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江苏省扬州中学2015届高三上学期1月月考数学试卷


江苏省扬州中学 2015 届高三上学期 1 月月考数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. (5 分)设集合 M={x| <0},N={x|(x﹣1) (x﹣3)<0},则集合 M∩N=.

2. (5 分)已知复数 z1=2+ai,z2=2﹣i,若|z1|<|z2|,则实数 a 的取值范围是. 3. (5 分)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆、6000 辆和 2000 辆,为检验该 公司的产品质量, 现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验, 这三种型号的轿车依次应抽取辆、 辆、辆. 4. (5 分)有红心 1,2,3 和黑桃 4,5 这 5 张扑克牌,现从中随机抽取一张,则抽到的牌为 红心的概率是. 5. (5 分)如图是一个算法流程图,则输出 S 的值是.

6. (5 分)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的条件. 7. (5 分)取正方体的六个表面的中心,这六个点所构成的几何体的体积记为 V1,该正方体 的体积为 V2,则 V1:V2=.

8. (5 分)如图,在△ ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=2,D 为 BC 边上的点,且 =2 ,则 =.

?

=0,

9. (5 分)已知存在实数 a,满足对任意的实数 b,直线 y=﹣x+b 都不是曲线 y=x ﹣3ax 的切 线,则实数 a 的取值范围是.

3

10. (5 分)如图所示,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点恰好是椭圆 且两条曲线的交点连线也过焦点 F,则该椭圆的离心率为.

2

的右焦点 F,

11. (5 分)已知函数 f(x)= =f(c) ,则 a+b+c 的取值范围是. 12. (5 分)如果函数 f(x)=sin(ωπx﹣ 于 y 轴的对称轴,则 ω 的最大值是.

,若 a、b、c 互不相等,且 f(a)=f(b)

) (ω>0)在区间(﹣1,0)上有且仅有一条平行

13. (5 分)若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M, 已知点 N(3,3) ,则线段 MN 长度的最大值是. 14. (5 分)定义:若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间(m,n)?D(m<n) , 使得当 x∈ (m, n) 时, f (x) 的取值范围恰为 (m, n) , 则称函数 f (x) 是 D 上的“正函数”. 已 x 知函数 f (x)=a (a>1)为 R 上的“正函数”,则实数 a 的取值范围是.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4sinB?cos ( (Ⅰ)若 f(B)=2,求角 B; (Ⅱ)若 f(B)﹣m<2 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

﹣ )+cos2B.

16. (12 分)如图,正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AB=2AE. (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE.

17. (15 分)如图,某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河岸线 l1、 l2 的距离分别为 4 米、8 米,河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1 米,l2 与该养殖区的 最近点 B 的距离为 2 米. (1)如图甲,养殖区在投食点 A 的右侧,若该小组测得∠BAD=60°,请据此算出养殖区的面 积 S,并求出直线 AD 与直线 l1 所成角的正切值; (2)如图乙,养殖区在投食点 A 的两侧,试求养殖区面积 S 的最小值,并求出取得最小值时 ∠BAD 的余弦值.

18. (15 分)直线 l:y=k(x﹣1)过已知椭圆

经过点(0,

) ,离心率为 ,

经过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次 为点 D、K、E. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 l 交 y 轴于点 M, 且 , 当直线 l 的倾斜角变化时, 探求 λ+μ

的值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值,否则,说明理由; (Ⅲ)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若 是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.

19. (12 分)设数列{an}的各项都是正数,且对任意 n∈N ,都有 a1 +a2 +a3 +…+an =Sn ,记 Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; n n﹣1 an * * (2) 若 bn=3 + (﹣1) λ?2 (λ 为非零常数, n∈N ) , 问是否存在整数 λ, 使得对任意 n∈N , 都有 bn+1>bn. 20. (14 分)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)=ax﹣lnx.若对任意的 x1∈[ ,2],总存在唯一的 x2∈[ 对数的底) ,使得 g(x2)=f(x1) ,求实数 a 的取值范围. ,e](e 为自然 (m,n∈R)在 x=1 处取到极值 2.

*

3

3

3

3

2

三、附加题(共 4 小题,满分 12 分) 21. (12 分)已知矩阵 M= ,N= ,且 MN= .

(Ⅰ)求实数 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)求直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) ,椭圆 C 的方程为

+y =1,试在椭圆 C 上求一点 P,使得 P 到直线 l 的距离最小.

23.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, AB=BC= ,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,F 在线段 AA1 上. (1)AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

24.一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得 1 分,反面向上得 2 分. (1)设抛掷 5 次的得分为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ; (2)求恰好得到 n(n∈N )分的概率.
*

江苏省扬州中学 2015 届高三上学期 1 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. (5 分)设集合 M={x| <0},N={x|(x﹣1) (x﹣3)<0},则集合 M∩N=(1,2) .

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由分式不等式化简集合 M,再由二元一次不等式化简集合 N,则集合 M 交 N 的答案 可求. 解答: 解:∵M={x| <0}={x|﹣3<x<2},

N={x|(x﹣1) (x﹣3)<0}={x|1<x<3}, ∴M∩N={x|﹣3<x<2}∩{x|1<x<3}=(1,2) . 故答案为: (1,2) . 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了分式不等式和二元一次不等式的解法,是基础题. 2. (5 分)已知复数 z1=2+ai,z2=2﹣i,若|z1|<|z2|,则实数 a 的取值范围是﹣1<a<1. 考点: 复数的代数表示法及其几何意义;一元二次不等式的解法;复数求模. 分析: 直接 对两个复数求模,解不等式即可. 解答: 解:由|z1|<|z2|,即

故答案为:﹣1<a<1. 点评: 复数的求模计算,和解不等式,是基础题. 3. (5 分)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆、6000 辆和 2000 辆,为检验该 公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆. 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 由题意先求出抽样比例即为 , 再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目. = ,

解答: 解:因总轿车数为 9200 辆,而抽取 46 辆进行检验,抽样比例为 而三种型号的轿车有显著区别,根据分层抽样分为三层按 比例,

故分别从这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆. 故答案为:6,30,10. 点评: 本题的考点是分层抽样,即保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比 例样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取. 4. (5 分)有红心 1,2,3 和黑桃 4,5 这 5 张扑克牌,现从中随机抽取一张,则抽到的牌为 红心的概率是 .

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,共有 5 张扑克牌,其中红心 3 张,黑桃 2 张,由等可能事件的概率公式 计算可得答案. 解答: 解:根据题意,共有 5 张扑克牌,其中红心 3 张,黑桃 2 张; 从中随机抽取一张,抽到的红心的概率 ; 故答案为 点评: 本题考查等可能事件的概率,是基础题,注意审题即可. 5. (5 分)如图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 25.

考点: 程序框图. 专题: 操作型;算法和程序框图. 分析: 按照程序框图的流程,写出前几次循环的结果,并判断每个结果是否满足判断框中 的条件,直到不满足条件,输出结论. 解答: 解:S 的初值为 0,n 的初值为 1,满足进行循环的条件, 经过第一次循环得到的结果为 S=1,n=3,满足进行循环的条件, 经过第二次循环得到的结果为 S=4,n=5,满足进行循环的条件, 经过第三次循环得到的结果为 S=9,n=7,满足进行循环的条件, 经过第四次循环得到的结果为 S=16,n=9,满足进行循环的条件, 经过第五次循环得到的结果为 S=25,n=11,不满足进行循环的条件, 退出循环,故输出的 S 值为 25 故答案为:25 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找出规律. 6. (5 分)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:∵{an}是等比数列,∴若“a1<a2<a3”, 则“数列{an}是递增数列”,充分性成立, 若“数列{an}是递增数列”,则“a1<a2<a3”成立,即必要性成立, 故“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件, 故答案为:充要 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据等比数列的定义是解决本题的关键. 7. (5 分)取正方体的六个表面的中心,这六个点所构成的几何体的体积记为 V1,该正方体 的体积为 V2,则 V1:V2= .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 这六个点所构成的几何体是两个底面为正方形的四棱锥对接而成的图形,每个四棱 锥的底面边长与棱长都相等,长度是 ,由此能求出 V1:V2.

解答: 解:这六个点所构成的几何体是两个底面为正方形的四棱锥对接而成的图形, 每个四棱锥的底面边长与棱长都相等,长度是 ∴高度就是 , ∴每个四棱锥体积就是 两个四棱锥的体积就是 . . = , ,

∴这六个点所构成的几何体的体积 V1= 该正方体的体积 V2=a , ∴V1:V2= . 故答案为: .
3

点评: 本题考查两个几何体的体积之比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间 思维能力的培养.

8. (5 分)如图,在△ ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=2,D 为 BC 边上的点,且 =2 ,则 =1.

?

=0,

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可知: ⊥ 而 = = ⊥ , 且 D 为 BC 中点, ∠B=∠C=30°, 且易求得 AD=1, 代入可得结果. ,且 D 为 BC 中点,∠B=∠C=30° , ,

解答: 解:由题意可知:

故在直角三角形 ABD 中可求得 AD=1,

∴ =

= =1.

=

故答案为:1 点评: 本题为向量的数量积的运算,把向量适当转化时解决问题的关键,属基础题. 9. (5 分)已知存在实数 a,满足对任意的实数 b,直线 y=﹣x+b 都不是曲线 y=x ﹣3ax 的切 线,则实数 a 的取值范围是 .
3

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 由直线 y=﹣x+b 得直线斜率为﹣1,直线 y=﹣x+b 不与曲线 f(x)相切知曲线 f(x) 上任一点斜率都不为﹣1,即 f′(x)≠﹣1,求导函数,并求出其范围[﹣3a,+∞) ,得不等式﹣ 3a>﹣1,即得实数 a 的取值范围. 解答: 解:设 f(x)=x ﹣3ax,求导函数,可得 f′(x)=3x ﹣3a∈[﹣3a,+∞) , 3 ∵存在实数 a,满足对任意的实数 b,直线 y=﹣x+b 都不是曲线 y=x ﹣3ax 的切线, ∴﹣1?[﹣3a,+∞) ,∴﹣3a>﹣1,即实数 a 的取值范围为 故答案为: 点评: 本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
3 2

10. (5 分)如图所示,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点恰好是椭圆 且两条曲线的交点连线也过焦点 F,则该椭圆的离心率为 ﹣1.

2

的右焦点 F,

考点: 抛物线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设椭圆的左焦点为 F', 抛物线与椭圆在第一象限的交点为 A, 连接 AF', 可得 Rt△ AFF' 中,AF=FF'=p,从而 AF'= p,再根据椭圆的定义,可得 AF+AF'=2a=(1+ )p,最后用 椭圆的离心率的公式求出该椭圆的离心率. 解答: 解:设椭圆的左焦点为 F',抛物线与椭圆在第一象限的交点为 A,连接 AF', ∴F( ,0) ,F'(﹣ ,0) ,可得焦距 FF'=p=2c, (c= 对抛物线方程 y =2px 令 x= ,得 y =p ,所以 AF=|yA|=p ∴Rt△ AFF'中,AF=FF'=p,可得 AF'= p
2 2 2

为椭圆的半焦距)

再根据椭圆的定义,可得 AF+AF'=2a=(1+ ∴该椭圆的离心率为 e= 故答案为: ﹣1 = =

)p, ﹣1

点评: 本题给出椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点,并且两曲线的通径合在一起,求椭圆 的离心率, 着重考查了椭圆的定义与简单几何性质和抛物线的标准方程等知识点, 属于中档题.

11. (5 分)已知函数 f(x)= =f(c) ,则 a+b+c 的取值范围是(25,34) .

,若 a、b、c 互不相等,且 f(a)=f(b)

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 画出函数的图象,根据 f(a)=f(b)=f(c) ,不妨设 a<b<c,求出 a+b+c 的范围即 可. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如图, 不妨设 a<b<c,则:b+c=2×12=24, a∈(1,10) 则 a+b+c=24+a∈(25,34) , 故答案为: (25,34) .

点评: 本题主要考查分段函数、函数的图象以及利用数形结合解决问题的能力.

12. (5 分)如果函数 f(x)=sin(ωπx﹣ 于 y 轴的对称轴,则 ω 的最大值是 .

) (ω>0)在区间(﹣1,0)上有且仅有一条平行

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由 f(0)<0 可得位于区间(﹣1,0)上的对称轴是 y 轴左边离它最近的对称轴,并 且在此处函数取得最小值﹣1,由此建立关于 ω 的不等式,并解之可得 ω 的取值范围,可得最 大值.

解答: 解:∵当 x=0 时,f(x)=﹣

<0,

∴函数在区间(﹣1,0)上有且仅有一条对称轴时,该对称轴处函数取得最小值﹣1 得 ωπx﹣ =﹣ +2kπ,k∈Z, ?(﹣ )是距离 y 轴最近的对称轴,而 x= ?(﹣ + )是 y 轴左侧,距离

当 k=0 时,x=

y 轴第二近的对称轴 ∴﹣1< ?(﹣ )<0 且 ?(﹣ + )≤﹣1

解得 <ω≤ ,∴ω 的最大值是 . 故答案为: 点评: 本题考查正弦曲线的对称性和 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,属基础题. 13. (5 分)若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M, 已知点 N(3,3) ,则线段 MN 长度的最大值是 . 考点: 等差数列的性质;与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a, b, c 成等差数列, 利用等差数列的性质得到 2b=a+c, 整理后与直线方程 ax+by+c=0 比较发现,直线 ax+by+c=0 恒过 Q(1,﹣2) ,再由点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的 射影为 M,得到 PM 与 QM 垂直,利用圆周角定理得到 M 在以 PQ 为直径的圆上,由 P 和 Q 的坐标,利用中点坐标公式求出圆心 A 的坐标,利用两点间的距离公式求出此圆的半径 r,线 段 MN 长度的最大值即为 M 与圆心 A 的距离与半径的和,求出即可. 解答: 解:∵a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c,即 a﹣2b+c=0, 可得方程 ax+by+c=0 恒过 Q(1,﹣2) , 又点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M, ∴∠PMQ=90°, ∴M 在以 PQ 为直径的圆上, ∴此圆的圆心 A 坐标为( r= |PQ|= 又 N(3,3) , ∴|AN|= =5, , = ) ,即 A(0,﹣1) ,半径 ,

则|MN|max=5+ . 故答案为:5+ 点评: 此题考查了等差数列的性质,恒过定点的直线方程,圆周角定理,线段中点坐标公 式,以及两点间的距离公式,利用等差数列的性质得到 2b=a+c,即 a﹣2b+c=0 是解本题的突 破点.

14. (5 分)定义:若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间(m,n)?D(m<n) , 使得当 x∈ (m, n) 时, f (x) 的取值范围恰为 (m, n) , 则称函数 f (x) 是 D 上的“正函数”. 已 知函数 f (x)=a (a>1)为 R 上的“正函数”,则实数 a 的取值范围是(1,e 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,y=f(x) ﹣x=a ﹣x 有两个零点, 求导 y′=lna?a ﹣1;从而得 <0;从而求解. 解答: 解:由题意,y=f(x)﹣x=a ﹣x 有两个零点, x y′=lna?a ﹣1; x 故 y=a ﹣x 在定义域上先减后增, 且当 x=0 时,y>0; 故当 a = 即 ﹣
x x x x x

) .



时,y<0; <0; ) ; ) .

故 a∈(1,e

故答案为: (1,e

点评: 本题考查了函数的性质与应用,属于基础题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4sinB?cos ( (Ⅰ)若 f(B)=2,求角 B; (Ⅱ)若 f(B)﹣m<2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)化简可得 f(B)=2sinB+1,结合已知可得 sinB 的值,可得 B 的值; (Ⅱ)由 f (B)﹣m<2 恒成立集合三角函数的最值可得 1+m>2,解不等式可得. 解答: 解: (Ⅰ)化简可得 f(B)=4sinB?cos (
2 2

﹣ )+cos2B.

﹣ )+cos2B

=4sinB?

+1﹣2sin B
2

2

=2sinB(1+sinB)+1﹣2sin B =2sinB+1=2,∴sinB= ,

又∵0<B<π,∴B=





(Ⅱ)∵f (B)﹣m<2 恒成立, ∴2sinB+1﹣m<2 恒成立, ∴2sinB<1+m ∵0<B<π, ∴2sinB 的最大值为 2, ∴1+m>2,∴m>1. 点评: 本题考查三角函数化简求值,涉及二倍角公式和恒成立问题,属中档题. 16. (12 分)如图,正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AB=2AE. (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据正方形对边平行可得 AB∥CD,结合线面平行的判定定理可得 AB∥平面 CDE; (2)由已知 AE⊥平面 CDE,可得 AE⊥CD,结合正方形 ABCD 邻边垂直及线面垂直的判定 定理可得 CD⊥平面 ADE,进而由面面垂直的判定定理可得平面 ABCD⊥平面 ADE 解答: 证明: (1)正方形 ABCD 中,AB∥CD, 又 AB?平面 CDE, CD?平面 CDE, 所以 AB∥平面 CDE. (6 分) (2)因为 AE⊥平面 CDE, 且 CD?平面 CDE, 所以 AE⊥CD, (8 分) 又正方形 ABCD 中,CD⊥AD 且 AE∩AD=A,AE,AD?平面 ADE, 所以 CD⊥平面 ADE, (12 分) 又 CD?平面 ABCD, 所以平面 ABCD⊥平面 ADE. (14 分) 点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定与性质,直线 与平面平行的判定,熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键.

17. (15 分)如图,某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河岸线 l1、 l2 的距离分别为 4 米、8 米,河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1 米,l2 与该养殖区的 最近点 B 的距离为 2 米. (1)如图甲,养殖区在投食点 A 的右侧,若该小组测得∠BAD=60°,请据此算出养殖区的面 积 S,并求出直线 AD 与直线 l1 所成角的正切值; (2)如图乙,养殖区在投食点 A 的两侧,试求养殖区面积 S 的最小值,并求出取得最小值时 ∠BAD 的余弦值.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;正弦定理;三角函数的最值. 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用;导数的综合应用;解三角形;空间位置关系 与距离. 分析: (1)设 AD 与 l1 所成夹角为 α,则 AB 与 l2 所成夹角为 60°﹣α,从而得 = ,从而求面积及正切值;

(2) 设 AD 与 l1 所成夹角为 α, ∠BAD=θ∈ (120°, 180°) , 则 AB 与 l2 所成夹角为 (180°﹣θ+α) , 从而得 求最值. 解答: 解: (1)设 AD 与 l1 所成夹角为 α,则 AB 与 l2 所成夹角为 60°﹣α, 对菱形 ABCD 的边长“算两次”得 所以,养殖区的面积 S=(
2

=

,从而求 S=(

) sinθ=9(

2

) ,求导

= ) sin60°=42 (m ) ;
2

,解得 tanα=



(2)设 AD 与 l1 所成夹角为 α,∠BAD=θ∈(120°,180°) ; 则 AB 与 l2 所成夹角为(180°﹣θ+α) , 对菱形 ABCD 的边长“算两次”得 解得,tanα= ; ) sinθ=9(
2

=



所以,养殖区的面积 S=( 由 S′=﹣9( cosθ=﹣ ; )=0 得,

) ,

经检验得,当 cosθ=﹣ 时,养殖区的面积有最小值,

最小值为 S=27(m ) ; 2 2 答: (1)养殖区的面积为 42 m ; (2)养殖区的最小面积为 27m . 点评: 本题考查了解三角形,三角变换,导数等在实际问题中的应用,属于中档题.

2

18. (15 分)直线 l:y=k(x﹣1)过已知椭圆

经过点(0,

) ,离心率为 ,

经过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次 为点 D、K、E. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 l 交 y 轴于点 M, 且 , 当直线 l 的倾斜角变化时, 探求 λ+μ

的值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值,否则,说明理由; (Ⅲ)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若 是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)由题设知 ,因为 a =b +c a =4,c =1,由此能求出椭圆 C 的
2 2 2 2 2

方程. (Ⅱ)设直线 l 方程 y=k(x﹣1) ,且 l 与 y 轴交于 M(0,﹣1) ,设直线 l 交椭圆于 A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,由 得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,再由韦达定理结合题
2 2 2 2

设条件能够推导出当直线 l 的倾斜角变化时,λ+μ 的值为定值



(Ⅲ)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥X 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交 FK 的中点 猜想, 当直线 l 的倾斜角变化时, AE 与 BD 相交于定点 .

证明:由 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,知 D(4,y1) ,E(4,y2) .当直线 l 的倾斜角变化时, 首先证直线 AE 过定点 AE 与 BD 相交于定点 . 再证点 也在直线 lBD 上;所以当 m 变化时,

解答: 解: (Ⅰ)由题设知

,因为 a =b +c a =4,c =1,∴椭圆 C 的方程

2

2

2 2

2

(3 分) (Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程 y=k(x﹣1) ,且 l 与 y 轴交于 M(0,﹣k) ,设 直线 l 交椭圆于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由 得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,
2 2 2 2



(6 分)

又由



∴(x1,y1)=λ(1﹣x1,﹣y1) , ∴ ,同理∴ (8 分)



所以当直线 l 的倾斜角变化时,λ+μ 的值为定值

; (10 分)

(Ⅲ)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥X 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交 FK 的中点 猜想,当直线 l 的倾斜角变化时,AE 与 BD 相交于定点 (11 分)

证明:由(Ⅱ)知 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∴D(4,y1) ,E(4,y2) 当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 AE 过定点 ∵



时,

=

=

∴点

在直线 lAE 上,同理可证,点

也在直线 lBD 上;∴当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与椭圆的相关知识,解题时要灵活运用圆锥曲线性质,注意合理地进行等价转化. 19. (12 分)设数列{an}的各项都是正数,且对任意 n∈N ,都有 a1 +a2 +a3 +…+an =Sn ,记 Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; n n﹣1 an * * (2) 若 bn=3 + (﹣1) λ?2 (λ 为非零常数, n∈N ) , 问是否存在整数 λ, 使得对任意 n∈N , 都有 bn+1>bn. 考点: 数列递推式;数列的函数特性. 专题: 综合题. 分析: (1)利用 n=1 求出 a1,利用 a1 +a2 +a3 +…+an =Sn ,a1 +a2 +a3 +…+an﹣1 =Sn﹣1 , 做差推出 an﹣an﹣1=1 证明是等差数列. (2)假设存在 λ 使得满足题意,然后计算化简 bn+1﹣bn,再结合恒成立问题进行转化,将问 题转化为: 对任意的 n∈N*恒成立.然后分 n 为奇偶数讨论
3 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 * 3 3 3 3 2

即可获得 λ 的范围,再结合为整数即可获得问题的解答. 解答: 解: (1)在已知式中,当 n=1 时,a1 =S1 =a1 ∵a1>0∴a1=1…(2 分) 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 当 n≥2 时,a1 +a2 +a3 +…+an =Sn ①a1 +a2 +a3 +…+an﹣1 =Sn﹣1 ② 3 2 2 ①﹣②得,an =Sn ﹣Sn﹣1 =(Sn﹣Sn﹣1) (Sn+Sn﹣1) 2 ∵an>0∴an =Sn+Sn﹣1=2Sn﹣an③ ∵a1=1 适合上式…(4 分) 2 当 n≥2 时,an﹣1 =2Sn﹣1﹣an﹣1④ 2 2 ③﹣④得:an ﹣an﹣1 =2(Sn﹣Sn﹣1)﹣an+an﹣1=2an﹣an+an﹣1=an+an﹣1 ∵an+an﹣1>0∴an﹣an﹣1=1 ∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 an=n…(6 分) * (2)假设存在整数 λ,使得对任意 n∈N ,都有 bn+1>bn. ∵an=n∴ ∴bn+1﹣bn=[3 ∴ 当 n=2k﹣1(k∈N )时,⑤式即为 依题意,⑥式对 k∈N 都成立,∴λ<1…(10 分) 当 n=2k(k∈N )时,⑤式即为 依题意,⑦式对 k∈N 都成立,
* * * * n+1

+(﹣1) λ?2

n

n+1

]﹣[3 +(﹣1)

n

n﹣1

λ?2 ]=2?3 ﹣3λ(﹣1)

n

n

n﹣1

?2 >0

n

⑤…(8 分) ⑥



∴ ∴

…(12 分)

∴存在整数 λ=﹣1,使得对任意 n∈N ,都有 bn+1>bn…(14 分) 点评: 本题考查的是数列与不等式的综合题. 在解答的过程当中充分体现了数列通项与前 n 项和的知识、分类讨论的知识以及恒成立问题的解答规律.值得同学们体会和反思. 20. (14 分)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)=ax﹣lnx.若对任意的 x1∈[ ,2],总存在唯一的 x2∈[ 对数的底) ,使得 g(x2)=f(x1) ,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件. 专题: 综合题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (1)求导函数,利用 f(x)在 x=1 处取到极值 2,可得 f′(1)=0,f(1)=2,由此 可求 f(x)的解析式; (2)确定 f(x)在 依题意 ,记 上单调递增,在(1,2)上单调递减,从而可得 f(x)的值域; ,从而可得 ,再分类讨论,确定 g(x) ,e](e 为自然 (m,n∈R)在 x=1 处取到极值 2.

*

在 M 上单调性,即可求 a 取值范围. 解答: 解: (1) ∵f(x)在 x=1 处取到极值 2,∴f′(1)=0,f(1)=2 …(2 分)



,解得 m=4,n=1,



…(5 分)

(2)由(1)知 2)上单调递减, 由 依题意 ∵x∈M ,记

,故 f(x)在

上单调递增,在(1,

,故 f(x)的值域为 ,

…(7 分)

∴ (ⅰ)当 时,g'(x)≤0,g(x)在 M 上单调递减,

依题意由

,得

,…(8 分)

(ⅱ)当 g′(x)>0

时,e>



时,g′(x)<0,当

时,

依题意得:



,解得

,…(10 分)

(ⅲ) 当 a>e 时,

2

, 此时 g( ′ x) >0, g (x) 在 M 上单调递增, 依题意得





,此不等式组无解 …(11 分) .

综上,所求 a 取值范围为

…(14 分)

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查分类讨论的数学思想, 考查学生分析解决问题的能力,有一定的难度. 三、附加题(共 4 小题,满分 12 分) 21. (12 分)已知矩阵 M= ,N= ,且 MN= .

(Ⅰ)求实数 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)求直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程. 考点: 矩阵乘法的性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (Ⅰ)首先根据矩阵的乘法得到一组方程式,从而求出 a、b、c、d 的值;

(Ⅱ)根据线性变换的基本知识,点在矩阵 M 的作用下的线性变换下还是点,然后求出像的 方程.

解答: 解: (Ⅰ)由题设得

,解得



(Ⅱ)因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线(或点) , 所以可取直线 y=3x 上的两(0,0) , (1,3) , 由 = , =

得点(0,0) , (1,3)在矩阵 M 所对应的线性变换下的像是(0,0) , (﹣2,2) , 从而直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为 y=﹣x. 点评: 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) ,椭圆 C 的方程为

+y =1,试在椭圆 C 上求一点 P,使得 P 到直线 l 的距离最小.

考点: 椭圆的参数方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 首先,根据直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,化简为普通方程为:x+2y=4,

然后,设 P(2cosθ,sinθ) ,根据点到直线的距离求解即可. 解答: 解:根据直线 l 的参数方程为 其普通方程为:x+2y=4, 设 P(2cosθ,sinθ) , ∴P 到 l 的距离为 d= (t 为参数) ,得

= ≥ = , )=1,即 θ=2kπ+ , 时等号成立.

当且仅当 sin(θ+ 此时,sinθ=cosθ=

∴P(2,

) .

点评: 本题重点考查了参数方程和普通的互化、点到直线的距离公式等知识,属于中档题. 23.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, AB=BC= ,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,F 在线段 AA1 上. (1)AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

考点: 直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题,建立空间坐标系,给 出有关点的坐标,设出点 F 的坐标, (I)由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向量垂直, 利用二者内积为零建立关于参数的方程参数. (II)求出两平面的法向量,利用夹角公式求二 面角的余弦值即可. 解答: 解: (1)因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, BB1⊥面 ABC,∠ABC= .

以 B 点为原点,BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为 AC=2,∠ABC=90°,所以 AB=BC= , 从而 B(0,0,0) ,A A1 E 所以 ,C1 . , ,C ,D ,B1(0,0,3) , ,

设 AF=x,则 F(

,0,x) ,

. 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥B1F. 由

,所以



=2+x(x﹣3)=0,得 x=1 或 x=2,

故当 AF=1 或 2 时,CF⊥平面 B1DF. (5 分) (2)由(1)知平面 ABC 的法向量为 n1=(0,0,1) . 设平面 B1CF 的法向量为 n=(x,y,z) ,则由 令 z=1 得 , . 得

所以平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值

点评: 考查用空间向量为工具解决立体几何问题,此类题关键是找清楚线的方向向量、面 的法向量以及这些向量内积为 0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应. 24.一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得 1 分,反面向上得 2 分. (1)设抛掷 5 次的得分为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ; * (2)求恰好得到 n(n∈N )分的概率. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率;离散型随 机变量及其分布列. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意分析的所抛 5 次得分 ξ 为独立重复试验,利用二项分布可以得此变量的 分布列;

(2)由题意分析出令 pn 表示恰好得到 n 分的概率.不出现 n 分的唯一情况是得到 n﹣(1 分) 以后再掷出一次反面.“不出现 n 分”的概率是 1﹣pn,“恰好得到 n﹣(1 分)”的概率是 pn﹣1, 利用题意分析出递推关系即可. 解答: 解: (1)所抛 5 次得分 ξ 的概率为 P(ξ=i)= 其分布列如下: ξ 5 6 7 8 9 10 P (i=5,6,7,8,9,10) ,

Eξ=

=

(分) .

(2)令 pn 表示恰好得到 n 分的概率.不出现 n 分的唯一情况是得到 n﹣(1 分)以后再掷出 一次反面. 因为“不出现 n 分”的概率是 1﹣pn,“恰好得到 n﹣(1 分)”的概率是 pn﹣1, 因为“掷一次出现反面”的概率是 ,所以有 1﹣pn= pn﹣1, 即 pn﹣ =﹣ 于是 所以 pn﹣ =﹣ 答:恰好得到 n 分的概率是 . 是以 p1﹣ = ﹣ =﹣ 为首项,以﹣ 为公比的等比数列. ,即 pn= . .

点评: 此题考查了独立重复试验,数列的递推关系求解通项,重点考查了学生的题意理解 能力及计算能力.


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