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2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集:第10讲 数列求和及数列的简单应用


专题限时集训(十) [第 10 讲 数列求和及数列的简单应用] (时间:45 分钟)

1.若数列{an}是等差数列,且 a3+a7=4,则数列{an}的前 9 项和 S9 等于( ) A.9 B.18 C.36 D.72 1 1 2.已知数列{bn}是首项为 ,公比为 的等比数列,则数列{nbn}的前 n 项和 Tn=( 2 2 n-1 n 1? ?1? A.2-? B . 2 - 2 ? ? ?2? n+2 n+1 C.2- n D.2- n 2 2
n ?1? ,则数列{cn}的前 n 项和 Rn=( 3.若数列{cn}的通项 cn=(2n-1)· ?3?

)

)

n+1 n A.1- n B.1- n 3 3 n C.1+ n 3 n+1 D.1+ n 3
?
n?

?1? 4.已知等差数列{an},a1=3,d=2,前 n 项和为 Sn,设 Tn 为数列?S ?的前 n 项和,则

Tn=(

)

n 1 1? n ? 1? 1 ? A. ?n+1-2(n+2)? B. ?n+1-2(n+2)? 2? 2 ? ? ? 1 1 n n 1? ? 1? ? C. ?n+1+2(n+2)? D. ?n+1+2(n+2)? 2? 2 ? ? ? 2n 5.数列{cn}的通项为 cn= n ,则其前 n 项和 Sn=________. (2 -1)(2n+1-1) 6.数列{2n· 3n}的前 n 项和 Tn=________. 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,把{Sn}的前 n 项和称为“和谐和”,用 Hn 来表示.对 于 an=3n,其“和谐和”Hn=( ) n+2 n+1 3 -6n-9 3 -6n-9 A. B. 4 4 3n+1+6n-9 C. 4 3n+6n-9 D. 4

n+1 n+1 n+1 1 n-1 ?bn? - ? ,bn= 8.设两数列{an}和{bn},an=? + +?+ ,则数列?a ?的 ? 3? ? n? 1×2 2×3 n(n+1) 前 n 项的和为( ) 1-(4n-1)(-3)n 1+3n(4n+1) A. B. 16 16 1-3n(4n+1) 1-(4n+1)(-3)n C. D. 16 16

? ? 1 ? ? 18 ?的前 n 项和为 ,则 n=________. 9.已知数列{an},an+1=an+2,a1=1,数列? a a 37 + n n 1 ? ? ? ?

10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=5,S9=99, ? ? 4 ? ? 则数列?a2-1?的前 n 项和 Tn=________. n ? ? ? ? 11.已知数列{an}是首项为 1,公差为 20 的等差数列,数列{bn}是首项为 1,公比为 3 的 等比数列,则数列{an·bn}的前 n 项和为________. 12.某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元.年维修保养费用第一年 3 000 元,以后逐年递增 3 000 元,则这辆汽车报废的最佳年限 (即使用多少年的年平均费用最少)是________. 13.等差数列{an}中,a3=3,a1+a4=5. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an·an+1

14.已知数列{an}满足 a1=1,an-an-1+2anan-1=0(n∈N*,n>1).
?1? (1)求证:数列?a ?是等差数列并求数列{an}的通项公式; ? n?

1 (2)设 bn=anan+1,求证:b1+b2+?+bn< . 2

15.已知各项均为正数的等比数列{an}的首项 a1=2,Sn 为其前 n 项和,若 5S1,S3,3S2 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log2an,cn= ,记数列{cn}的前 n 项和 Tn.若对? n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成 bnbn+1 立,求实数 k 的取值范围.

专题限时集训(十) 9(a1+a9) 9(a3+a7) 1.B [解析] S9= = =18. 2 2 1 n 2.C [解析] 因为 bn=( )n,nbn= n, 2 2 n-1 n 1 2 3 4 所以 Tn= + 2+ 3+ 4+?+ n 1 + n,① 2 2 2 2 2- 2

n-1 2 3 4 n 2Tn=1+ + 2+ 3+?+ n 2 + n 1,② 2 2 2 2- 2- 1 1 1 n ②-①得 Tn=1+ + 2+?+ n 1- n, 2 2 - 2 2 1?n 1-? n+2 ?2? n 即 Tn= - n=2- n .故选 C. 1 2 2 1- 2 3.A [解析] Rn=c1+c2+c3+?+cn, 2 3 n 1?1 ?1? +5×?1? +?+(2n-1)×?1? ,① Rn=1×? + 3 × ?3? ?3? ?3? ?3? 2 3 4 n n+1 1 1 1 1 ? +3×? ? +5×? ? +?+(2n-3)×?1? +(2n-1)×?1? ,② Rn=1×? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? 3 ①式减②式得 1?n+1 1 2 1 3 1 4 1 n 2 1 Rn= +2??3? +?3? +?3? +?+?3? ?-(2n-1)×? ?3? , 3 3 ?? ? ? ? ? ? ? ?? 2 n-1 ?1? ? ?1? ? ? 1 - ?3? ? ?3? ? 1?n+1 2 2(n+1) ?1?n ? 2 1 则 Rn= +2× -(2n-1)×? ×?3? , ?3? =3- 3 3 1 3 1- 3 n+1 故 Rn=1- n ,故选 A. 3 n(a1+an) =n(n+2), 2 1 ? 1 1 1?1 ∴ = = ?n- . Sn n(n+2) 2? n+2? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn = ( - + - + - +?+ - + - )= ( + - - )= 2 1 3 2 4 3 5 n 2 1 2 n-1 n+1 n+2 n+1 n+2 2 n n [ + ].故选 D. n+1 2(n+2) 4.D [解析] ∵Sn= 2n 1 1 = n - n 1 , n+1 n n+1 2 -1 (2 -1)(2 -1) 2 -1 2 + -1 1 1 1 1 1 1 则 Sn=c1+c2+c3+?+cn=( - 2 )+( 2 - 3 )+?+( n - n 1 )=1- + 2-1 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 5. [解析] cn= 2n+1-2 1 = . 2n+1-1 2n+1-1 1? 3 n+1 6.? 31+4· 32+6· 33+?+2n· 3n,① ?n-2?·3 +2 [解析] Tn=2· + 3Tn=2· 32+4· 33+6· 34+?+2n· 3n 1,② 2n+1-2

1? 3 + n+1 ①-②得-2Tn=2· 31+2· 32+2· 33+?+2· 3n-2n· 3n 1,则 Tn=? ?n-2?·3 +2. 7.A 3n+2-6n-9 3 n 3 1 2 n [解析] Sn= (3 -1),Hn= (3 +3 +?+3 -1×n)= .故选 A. 2 2 4

1 n+1 n+1 n+1 ? 1 + 1 +?+ ? 8. D [解析] bn= + +?+ =(n+1)· ? ?= 1 × 2 2 × 3 n ( n + 1 ) 1×2 2×3 ? ? n(n+1)

1 ? 1 1 1 ?1 1- ?+? - ?+?+?n- (n+1)[? ?]=n. ? 2? ?2 3? ? n+1? ?bn? - 记数列? a ?的前 n 项的和为 Sn,则 Sn=1+2×(-3)+3×(-3)2+?+n×(-3)n 1, ? n? -3Sn=-3+2×(-3)2+3×(-3)3+?+n×(-3)n, 两式相减,得 4Sn = 1 + ( - 3) + ( - 3) +?+ ( - 3)
2 n-1

1-(-3)n - n×( - 3) = - n×( - 3)n ,故 Sn = 4
n

1-(4n+1)(-3)n . 16 9.18 [解析] 因为 an+1=an+2,所以数列是公差为 2 的等差数列,所以 an=2n-1.又因 1 ? 1 ? 1? 1 ? 1 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1? 1 为 = ?an-a ?, 所以 Sn= ( - + - +?+ - )= ?a1-a ?= ?1-2n+1? 2 a1 a2 a2 a3 an an+1 2? 2? n+1? n+1? ? anan+1 2? 18 = ,解得 n=18. 37 n 10. [解析] 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. n+1 ∵a2=5,S9=99, 9(2a1+8d) ∴a1+d=5, =99, 2 解得 a1=3,d=2, ∴an=2n+1. 4 设 bn= 2 (n∈N+). an-1 ∵an=2n+1,∴a2 n-1=4n(n+1), 4 1 1 1 ∴bn= = = - , n 4n(n+1) n(n+1) n+1 1 ? 1 1 1 ?1 1 n 1- ?+? - ?+?+?n- ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn=? = . ?=1- ? 2? ?2 3? n + 1 ? ? n+1 n+1 (20n-29)· 3n+29 11. [解析] an=1+20(n-1)=20n-19, 2 - bn=3n 1, - 令 Sn=1×1+21×3+41×32+?+(20n-19)· 3n 1,① - 则 3Sn=1×3+21×32+?+(20n-39)· 3n 1+(20n-19)· 3n,② 3(1-3n-1) - ①-②得, -2Sn=1+20×(3+32+?+3n 1)-(20n-19)· 3n=1+20× -(20n 1-3 -19)· 3n=(29-20n)· 3n-29, (20n-29)· 3n+29 所以 Sn= . 2 12 . 10 [ 解 析 ] 设 最 佳 使 用 年 限 为 x 年 , 年 平 均 费 用 为 y 万 元 , 则 y = x(x+1) 15+1.5x+ ×0.3 2 15 = +0.15x+1.65≥4.65,此时 x=10. x x

?a1+2d=3, ? 13.解:(1)设数列{an}的公差为 d,由? ? ?a1+(a1+3d)=5.

?a1=1, ? 解得? ? ?d=1. 所以 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)· 1=n.
1 1 1 = - , n(n+1) n n+1 1 ? 1 1 1 1 1 ?1 1 n 1- ?+? - ?+? - ?+?+?n- 所以 Sn=? = . ?=1- ? 2? ?2 3? ?3 4? n + 1 ? ? n+1 n+1 (2)因为 an=n,所以 an+1=n+1,bn= 1 1 14.证明:(1)已知 an-an-1+2anan-1=0,两边同除以 anan-1 得 - =2. an an-1
?1? 则数列?a ?是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ? n?

1 1 于是 =2n-1,an= (n∈N*). an 2n-1 1 (2)由(1)知 bn= ,则 (2n-1)(2n+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 b1+b2+?+bn= + +?+ = (1- + - +?+ - 3 3 5 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 1 1 1 1 )= (1- )< . 2 2n+1 2n+1 2 15.解:(1)设数列{an}的公比为 q,∵5S1,S3,3S2 成等差数列, ∴2S3=5S1+3S2, 即 2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q), 化简得 2q2-q-6=0, 3 解得 q=2 或 q=- . 2 3 因为数列{an}的各项均为正数,所以 q=- 不合题意, 2 所以数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由 bn=log2an 得 bn=log22n=n, 1 1 1 1 则 cn= = = - , n bnbn-1 n(n+1) n+1 1 1 1 1 1 1 n Tn=1- + - +?+ - =1- = . 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 n ∵ ≤k(n+4), n+1 n n 1 ∴k≥ = 2 = . (n+1)(n+4) n +5n+4 n+4+5 n 4 4 4 ∵n+ +5≥2 n·+5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立, n n n 1 1 1 ∴ ≤ ,因此 k≥ , 4 9 9 n+ +5 n 1 ? 故实数 k 的取值范围为? ?9,+∞?.



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