

2013高考数学能力加强集训:专题四第3讲 空间向量与立体几何 - 专题四 第3讲 空间向量与立体几何 一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.已知 A(1,0,0)...


...专题突破课件第一部分专题四第三讲:空间向量与...

2012高考数学理专题突破课件第一部分专题四第三讲:空间向量与立体几何 - 向量法解决探索性问题 例 4 【解】 1 当点 E 为 BC 的中点时, EF 与平面 PAC ...


...专题四 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的...

2019高考数学二轮复习 专题四 立体几何空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法学案 理_高考_高中教育_教育专区。2019 第3讲 [考情考向分析] 立体几何中的向量...


...专题四 第三讲 空间向量与立体几何(理科独具)

2012届高三数学第二轮 专题四 第三讲 空间向量与立体几何(理科独具) 2012届高三...3,0),E(0,0,3),B( 3,3,0),F(0,4,1),,, uuur ,-3,3),∴ ME...


高中数学同步导学2017新课标空间向量与立体几何:专...

高中数学同步导学2017新课标空间向量与立体几何:专题四 空间坐标系及空间向量的坐标运算 含解析 精品 - 【基础知识】 1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角...


专题四第二课时 空间向量与立体几何

专题四第二课时 空间向量与立体几何 - 专题四第二课时 空间向量与立体几何 一.知识目标 1. 能用向量方法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直...


...专题四 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体学...

2019高考数学二轮复习 专题四 立体几何空间向量 第1讲 空间几何体学案 理 - 第 1 讲 空间几何体 [考情考向分析] 1.以三视图为载体, 考查空间几何体面积...


第3讲 空间向量与立体几何

第3讲 空间向量与立体几何 - 专题五 第三讲 一、选择题 1.以下命题中,不正确的命题个数为 立体几何 空间向量与立体几何 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:...


高中数学空间向量与立体几何的_图文

高中数学空间向量与立体几何的 - 实用标准文案 专题四:立体几何 第三讲 【最新考纲透析】 1.空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com