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常州市2013-2014学年第一学期高二数学期末试卷


常州市教育学会学生学业水平监测
高二数学试题
注意事项: 1.本试卷满分 160 分,考试用时 120 分钟. 本试卷部分试题设置文科及理科选做题,请考生根据选科类别答题. 2.答题时,填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内,答案写在试卷上无 ........ 效 .本卷考试结束后,上交答题卡. . 3.本场考试不得使用计算器或带有计算功能的电子词典等. 参考公式:
1 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示底面积, h 表示高. 3

2014 年 1 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请将答 案填写在答题卡相应的位置上 . ......... 1.命题“若 x ? 0 ,则 x2 ? 0 ”的否命题 为 ... ▲ . ▲ . 2.若直线 l 经过点 A(2,1) ,且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 垂直,则直线 l 的方程为
1 3. “ ? ? x ? 0 ”是“不等式 2 x2 ? 5x ? 3 ? 0 成立”的 2



条件(在“充分不必要” ,

“必要不充分” , “充要” , “既不充分又不必要”中选一个填写). 4.圆心为 (1,1) ,且经过点 (2, 2) 的圆的标准方程为 ▲ .

π 3 5. (文科做)曲线 y ? cos x 在点( , )处的切线的斜率为 ▲ . 6 2 ? ? ? ? ? ? (理科做)已知向量 a ? (1, 2,1), b ? (1, 2, 2) ,且 (ka ? b) ∥ (a ? 2b) ,则实数 k 的值为





6.三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA, OB, OC 两两垂直且长度分别为 2cm,3cm,1cm,则该三棱 锥的体积是 7. 若双曲线 ▲ cm3.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,则它的离心率为 ▲ . a 2 b2

8. 已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上运动, F 为抛物线的焦点, 点 M 的坐标为 (3,2) , 当 PM+PF 取最小值时点 P 的坐标为 ▲ . 第 1 页 共 4 页

高二数学 试卷

9.已知圆 C 经过直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与坐标轴的两个交点,且经过抛物线 y ? 8 x 的焦点,
2

则圆 C 的方程为





10.已知动圆 C 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 及圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 25 都内切,则动圆圆心 C 的轨迹方程为 ▲ .

11. (文科做)已知一个圆锥的母线长为 3,则它的体积 的最大值为 ▲ .

(理科做) 如图,在三棱锥 A ? BCD 中,
AB ? 平面BCD , ?DBC ? 90? ,

BC ? BD ? 2 , AB ? 1 ,则 BC 和平面 ACD 所成角的
正弦值为 ▲ . (第 11 题理科图)

12.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在面对角 线 AC 上运动,给出下列四个命题: ① D1 P ∥平面 A1 BC1 ; ② D1 P ? BD ;

③平面 PDB1 ⊥平面 A1 BC1 ;④三棱锥 A1 ? BPC1 的体 积不变. 则其中所有正确的命题的序号是 ▲ . (第 12 题图)

13. 若直线 y ? x ? 2 与曲线 y ? m ? x 2 (m ? 0) 恰有一个公 共点,则实数 m 的取值范围为 14. 已知椭圆 C : ▲ .

2 x2 y 2 ,设过右焦点的直线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为 2,离心率为 2 2 a b

l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,过 A,B 作直线 x ? 2 的垂线 AP,BQ,垂足分别为
P,Q.记 l ?
AP ? BQ , 若直线 l 的斜率 k ≥ 3 ,则 l 的取值范围为 PQ





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答应写出文 ....... 字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 a 为实数, p :点 M (1,1) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 4 的内部; q : ?x ? R, 都有
x2 ? ax ? 1≥ 0 .

(1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围; 高二数学 试卷 第 2 页 共 4 页

(2)若 q 为假命题,求 a 的取值范围; (3)若“ p 且 q ”为假命题,且“ p 或 q ”为真命题,求 a 的取值范围. 16. (本小题满分 14 分) 如图, 斜四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是矩形,平面 C1 D1 DC ⊥平面 ABCD , E , F 分别 为 CD1 , AB 的中点. 求证: (1) AD ? CD1 ; (2) EF ∥平面 ADD1 A1 . 17. (本小题满分 14 分) 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 p x( p? 0 )的 焦 点 为 双 曲 线 (第 16 题图)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,且两条曲线都经过点 M (2,4) . a 2 b2

(1)求这两条曲线的标准方程; (2)已知点 P 在抛物线上,且它与双曲线的左,右焦点构成的三角形的面积为 4,求 点 P 的坐标.

18. (本小题满分 16 分) 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 . (1)若直线 l1 过点 A(?1,0) ,且与圆 C 相切,求直线 l1 的方程; (2)若圆 D 的半径为 4,圆心 D 在直线 l2 : 2x ? y ? 2 ? 0 上,且与圆 C 内切,求圆 D 的方程.

19. (本小题满分 16 分) (文科做)已知函数 f ( x) ? ln x ? a , g ( x) ? ax , a ? R . (1)若 a ? 1 ,设函数 F ( x) ?
f ( x) ,求 F ( x) 的极大值; g ( x)

(2)设函数 G( x) ? f ( x) ? g ( x) ,讨论 G ( x) 的单调性. 高二数学 试卷 第 3 页 共 4 页

(理科做)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形, ?ABC ? 90? , 且 AB ? AD ? 2BC , 顶点 P 在底面 BC / / AD ,

ABCD 内的射影恰好落在 AB 的中点 O 上.
(1)求证: PD ? AC ; (2)若 PO ? AB ,求直线 PD 与 AB 所成角的 余弦值; (3)若平面 APB 与平面 PCD 所成的二面角为
45? ,求

PO 的值. BC

(第 19 题理科图)

20. (本小题满分 16 分) 已 知
A, B











y M
P A
O

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左,右顶点, a b

3 点 D(1, ) 在椭圆 C 上, 且直线 DA 与直 2

B

线 DB 的斜率之积为 ?

b2 . 4

x

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)点 P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任 一点,直线 AP , PB 与椭圆的右准 线分别交于点 M , N . ①在 x 轴上是否存在一个定点 E ,使得 EM ? EN ?若存在,求点 E 的坐标;若不 存在,说明理由;
???? ? ???? ??? ? ??? ? ②已知常数 l ? 0 ,求 PM ? PN ? l PA ? PB 的取值范围.

N
(第 20 题)

高二数学 试卷

第 4 页 共 4 页


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