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肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014学年第一学期高三数学(文科)


肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题 高三数学(文科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写 在答题卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 用 如 需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各 题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3 1 台体的体积公式 V ? S1 ? S1S2 ? S2 h ,其中 S1 , S 2 分别是台体的上、下底面 3 积, h 表示台体的高.

?

?

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {?2, ?1,1, 2,} ,集合 N={x|x 是大于 ?2 且小于 5 的整数},则 M ? N ? A. {?1,1, 2} 2.函数 f ( x) ? A. [1, ??) B. {?1,0,1, 2} C. {?2, ?1,1, 2} D. {?2, ?1, 0,1, 2}

x?2 的定义域是 lg( x ? 1)
B. (1, ??) C. [1, 2) ? (2, ??) D. (1, 2) ? (2, ??)

3.若 iz ? 3 ? 4i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数 z ? A. ?4 ? 3i B. ?4 ? 3i C. ? ? ?i D. ? ? ?i

4.已知平面向量 a ? (1,?2) , b ? (4, m) ,且 a ? b ,则向量 5a ? 3b ? A. (?7, ?34) B. (?7, ?16) C. (?7, ?4) D. (?7,14)

?y ? x ? 3 ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件 ?? 1 ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 ?y ? 1 ?
A. 4 B. 5 C. 14 D. 15

高三数学(文科)试题

第 1 页 共 10 页

6.执行如图 1 所示的程序框图.若 n=4,则输出 s 的值是 A. ?23 C. 9 B. ?5 D. 11

7.在?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边长. 已知 a=6,b=4,C=120° ,则 sinB=

A.

21 7 3 38
2 2 2

B.

57 19 57 19

C.

D. ?
2

8.已知圆 x ? y ? 4 和圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是 A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

9.某圆台的三视图如图 2 所示(单位:cm), 则该圆台的体积是 A. 21? cm
3 3 B. 9 10 cm

C..

7 10 cm3 3

D. 7?

cm3

10.已知集合 M ? {( x, y ) | y ? f ( x)},若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“好集合”. 给出下列 4 个集合:
① M ? {( x, y ) | y ? x } ③ M ? {( x, y) | y ? sin x} 其中所有“好集合”的序号是( A.①②④ B.②③ ) C.③④ D.①③④
?1

② M ? {( x, y ) | y ? x }
2

④ M ? {( x, y) | y ? ln x}

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S 8 ? 4a3 , a 7 ? ?2 ,则 a9 ?
高三数学(文科)试题 第 2 页 共 10 页

▲ .

12.若曲线 y ? kx 2 ? ln x 在点(1,k)处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 k ?



.

x2 y 2 13.已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 的左焦点 F1 和一个顶点 a b
B. 则该椭圆的离心率 e= ▲ .







14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点 P ( 2, 直线的极坐标方程为 ▲ . 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,过⊙O 外一点 A 分别 作切线 AC 和割线 AD,C 为切点,D,B 为割线与⊙O 的 交点,过点 B 作⊙O 的切线交 AC 于点 E. 若 BE⊥AC, BE=3,AE=4,则 DB= ▲ .

?
3

) ,则过点 P 且平行于极轴的

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? (1)求 f (0) 的值; (2)若 cos? ? ? , ? ? (

?
6

) ( ? ? 0, x ? R )的最小正周期为 2? .

3 5

?
2

, ? ) ,求 f (? ?

?
3

).

17. (本小题满分 12 分) 从一批柚子中,随机抽取100个,获得其重量(单位:克) 数 据 按 照 区 间 [900,950) , [950,1000) , [1000,1050) ,

[1050,1100) 进行分组,得到频率分布直方图(如图4).
(1)根据频率分布直方图计算抽取的100个柚子的重量众数的估计值; (2)用分层抽样的方法从重量在 [950,1000) 和 [1050,1100) 的柚子中共抽取5个,其中 重量在 [1050,1100) 的有几个? (3)在(2)中抽出的5个柚子中,任取2个,求重量在 [1050,1100) 的柚子最多有1个的 概率.
高三数学(文科)试题 第 3 页 共 10 页

18. (本小题满分 14 分) 如图 5,在三棱锥 P—ABC 中,底面 ABC 为等腰直角三角形,?ACB=90° ,棱 PA 垂直底

3 3 面 ABC,PA=AB=4, BD ? BP , CE ? CP ,F 是 AB 的中点. , 4 4
(1)证明:DE//平面 ABC; (2)证明:BC?平面 PAC; (3)求四棱锥 C—AFDP 的体积. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 1( n ? N ).
*

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 S n 为数列 {

2n } 的前 n 项和,求 S n ; an ? 1

(3)证明:

1 1 1 5 ? ??? ? ( n ? N * ). a1 a 2 an 3

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 F1 F2 ? 2 ,点 P a2 b2

在椭圆上,且 ?PF1 F2 的周长为 6. 过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若线段 AB 中点的横坐标为

1 ,求直线 l 的方程; 2
| DP | | AB |
的取

(3) 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D. 设弦 AB 的中点为 P,试求 值范围. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4(a ? R) .
3 2

(1) 若 a ? 2 ,求 f ( x) 在 [?1,1] 上的最小值; (2)若存在 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.
高三数学(文科)试题 第 4 页 共 10 页

肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题 高三数学(文科)参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 D 10 B

二、填空题: 11. ?6 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由

12.

1 2

13.

2 5 5

14. ? sin ? ? 3

15.

24 5

2?

?

? 2? ,得 ? ? 1 .
? ?

(2 分)

∴ f ( x) ? 2sin ? x ? ∴ f (0) ? 2 sin(?

??
? 6?

(3 分)

?
6
3 5

) ? ?2 sin

?
6

? ?2 ?

1 ? ?1 2

(5 分)

(2)∵ cos ? ? ? , ? ? ?

4 ?? ? , ? ? ,∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , 5 ?2 ?

(7 分)

∴ f (? ?

?

?? ? ? ? ) ? 2sin ? ? ? ? ? 2sin ? cos ? 2 cos ? sin 6? 6 6 3 ?
4 3 ? 3? 1 4 3 ?3 ? 2? ? ? 2? ? ?? ? 5 2 5 ? 5? 2

(9 分)

(12 分)

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 1025 (克).(2 分) (2)从图中可知,重量在 [950,1000) 的柚子数

高三数学(文科)试题

第 5 页 共 10 页

n1 ? (1000 ? 950) ? 0.004 ?100 ? 20 (个)
重量在 [1050,1100) 的柚子数

(3 分)

n2 ? (1050 ? 1100) ? 0.006 ?100 ? 30 (个)
从符合条件的柚子中抽取 5 个,其中重量在 ?1050 ,1100 ? 的个数为

(4 分)

n?

n2 30 ?5 ? ? 5 ? 3 (个) n1 ? n2 20 ? 30

(6 分)

(3)由(2)知,重量在 [1050,1100) 的柚子个数为 3 个,设为 a, b, c ,重量在 [950,1000) 的 柚子个数为 2 个,设为 d , e ,则所有基本事件有: (a,b)(a,c)(a,d)(a,e)(b,c) , , , , , (b,d)(b,e)(c,d)(c,e)(d,e)共 10 种 , , , , (9 分)

其中重量在 [1050,1100) 的柚子最多有 1 个的事件有: (a,d)(a,e)(b,d)(b,e)(c, , , , , d)(c,e)(d,e)共 7 种 , , 所以,重量在 [1050,1100) 的柚子最多有 1 个的概率 P ? (11 分)

7 . 10

(12 分)

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:∵ BD ? ∴

3 3 BP , CE ? CP , 4 4
(1 分) (2 分)

PD PE , ? PB PC

∴ DE // BC

又∵ DE ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC, ? ∴ DE // 平面 ABC. (4 分) (5 分) (6 分) (8 分)

(2)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC,∴BC?PA. ∵?ACB=90° ,∴即 BC?AC. 又∵PA?平面 PAC,AC?平面 PAC,且 PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . (3)∵?ABC 为等腰直角三角形,F 是 AB 的中点, ∴ FC ? AB, FC ?

1 AB ? 2 , 2
高三数学(文科)试题 第 6 页 共 10 页

(9 分)

∵PA?平面 ABC,CF?平面 ABC,∴CF?PA. 又 CF?AB,且 PA∩AB=A, ∴CF?平面 PAB,即 CF 为四棱锥 C—AFDP 的高. 过 D 作 DG⊥AB 于 G,则 DG//PA,又 BD ? ∴?DBF 的面积 S ?DBF ? (10 分) (11 分) (12 分)

3 3 BP ,∴ DG ? PA ? 3 . 4 4

1 1 DG ? FB ? ? 3 ? 2 ? 3 . 2 2

∴四边形 AFDP 的面积 S四边形 AFDP ? S ?PAB ? S ?DBF ? 所以四棱锥 C—AFDP 的体积 VC ? AFDP

1 ? 4 ? 4 ? 3 ? 5 , (13 分) 2 1 1 10 ? CF ? S四边形 AFDP ? ? 2 ? 5 ? . (14 分) 3 3 3

19. (本小题 14 分) 解: (1)? a n ?1 ? 2a n ? 1 ,∴ a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) 又 a1 ? 1 ,所以数列 {a n ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 因此 a n ? 1 ? 2 ,即 a n ? 2 ? 1
n n

(2 分) (3 分) (4 分)

(2)∵

2n 2n n ? n ? n ?1 an ? 1 2 2

(5 分)

∴ Sn ? 1 ?

2 3 n ? 2 ? ? ? n?1 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 2 2

(6 分) (7 分)

以上两式相减,得

?1? 1? ? ? n n?2 1 1 1 1 n 2 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? ? ? ? n ? 2 ? n 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
∴ Sn ? 4 ?

n

(8 分)

n?2 2n ?1
1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

(9 分)

(3)设 Tn ?

当 n=1 时, T1 ?

1 5 ? 1 ? 显然成立; a1 3
高三数学(文科)试题 第 7 页 共 10 页

(10 分)

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 , ? n ? n ? ? ? ? n ?1 a n 2 ? 1 2 ? 2 2(2 ? 1) 2a n ?1 a n a 2 3

(11 分)

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (12 分) ? ??? ? ? ( ? ??? ) ? 1 ? (Tn ? ) , a1 a 2 a n a1 2 a1 a 2 a n ?1 2 an 1 1 5 ? 2? ? . an 3 3
(13 分)

即 Tn ? 2 ?

综上可得

1 1 1 5 ? ??? ? ( n ? N * ). a1 a 2 an 3

(14 分)

20. (本小题满分 14 分)

?a ? 2 ?2c ? 2 ? ? 解: (1)设椭圆 C 的焦距长为 2c,依题意得 ?2a ? 2c ? 6 ,解得 ?b ? 3 . (3 分) ?c ? 1 ? 2 2 2 ?b ? a ? c ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(4 分)

(2)由(1)知椭圆 C 的右焦点(1,0) ,显然直线 l 的斜率存在,设为 k, 则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . (5 分)

x2 y2 ? ? 1 ,整理得, (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 将 y ? k ( x ? 1) 代入 4 3
? ? 144 (k 2 ? 1) ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1,2 ?
8k 2 ? ? , 2(3 ? 4k 2 )
(6 分)

∴ x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 AB 中点的横坐标为

x ? x2 4k 2 1 3 1 ? ? ,解得 k ? ? ,所以 1 . (7 分) 2 2 2 2 2 3 ? 4k
3 ( x ? 1) . 2
(8 分)

所以,直线 l 的方程 y ? ?

高三数学(文科)试题

第 8 页 共 10 页

(3)显然直线 l 的斜率存在,由(2)知 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
(9 分)

所以 AB 的中点为 P(

4k 2 ?3k , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

所以 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ]

??? ?

? (k 2 ? 1)[

64k 4 4(4k 2 ? 12) 12(k 2 ? 1) ? ] ? . (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2 4k 2 ? 3

(10 分)

当 k ? 0 时,直线 PD 的方程为 y ?

3k 1 4k 2 k2 ? ? (x ? 2 ) , 由 y ? 0 ,得 x ? 2 , 4k 2 ? 3 k 4k ? 3 4k ? 3
(11 分)

则 D(

??? 3 k 2 (k 2 ? 1) ? k2 . ,0) , 所以 DP ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

??? ? 3 k 2 ( k 2 ? 1) DP 1 1 k2 4k 2 ? 3 ? 1 ? 1? 2 ? 所以 ??? ? 2 2 12( k ? 1) k ?1 4 k ?1 4 AB 2 4k ? 3
又因为 k ? 1 ? 1 ,所以 0 ?
2

1 1 1 1 1? 2 ? ; ? 1 . 所以 0 ? 4 k ?1 4 k ?1
2

(12 分)

当 k=0 时,显然 | DP |? 0 ,所以

| DP | | AB |

?0;

(13 分)

??? ? DP ? 1? 故 ??? 的取值范围是 ?0, ? . ? ? 4? AB

(14 分)

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 , f ?( x) ? ?3x ? 4 x
3 2 2

(1 分) (2 分)

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ?

4 3

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

高三数学(文科)试题

第 9 页 共 10 页

x
f ?( x)

?1
?7

(?1,0)


0

(0,1)
+ ↗

1

0

1
?3
(5 分)

f ( x)

?1

?4

∴当 x ?[?1,1] 时, f ( x) 最小值为 f (0) ? ?4 (2)∵ f ?( x) ? ?3x( x ? ①当 a ? 0 时, 因为当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. 又 f (0) ? ?4 ,故当 x ? 0 时, f ( x) ? ?4 . 因此当 a ? 0 时,不存在 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? 0 . ②当 a ? 0 时, 因为当 0 ? x ?

(6 分)

2a ) 3

(7 分) (8 分) (9 分)

2a ? 2a ? 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增; 3 ? 3 ?

(10 分)

当x?

2a ? 2a ? , ?? ? 上单调递减. 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在在 ? 3 ? 3 ?
8a 3 4a 3 4a 3 ? 2a ? ?? ? ?4? ?4 ? 27 9 27 ? 3 ?

(11 分)

所以当 x ? (0, ??) 时, f max ( x) ? f ?

(12 分)

4a 3 根据题意, ? 4 ? 0 ,即 a ? 3 . 27
综上,a 的取值范围是 (3, ??) .

(13 分)

(14 分)

高三数学(文科)试题

第 10 页 共 10 页


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