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2016新课标三维人教A版数学必修2 1.2 空间几何体的三视图和直观图


空间几何体的三视图和直观图
1.2.1&1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图

预习课本 P11~14,思考并完成以下问题 1.平行投影、正投影的定义是什么?

2.正视图、侧视图、俯视图的定义分别是什么?

3.怎样画空间几何体的三视图?

4.如何识别三视图所表示的立体模型?

[新知初探]
1.投影的定义 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做 投影.其中,把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面. 2.中心投影与平行投影 投影 中心投影 定义 光由一点向外散射形成 的投影 在一束平行光线照射下 形成的投影 特征 投影线交于一点 分类

平行投影

投影线互相平行

正投影和斜投影

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[点睛]

平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和

大小完全相同;而中心投影则不同. 3.三视图 三视图 正视图 概念 光线从几何体的前面向后面正投影得 到的投影图 光线从几何体的左面向右面正投影得 到的投影图 光线从几何体的上面向下面正投影得 到的投影图 一个几何体的正视图和侧视图高度一 样,正视图和俯视图长度一样,侧视图 与俯视图宽度一样 规律

侧视图

俯视图

[点睛]

三视图中的每种视图都是正投影.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线的平行投影是直线( ) ) )

(2)圆柱的正视图与侧视图一定相同(

(3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同( 答案:(1)× (2)× (3)√

2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( A.棱柱 C.圆柱 B.棱台 D.圆台

)

解析:选 D 先观察俯视图,再结合正视图和侧视图还原空间几何体.由俯视图是圆 环可排除 A、B,由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除 C,故选 D. 3.沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示,它的俯视图是( )

解析:选 D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形,注意看得到的棱画实线.

中心投影与平行投影

[典例]

下列命题中正确的是(

)

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A.矩形的平行投影一定是矩形 B.平行投影与中心投影的投影线均互相平行 C.两条相交直线的投影可能平行 D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段,那么这条线段中点的投影必是这条线段投 影的中点 [解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同, 因而平行投影的形状不固定, 故 A 不正

确.平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点,故 B 不正确.无论是平 行投影还是中心投影,两条直线的交点都在两条直线的投影上,因而两条相交直线的投影 不可能平行,故 C 不正确.两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比,故 D 正确. [答案] D

画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等, 方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影.

[活学活用]
如图所示, 点 O 为正方体 ABCDA′B′C′D′的中心, 点 E 为面 B′BCC′的中心, 点 F 为 B′C′的中点,则空间四边形 D′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是 ________(填出所有可能的序号).

解析:在下底面 ABCD 上的投影为③,在右侧面 B′BCC′上的投影为②,在后侧面 D′DCC′上的投影为①. 答案:①②③ 由几何体画三视图

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[典例] [解]

画出如图所示的正四棱锥的三视图.

正四棱锥的三视图如图所示.

三视图的画法规则 (1)排列规则:一般地,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边. (2)画法规则: ①正视图与俯视图的长度一致,即“长对正”; ②侧视图和正视图的高度一致,即“高平齐”; ③俯视图与侧视图的宽度一致,即“宽相等”. (3)线条的规则: ①能看见的轮廓线用实线表示; ②不能看见的轮廓线用虚线表示.

[活学活用]
1.已知三棱柱 ABCA1B1C1,如图所示,则其三视图为( )

解析:选 A 其正视图为矩形,侧视图为三角形,俯视图中棱 CC1 可见,为实线,只 有 A 符合. 2.画出如图所示的物体的三视图.

解:三视图如图所示. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

由三视图还原几何体 [典例] 根据如图所示的三视图,画出几何体.

[解]

由正视图、侧视图可知,该几何体为简单几何体的组合体,结合俯视图为大正方形里 有一个小正方形,可知该组合体上面为一个正方体,下面为一个下底面是正方形的倒置的 四棱台.如图所示.

由三视图还原几何体,要遵循以下三步:(1)看视图,明关系;(2)分部分,想整体;(3) 综合起来,定整体.只要熟悉简单几何体的三视图的形状,由简单几何体的三视图还原几 何体并不困难.对于组合体,需要依据三视图将它分几部分考虑,确定它是由哪些简单几 何体组成的,然后利用上面的步骤,分开还原,再合并即可.注意依据三视图中虚线、实 线确定轮廓线.

[活学活用]
若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

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解析:选 B 由题意知,A 和 C 中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求;D 中所 给几何体的侧视图不符合要求;由侧视图可判断该几何体的直观图是 B.故选 B. 视图与计算 [典例] 如图 1 所示,将一边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成三棱锥 )

CABD,其正视图与俯视图如图 2 所示,则侧视图的面积为(

1 A. 4 [解析]

B.

2 4

1 C. 2

D.

2 2

由正视图可以看出,A 点在面 BCD 上的投影为 BD 的中点,由

俯视图可以看出 C 点在面 ABD 上的投影为 BD 的中点, 所以其侧视图为如图 所示的等腰直角三角形,直角边为 [答案] A 2 1 2 2 1 ,于是侧视图的面积为 × × = . 2 2 2 2 4

这类问题常常是给出几何体的三视图,由三视图中的数据,还原出几何体,并得出相 关的数据,再求出相关的量,如体积、面积等.

[活学活用]
已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的 面积不可能 等于( ... A.1 C. 2-1 2 ) B. 2 D. 2+1 2

解析:选 C 由正方体的俯视图是面积为 1 的正方形可知正方体的正视图的面积范围 属于[1, 2 ],故选 C.

层级一

学业水平达标

1.已知△ABC,选定的投影面与△ABC 所在平面平行,则经过中心投影后所得的三角 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

形与△ABC( A.全等 C.不相似

) B.相似 D.以上都不正确

解析: 选 B 根据中心投影的概念和性质可知, 经过中心投影后所得的三角形与△ABC 相似. 2.如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体的直观图是( )

解析:选 D 由三视图知 D 正确. 3.一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )

解析:选 B

由直观图可知,该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往

下看,外层轮廓线是一个矩形,矩形内部有一条线段连接的两个三角形. 4. 若某几何体的正视图、 侧视图、 俯视图完全相同, 则该几何体的正视图不可能是( )

解析:选 D 满足选项 A 的有三棱锥,满足选项 B 的有球,满足选项 C 的有正方体, 故选 D. 5.一个长方体去掉一角,如图所示,关于它的三视图,下列画法正确的是( )

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解析:选 A 由于去掉一角后,出现了一个小三角形的面.正视图中,长方体上底面 和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合,故 B 错;侧视图中的线应 是虚线,故 C 错;俯视图中的线应是实线,故 D 错. 6.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 ________(填入所有可能的几何体前的编号). ①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱. 解析:三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形,当三棱柱的一个侧面平行于水平 面,底面对着观测者时其正视图是三角形,四棱柱、圆柱无论怎样放置,其正视图都不可 能是三角形. 答案:①②③⑤ 7.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的高 (两底面之间的 距离)和底面边长分别是________和________. 解析:正三棱柱的高同侧视图的高,侧视图的宽度恰为底面正三角形的 高,故底面边长为 4. 答案:2 4

8.如图所示, 在正方体 ABCDA′B′C′D′中, E, F 分别是 A′A, C′C 的中点,则下列判断正确的是________.(填序号) ①四边形 BFD′E 在面 ABCD 内的正投影是正方形; ②四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的正投影是菱形; ③四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的正投影与在面 ABB′A′内的投影是全等的平 行四边形. 解析:①四边形 BFD′E 的四个顶点在面 ABCD 内的投影分别是点 B,C,D,A,所 以正投影是正方形,即①正确;②设正方体的棱长为 2,则 AE=1,取 D′D 的中点 G,连 接 AG, 则四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的正投影是四边形 AGD′E, 由 AE∥D′G, 且 AE=D′G, 知四边形 AGD′E 是平行四边形, 但 AE=1, D′E= 5, 所以四边形 AGD′E 不是菱形,即②不正确.对于③,由②可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形, 从而③正确. 答案:①③ 9.画出如图所示的三棱柱的三视图.

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解:三棱柱的三视图如图所示:

10.如图(1)所示是实物图,图(2)和图(3)是其正视图和俯视图,你认为正确吗?如不正 确请改正.

解:不正确,正确的正视图和俯视图如图所示:

层级二

应试能力达标
)

1.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是(

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A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.正四面体的三视图都是正三角形 D.圆台的俯视图是一个圆 解析: 选 A 正视方向不同, 正方体的三视图不一定是三个全等的正方形, B 错误; C, D 显然错误,故选 A. 2.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ( )

解析:选 C 由几何体的俯视图与侧视图的宽度一样,可知 C 不可能是该锥体的俯视 图,故选 C. 3.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形.若三棱柱 的正视图(如图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为( A.8 C.4 3 B.4 D.2 3 )

解析:选 C 设该三棱柱的侧棱长为 a,则 2a=8,所以 a=4.该三棱柱的侧视图是一 个矩形,一边长为 4,另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高,为 3,所以侧视图的面 积为 4 3.故选 C. 4.一四面体的三视图如图所示, 则该四面体四个面中最大的面积是 ( ) A.2 C. 3 B.2 2 D.2 3

解析:选 D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体 ABCD, 由三视图知正方体的棱长为 2. 1 所以 S△ABD= ×2×2 2=2 2, 2 1 3 S△ADC= ×2 2×2 2× =2 3, 2 2 1 S△ABC= ×2×2 2=2 2, 2

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1 S△BCD= ×2×2=2. 2 所以所求的最大面积为 2 3.故选 D. 5.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点, 则三棱锥 PABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________. 解析:三棱锥 PABC 的正视图与侧视图为等底等高的三角形,故它 们的面积相等,面积比值为 1. 答案:1 6.已知一正四面体的俯视图如图所示,它是边长为 2 cm 的正方形,则这个正 四面体的正视图的面积为______cm2. 解析:构造一个棱长为 2 cm 的正方体 ABCDA1B1C1D1,在此正方体中作出 一个符合题意的正四面体 AB1CD1,易得该正四面体的正视图是一个底边长为 2 2 cm,高 为 2 cm 的等腰三角形,从而可得正视图的面积为 2 2 cm2. 答案:2 2 7.如图,是一个棱柱的三视图,请根据三视图的作图原则列出方程组,求出 x,y 的 值.

解:由题意,可知 x= ,?y= . {x+y-4=10,?x-y+6=4y, 解得? 3 3 ?
?

32

10

8.图为长方体木块堆成的几何体的三视图,求组成此几何体的长方体木块共有多少 块?

解:由正视图可知有两列,由侧视图可知有两排,再结合俯视图可得,几 何体共分两层,下面一层有 3 块,上面一层有 1 块.如图所示,其中小长方形 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

中的数字表示此位置木块的块数,所以长方体木块共有 2+1+1=4(块).

1.2.3

空间几何体的直观图

预习课本 P16~18,思考并完成以下问题 1.画平面图形的直观图的步骤是什么?

2.画简单几何体的直观图的步骤是什么?

3.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则?

[新知初探]
1.用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画 成对应的 x′轴和 y′轴, 两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135°),它们 确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的 线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段, 长度变为原来的一半. 2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 (1)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可. (2)画 z′轴, z′轴过点 O′, 且与 x′轴的夹角为 90°, 并画出高线(与原图高线相等, 画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图. (3)擦去辅助线,被遮线用虚线表示. [点睛] (1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定多边形顶点的位置,借助于平

面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变,垂线长减半,直角画 45°(或 135°).

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)用斜二测画法画水平放置的∠A 时,若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴,且∠A= 90°,则在直观图中,∠A=45°( )

(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行,且长度不变 ( ) 答案:(1)× (2)× )

2.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的(

解析:选 A 由直观图知,原四边形一组对边平行且不相等,为梯形,且梯形两腰不 能与底垂直. 3.已知△ABC 的直观图如图所示,则原△ABC 的面积为________. 解析:由题意,易知在△ABC 中,AC⊥AB,且 AC=6,AB=3. 1 ∴S△ABC= ×6×3=9. 2 答案:9

水平放置的平面图形的直观图

[典例] 画水平放置的直角梯形的直观图,如图所示. [解] (1)在已知的直角梯形 OBCD 中,以底边 OB 所在直线为 x 轴,垂直

于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系. 画相应的 x′轴和 y′轴, 使∠x′O′y′ =45°,如图①②所示. 1 (2)在 x′轴上截取 O′B′=OB,在 y′轴上截取 O′D′= OD,过点 D′作 x′轴 2 的平行线 l,在 l 上沿 x′轴正方向取点 C′使得 D′C′=DC.连接 B′C′,如图②. (3)所得四边形 O′B′C′D′就是直角梯形 OBCD 的直观图.如图③.

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在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键,一般要使平面 多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通 过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段. [活学活用] 画一个锐角为 45°的平行四边形的直观图(尺寸自定). 解:(1)画轴.如图①,建立平面直角坐标系 xOy,再建立坐标系 x′O′y′,其中∠ x′O′y′=45°. (2)描点. 如图②, 在 x′轴上截取 O′A′=OA, O′B′=OB, 在 y 轴上截取 O′D′ 1 = OD,过点 D′作 D′C′∥x′轴,且 D′C′=DC. 2 (3)连线.连接 B′C′,A′D′. (4)成图.如图③,四边形 A′B′C′D′即为一个锐角为 45°的平行四边形 ABCD 的 直观图.

空间几何体的直观图 [典例] 画出一个上、下底面边长分别为 1,2,高为 2 的正三棱台的直观图. [解] (1)画轴.如图,画 x 轴、y 轴、z 轴相交于点 O,使∠xOy=

45°,∠xOz=90°. (2)画下底面.以 O 为线段中点,在 x 轴上取线段 AB,使 AB=2, 在 y 轴上取线段 OC,使 OC= 的下底面的直观图. (3)画上底面.在 z 轴上取 OO′,使 OO′=2,过点 O′作 O′x′∥Ox,O′y′∥ Oy,建立坐标系 x′O′y′.在 x′O′y′中,类似步骤(2)的画 法得上底面的直观图△A′B′C′. (4)连线成图.连接 AA′,BB′,CC′,去掉辅助线,将被遮住的部分 画成虚线,则三棱台 ABCA′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图. 3 .连接 BC,CA,则△ABC 为正三棱台 2

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画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系 Oxyz,并且把它们画成对应的 x′轴与 y′ 轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135°),它们确定的平面表示水平面, 再作 z′轴与平面 x′O′y′垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于 x 轴的线段画成平行于 x′轴的线段并且长度不变. (3)平行于 y 轴的线段画成平行于 y′轴的线段,且线段长度画成原来的一半. (4)平行于 z 轴的线段画成平行于 z′轴的线段并且长度不变.

[活学活用]
如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

解:(1)画轴.如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部 是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面 ABCD,在 z 轴上截取 OO′,使 OO′等于三 视图中相应高度, 过 O′作 Ox 的平行线 O′x′, Oy 的平行线 O′y′, 利用 O′x′与 O′y′ 画出上底面 A′B′C′D′. (3)画正四棱锥顶点.在 Oz 上截取点 P,使 PO′等于三视图中相应的高度. (4)成图.连接 PA′,PB′,PC′,PD′,A′A,B′B,C′C,D′D,整理得到 三视图表示的几何体的直观图,如图②.

直观图的还原与计算

[典例]

如 图 是 四 边 形 ABCD 的 水 平 放 置 的 直 观 图 )

A′B′C′D′,则原四边形 ABCD 的面积是(

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A.14 C.28 [解析]

B.10 2 D.14 2 ∵A′D′∥y′轴,A′B′∥C′D′,A′B′≠C′D′,

∴原图形是一个直角梯形. 又 A′D′=4, 1 ∴原直角梯形的上、下底及高分别是 2,5,8,故其面积为 S= ×(2+ 2 5)×8=28. [答案] C

平面多边形与其直观图面积间关系: 一个平面多边形的面积为 S 原,斜二测画法得到的直观图的面积为 S 直,则有 S 直= [活学活用] 已知△ABC 是正三角形,且它的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′ 的面积为( A. C. 3 2 a 4 6 2 a 8 ) B. D. 3 2 a 8 6 2 a 16 2 S 4 原.

解析:选 D 由于 S△ABC= 所以 S△A′B′C′=

S△A′B′C′ 3 2 2 a ,且 = , 4 4 S△ABC

2 2 3 6 S = × a2= a2. 4 △ABC 4 4 16

层级一

学业水平达标
)

1. 根据斜二测画法的规则画直观图时, 把 Ox, Oy, Oz 轴画成对应的 O′x′, O′y′, O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( A.90°,90° C.135°,90° B.45°,90° D.45°或 135°,90°

解析: 选 D 根据斜二测画法的规则, ∠x′O′y′的度数应为 45°或 135°, ∠x′O′z′ 指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为 90°. 2. 若把一个高为 10 cm 的圆柱的底面画在 x′O′y′平面上, 则圆柱的高应画成( A.平行于 z′轴且大小为 10 cm B.平行于 z′轴且大小为 5 cm 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

C.与 z′轴成 45°且大小为 10 cm D.与 z′轴成 45°且大小为 5 cm 解析:选 A 平行于 z 轴(或在 z 轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原来保持 一致. 3.利用斜二测画法画边长为 1 cm 的正方形的直观图,可能是下面的( )

解析:选 C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选 C 项. 4. 如右图所示的水平放置的三角形的直观图, D′是△ A′B′C′中 B′C′边的中点, 且 A′D′平行于 y′轴, 那么 A′B′, A′D′, A′C′ 三条线段对应原图形中线段 AB,AD,AC 中( A.最长的是 AB,最短的是 AC B.最长的是 AC,最短的是 AB C.最长的是 AB,最短的是 AD D.最长的是 AD,最短的是 AC 解析: 选 C 因为 A′D′∥y′轴, 所以在△ABC 中, AD⊥BC, 又因为 D′是 B′C′ 的中点,所以 D 是 BC 中点,所以 AB=AC>AD. 5.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形 A′B′C′,则△ABC 是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) B.直角三角形 D.任意三角形 )

解析:选 C 将△A′B′C′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形. 6.水平放置的正方形 ABCO 如图所示, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点B 的坐标为(4,4), 则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中, 顶点 B′到 x′ 轴的距离为________. 解析: 由斜二测画法画出的直观图如图所示, 作 B′E⊥x′轴于点 E, 在 Rt △ B′EC′ 中, B′C′ = 2 ,∠ B′C′E = 45° ,所以 B′E = B′C′sin 45°=2× 答案: 2 7.如图, 矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中 O′A′=6,O′C′=3,B′C′∥x′轴,则原平面图形的面积 为________. 2 = 2. 2

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解析:在直观图中,设 B′C′与 y′轴的交点为 D′,则易得 O′D′=3 2,所以原 平面图形为一边长为 6,高为 6 2的平行四边形,所以其面积为 6×6 2=36 2. 答案:36 2 8.在直观图中,四边形 O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm,则在 坐 标 系 xOy 中 原 四 边 形 OABC 为 ________( 填 形 状 ) , 面 积 为 ________cm2. 解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形 OABC 为矩形,其中 OA=2 cm,OC=4 cm,所以四边形 OABC 的面积 S=2×4=8(cm2). 答案:矩形 8 9.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.

解:(1)画轴.如图①,画 x 轴,y 轴,z 轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画圆台的两底面.利用椭圆模板,画出底面⊙O,在 z 轴上截取 OO′,使 OO′等 于三视图中相应的长度,过点 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,类似底 面⊙O 的作法作出上底面⊙O′. (3)画圆锥的顶点.在 O′z 上截取 O′P,使 O′P 等于三视图中 O′P 的长度. (4)成图. 连接 PA′, PB′, A′A, B′B, 整理得到三视图所表示的几何体的直观图, 如图②.

10.如图,正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是水平放置的一 个平面图形的直观图. 请画出原来的平面图形的形状, 并求原图形的周长 与面积. 解: 如图, 建立直角坐标系 xOy, 在 x 轴上取 OA=O′A′=1 cm; 在 y 轴上取 OB=2O′B′=2 2 cm; 在过点 B 的 x 轴的平行线上取 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

BC=B′C′=1 cm. 连接 O,A,B,C 各点,即得到了原图形. 由作法可知,OABC 为平行四边形, OC= OB2+BC2= 8+1=3 cm, ∴平行四边形 OABC 的周长为(3+1)×2=8 cm,面积为 S=1×2 2=2 2 cm2.

层级二

应试能力达标

1.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面 尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为 20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为 8 m.如果按 1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 解析:选 C 由比例尺可知,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 4 cm,1 cm,2 cm 和 1.6 cm,再结合直观图,图形的尺寸应为 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm. 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于 y 轴,BC,AD 平行于 x 轴.已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2,则原平 面图形 A′B′C′D′的面积为( A.4 cm2 C.8 cm2 ) B.4 2 cm2 D.8 2 cm2 )

解析:选 C 依题意,可知∠BAD=45°,则原平面图形 A′B′C′D′为直角梯形, 上、下底边分别为 B′C′,A′D′,且长度分别与 BC,AD 相等,高为 A′B′,且长度 为梯形 ABCD 的高的 2 2倍,所以原平面图形的面积为 8 cm2. 3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45°,腰和上底长均为 1 的等腰梯 形,则该平面图形的面积等于( 1 2 A. + 2 2 C.1+ 2 ) B.1+ 2 2

D.2+ 2

解析:选 D 平面图形是上底长为 1,下底长为 1+ 2,高为 2 的直角梯形.计算得面 积为 2+ 2. 4.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示, 已知 B′C′=4, A′C′ =3,B′C′∥y′轴,则△ABC 中 AB 边上的中线的长度为( A. 73 2 B. 73 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

C.5

5 D. 2

解析:选 A 由斜二测画法规则知 AC⊥BC,即△ABC 为直角三角形,其中 AC=3, BC=8,所以 AB= 73,AB 边上的中线长度为 73 .故选 A. 2

5.有一个长为 5 cm,宽为 4 cm 的矩形,则其直观图的面积为________ cm2. 解析:该矩形的面积为 S=5×4=20(cm2),由平面图形的面积与直观图的面积间的关 系,可得直观图的面积为 S′= 答案:5 2 6.如图所示, △A′O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图, 点 B′ 在 x′轴上,A′O′与 x′轴垂直,且 A′O′=2,则△AOB 的边 OB 上的高为________. 解析:设△AOB 的边 OB 上的高为 h,由直观图中边 O′B′与原图形中边 OB 的长度 1 1 相等,及 S 原图=2 2S 直观图,得 OB×h=2 2× ×A′O′×O′B′,则 h=4 2.故△AOB 2 2 的边 OB 上的高为 4 2. 答案:4 2 7.如图所示,△ABC 中,AC=12 cm,边 AC 上的高 BD=12 cm,求其水 平放置的直观图的面积. 解:法一:画 x′轴,y′轴,两轴交于 O′,使∠x′O′y′=45°,作 1 △ABC 的直观图如图所示,则 A′C′=AC=12 cm,B′D′= BD=6 cm, 2 故△ A′B′C′ 的高为 ×12×3 2=18 2(cm2), 即水平放置的直观图的面积为 18 2 cm2. 1 1 法二:△ABC 的面积为 AC· BD= ×12×12=72(cm2),由平面图 2 2 形的面积与直观图的面积间的关系,可得△ABC 的水平放置的直观图的面积是 18 2(cm2). 2 ×72= 4 2 1 B′D′ = 3 2 cm,所以 S△ A′B′C′ = 2 2 2 S=5 2(cm2). 4

8.已知某几何体的三视图如下,请画出它的直观图(单位:cm).

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解:画法: (1)建系: 如图①, 画 x 轴, y 轴, z 轴, 三轴相交于点 O, 使∠xOy=45°, ∠xOz=90°. (2)画底:在 x 轴上取线段 OB=8 cm,在 y 轴上取线段 OA′=2 cm,以 OB 和 OA′ 为邻边作平行四边形 OBB′A′. (3)定点:在 z 轴上取线段 OC=4 cm,过 C 分别作 x 轴,y 轴的平行线,并在平行线上 分别截取 CD=4 cm,CC′=2 cm.以 CD 和 CC′为邻边作平行四边形 CDD′C′. (4)成图:连接 A′C′,BD,B′D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为 虚线),就得到该几何体的直观图(如图②).

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