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四川省成都七中2014届高三10月阶段性考试数学理试题 Word版含答案


成都七中高 2014 届高三数学 10 月阶段性考试(理科)
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1、已知集合 M ? x ? 2 ? x ? 1 , N ? ?? 3,?2,?1,0,1,2? ,则 M ? N ? ( A. ?? 2,?1,0,1? B. ?? 1,0? C. ?? 1,0,1? D. ?0,1? )

?a x ( x ? 0), f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 成立, 7、已知函数 f ( x) ? ? 满足对任意 x1 ? x 2 , 都有 x1 ? x 2 ?(a ? 3) x ? 4a( x ? 0)
则 a 的取值范围是( ▲ A. (0, ] 8、方程 log 2
( 1? x ) 1? x

) B. (0,1) C. [ ,1)

?

?



1 4

1 4

D. (0,3)



2、若命题“ p 或 q ”是真命题, “ p 且 q ”是假命题,则( ▲ A.命题 p 和命题 q 都是假命题 C.命题 p 和命题“ ?q ”的真值不同 3、设函数 f(x)是连续可导函数,并且 lim

5 1 A. (? ,? ) 8 2

? x ? 1 的实根 x0 在以下那个选项所在的区间范围内( ▲) 1 3 3 1 1 1 B. (? ,? ) C. (? ,? ) D. (? ,? ) 2 8 8 4 4 8

9 、 设 a ? 1 , 若 仅 有 一 个 常 数 c 使 得 对 于 任 意 的 y ? [ a,2a ] , 都 有 x ? [ a, a 2 ] 满 足 方 程

B.命题 p 和命题 q 都是真命题 D.命题 p 和命题 q 的真值不同

lo g ) a x?lo g a y ? c ,这时 a ? c 的取值为( ▲
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10、定 义 [ x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 记 ?x? ? x ? [ x] , 其 中 对 于 0 ? x ? 316 时 , 函 数

?x ? 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 2, 则f ?( x0 ) ? ( ▲ ) 2 ?x
C. 4 D. 2

A.

1 2

f ( x) ? sin2 [ x] ? sin2 {x} ? 1 和函数 g ( x) ? [ x] ? ?x??
A. m ? 101, n ? 313 C. m ? 100, n ? 313

B. ? 2

x ? 1 的零点个数分别为 m, n. 则(▲) 3

B. m ? 101, n ? 314 D. m ? 100, n ? 314

4、对于函数 y ? f ( x), x ? R ,“ y ?| f (x)| 的图象关于 y 轴对称”是“ y = f ( x) 是奇函数”的( ▲ ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要

2 5、命题“若 m ? 0 ,则 x ? x ? m ? 0 有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,假命

第Ⅱ卷

( 非选择题

共 100 分)

题的个数是( ▲ ) A.0 B.1 C.2 D.3 f ( x ? 1 ) ? f(2 ? x) 6、 定义在实数集 R 上的函数 f ( x) , 对一切实数 x 都有 成立, 若 f ( x) =0 仅有 101 个不同的实数根,那么所有实数根的和为( ▲ ) A.101 B.151 C.303 D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在后面的答题卷的相应地方.
? 1 ? 11、设集合 M ? ? x x ? ? 0 ? , N ? ? x 2 x ? 1 ? 0? ,则 M I N ? 2 ? ?



(用集合表示)

12、命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定为 13、函数 f ( x) ? log 1 (2 x 2 ? x ? 1) 单调递减区间为
2

▲ ▲

303 2

1

14、已知函数 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 x , x ? 0 时, f ( x) ? log1 x ,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数有
3

19、已知 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? x ? ax ? x ? 2
3 2



个.

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间;

15、下列命题是真命题的序号为:



' (Ⅱ)对一切的 x ? ?0,?? ? , 2 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

①定义域为 R 的函数 f ( x) ,对 ?x 都有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,则 f ( x ? 1) 为偶函数 ②定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,若对 ?x ? R ,都有 f ( x ? 5) ? f (1 ? x) ? 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像关 于 ( ?4,2) 中心对称 ③函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则 f ( x ? 1949) 是奇函数 ④函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的图形一定是对称中心在图像上的中心对称图形。
3 2

20、已知函数 f ( x) ? log a

(

x ?5 ) x ? 5 和函数

g ( x) ? 1 ? log a

( x ?3)

其中 a ? 0且a ? 1 ,

(1)分别求函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域 ⑤若函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 有两不同极值点 x1 , x2 , 若 x2 ? x1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 且 f ( x1 ) ? x1 , 则关于 x 的方程 3a ? [ f ( x)]2 ? 2b ? f ( x) ? c ? 0 的不同实根个数必有三个 三、解答题: (本大题共 6 小题,16 ? 20 题均为 12 分,21 题 15 分,共计 75 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程及演算步骤. ) 16、设命题 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ( a ? 0) ;命题 q : 实数 x 满足
2 2

(2)若关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 有实根,求 a 的取值范围?

21、设函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ? kx
x

2

( k ? R) .

2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0 ,若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围? ? 2 ? x ? x ? 6 ? 0 ?

(1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 k ? ( ,1] 时,求函数 f ( x) 在 [0, k ] 的最大值 M.

1 2

17、设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4

x?

1 2

? 2 x ?1 ? 5 的最大值和最小值,并指出相应 x 的取值?

(3)当 k ? 0 时,又设函数 g ( x) ? ln(1 ?

2 2x2 ? x , )? x ?1 2x ? 2

18、不恒为 0 的函数 f ( x) 的定义域为 R .对于定义域内任意 x1 , x2 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) (1)求 f (1) 及 f ( ?1) 的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (3)若 f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 2, 且f ( x)在(0,??) 上是增函数,求 x 的取值范围.

求证:当 n ? 2, 且 n ? N * 时, 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? g (n) ? ln f (n) 2 3 n

2

成都七中高 2014 届高三数学 10 月阶段性考试 (理)
一、选择题: BDCBC 二、填空题 11、 ? x ? DACCA

因 f ( x) 在 (0,??) 上为增函数,故 (3 x ? 1)(2 x ? 6) ? 16



解得

5 11 ? x ? 或 ?1 ? x ? 1。 3 3

? ?

1 1? ?x? ? 2 2?

12、 ?x0 ? R , x0 2 ? 2 x0 ? 1 ? 0

19、解:(Ⅰ) f ' ( x) ? ln x ? 1, 令f

'

1? ?x ? ? 0, 解得0 ? x ? 1 ,? f ( x)单调递减区间是? ? 0, ?; e ? e?

13、 (1, ??)

14、3

15、③④⑤

三、解答题: 16、解:由命题 p 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 , 由命题 q 得 ?

1 ?1 ? 令f ' ?x ? ? 0, 解得x ? ,? f ( x)单调递增区间是? ,?? ?; e ?e ?
(Ⅱ)由题意: 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 2 ,即 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1

? x ? 2 x ? 8 ? 0 ? x ? ?4或x ? 2, ? ?? ?2? x?3 2 ?x ? x ? 6 ? 0 ? ?2 ? x ? 3, ?
2

? x ? ?0,?? ? 可得 a ? ln x ?
设 h? x ? ? ln x ?

由此分析,只有 a ? 0 才可能,所以对于 p : a ? x ? 3a 设 A ? ( a,3a ), B ? ? 2,3?

3 1 x? 2 2x

3x 1 ?x ? 1??3x ? 1? ,令 h ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? 1 (舍) 1 3 1 ? ,则 h ' ? x ? ? ? ? ?? 2 2 2x 3 x 2 2x 2x 2

? p 是 q 的必要不充分条件

故 A ? B ,? a ? 2且3a ? 3 又 a ? 0 ,故 1 ? a ? 2

' ' 当 0 ? x ? 1 时, h ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ? x ? ? 0 ? 当 x ? 1 时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? m ax =-2

17、解:原试可化为 y ? ( ) ? 2 2 x ? 2?2 x ? 5 ,令 2 x ? t ? [1, 4] ,

1 2

? a ? ?2 .

? a 的取值范围是 ?? 2,?? ? .
x ?5 ? 0 ,即 ( x ? 5)( x ? 5) ? 0 ,解得 x ? ?5或x ? 5 ;同理: x ? 3 ? 0 ? x ? 3 x?5

则y?

t 1 ? 2? t ? 5 ? (t ? 2) 2 ? 3 2 2
当 x ? 2 时, t ? 4 , ymax ? 5

2

20、解(1)由题意得

当 x ? 1 时, t ? 2 , ymin ? 3

故 f ( x) 的定义域为 x ? ?5或x ? 5 , g ( x) 的定义域为 x ? 3 11. f ( x) ? g ( x) ? log a

18、解: (1)因 f (1) ? f (1? 1) ? f (1) ? f (1) ? 0 ;故 f (1) ? 0 ,同理赋值得 f (?1) ? 0 (2)对任意 x ? 0 , f ( x 2 ) ? f ( x ? x) ? f (? x ? ? x) ? f ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? f (? x)

x ?5 x ?5 ? 1 ? log a ( x ? 3) ? log a ? log a ( x ? 3) ? 1 x?5 x?5

? log a

? 2 f ( x) ? 2 f (? x)
故 f ( x ) ? f ( ? x ) ,函数 f ( x) 为偶函数。 (注:此处证法不唯一) (3) 因 f (4) ? 1 ;故 2 ? 1 ? 1 ? f (4) ? f (4) ? f (16) 又 f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? f ((3x ? 1)(2 x ? 6)) ? 2 ? f (16) ;

x?5 x?5 ?a ?1 ? ( x ? 5)( x ? 3) ( x ? 5)( x ? 3)
a? ( x ? 5) ? 1 20 ? 12 x?5

又方程 f ( x) ? g ( x) 在 x ? 5 范围内有实根,故

解得: 0 ? a ? 3 ? 5
16

注:此题解法很多,但都必须强调在 ( ??,5) 内

3

21、 (本小题 1 问 3 分,2 问 7 分,3 问 5 分,满分 15 分) 解: f '( x) ? ( x ? 1)e ? e ? 2kx ? xe ? 2kx ? x(e ? 2k )
x x x x
x (1)当 k ? 1 时,令 f '( x) ? x(e ? 2) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? ln 2

∴ g (k ) ? f (k ) ? (k ? 1)e ? k 在 ( ,1) 上的最大值为
k 3
3 3 2 g (k0 ) ? (k0 ? 1)3k0 ? k0 ? ? k0 ? 3k0 ? 3k0 ? (1 ? k0 )3 ? 1 ? ?1

1 2

当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 ;当 0 ? x ? ln 2 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? ln 2 时, f '( x) ? 0 ; ∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, 0) 、 (ln 2, ??) ;单调递减区间为 (0, ln 2) (2)∵

1 1 1 7 g( ) ? ? e ? ? ?1 ? ? e 4 2 2 8




7 ? 3 ? e 成立 4

1 ? k ? 1, 2

∴ 1 ? 2k ? 2 ,

所以 0 ? ln 2k ? ln 2

1 g ( ) ? ?1 , g (1) ? ?1 2 1 2

记 h(k ) ? k ? ln 2k , 则 h '(k ) ? 1 ?

2 k ?1 1 ? 在 k ? ( ,1) 有 h '( k ) ? 0 , 2 2k k

k 3 综上所述,当 k ? ( ,1] 时,函数 f ( x) 在 [0, k ] 的最大值 M ? ( k ? 1)e ? k .

注:思路较多,但没说明为什么在 k 取最大值或不清楚的至少扣 4 分 (3)当 k ? 0 时,原式为 f ( x) ? ( x ? 1)e x 化简不等式右边后即证

∴当 k ? ( ,1) 时, h(k ) ? k ? ln 2k ? h(1) ? 1 ? ln 2 ? 0 。即 k ? ln 2k ? 0

1 2 1 2

∴当 k ? ( ,1) 时,函数 f ( x) 在 [0, ln 2k ) 单调递减,在 (ln 2k , k ] 单调递增。

sn ? 1 ?

1 1 1 1 n 1 1 ? ? ? ........ ? ? ln( n ? 1) ? ? ln(n ? 1) ? [1 ? ] 2 3 4 n 2n ? 2 2 n ?1

f (0) ? ?1 , f (k ) ? (k ? 1)e k ? k 3 ,记 g (k ) ? f (k ) ? (k ? 1)ek ? k 3 ,下证 g (k ) ? ?1

g '(k ) ? k (e k ? 3k ) ,设 p ( k ) ? e k ? 3k ,令 p '(k ) ? e k ? 3 ? 0 得 k ? ln 3 ? 1
k ∴ p ( k ) ? e ? 3k 在 ( ,1] 为单调递减函数,

2 3 4 n ?1 1 1 1 1 1 1 ? ln( ? ? ...... ) ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 1 2 3 n 2 2 2 3 n n ?1
即证:

1 2

1 1 1 1 n ?1 1 1 1 ? ? 2 ln(1 ? ) ? ln( )? ( ? ) 即证 n ?1 n n n n 2 n n ?1

而 p( ) ? e ?

1 2

3 ? 2.25 ? 1.5 ? 0 , p(1) ? e ? 3 ? 0 2
1 2
k0



1 ? t ? (0,1) ,移项,引出新函数 n

即证 h(t ) ? 1 ?

k ∴ g '(k ) ? k (e ? 3k ) ? 0 的一个非零的根为 k0 ? ( ,1] ,且 e

? 3k0

1 ? t ? 2 ln(t ? 1) ? 0 t ?1

求导后很容易判断出单调增 故 h(t ) ? h(0) 得证, 1 ?

k 3 显然 g (k ) ? (k ? 1)e ? k 在 ( , k0 ) 单调递增,在 ( k 0 ,1] 单调递减,

1 2

1 1 1 ? ? ? ? ? g (n) ? ln f (n) 得证。 2 3 n

4


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