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广东省东莞市四校2013-2014学年高二数学下学期期中联考试题 理 新人教A版


四校联考 2013—2014 学年度第二学期期中考试 高二年级数学科理科试卷
第Ⅰ部分 选择题(共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确。 请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。 )

?i ?
1.复数

1 i=
1 i B. 2
2





A. ? 2i

C.0

D. 2i )

2.一个物体的运动方程为 s ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体, 在 3 秒末的瞬时速度是 ( 米/秒 A.2 B.4 C.6 D.8

y ? 4x 2 ?
3. 函数

1 x 单调递增区间是(
B. (??,1)



A. (0,??)

1 ( ,?? ) C. 2


D. (1,??)

4.函数 y ? ln(x ? 2) 在点 (?1,0) 处的切线方程为( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0

C. x ? 2 y ? 1 ? 0
2

D. x ? 2 y ? 1 ? 0

1? 2 ? 3 ?
5.在用数学归纳法证明 上加上的项是(
2 A. k ? 1

n4 ? n2 ?n ? (n ? N * ) 2 时,则当 n ? k ? 1 时左端应在 n ? k 的基础
B. (k ? 1)
2



(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2 C.
6.

D. (k ? 1) ? (k ? 2) ?
2 2

? (k ? 1)2 .

?

2

0

(2 x ? 5)dx

等于( B. 11

) C. 14
2

A. 9

D. 18

7.一质点运动的速度与时间关系为 v(t ) ? t ? t ? 2 ,质点作直线运动,则此质点在时间 [1,2]内的位移是 ( )

17 A. 6

14 B. 3

13 C. 6

11 D. 6
1

x? ?2 x? 2 x x 8.已知 x ? (0, ??) ,观察下列各式: ,

1

4

?

27 x x x 27 x x 4 x? 3 ? ? ? ? 3 ?4 ? ? 2 ?3 3 3 3 x 2 2 x x , , . . . ,类比

x?
有 A. n

a ? n ?1 xn ( n ? N ? ),则 a ? (
B. 2 n C. n
2

) D. n
n

9.已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系式为

1 y ? ? x3 ? 81x ? 234 3 ,则使该生产厂家获得最大利润的年产量为(
A.7 万件 B.9 万件 C.11 万件

) D.13 万件

3 2 ?? 10. 对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) , 给出定义: 设 f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ( x)

x ( x , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” 是 f '( x) 的导数,若方程 f ''( x) ? 0 有实数解 0 ,则称点 0 。某同学
经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中

g ( x) ?
心。设函数 A. 2011

? 1 ? ? 2 ? ? 2012? 1 3 1 2 5 g? ? ? g? ? ? ... ? g ? ? x ? x ? 3x ? ? 2013? ? 2013? =( 3 2 12 ,则 ? 2013?
B. 2012 C. 2013 D. 2014

)

第Ⅱ部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案填在答题卡中相应的位置上。 )

m?i 11.若 1 ? i

是纯虚数,则实数 m 的值为_______

12.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 7 个等式为



? 13、如右图,是定义域为 R 的函数 f ( x) 的图象, f '( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,则不等式 xf ( x) ? 0 的解
集为

y
4 2 1 -2
-1

O

1

x

-2

? ax ? bx ? cx(a ? 0) 14.已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ?1 时,函数取极值
3 2

2

, 1?,均有 1;若对任意的 x1,x2 ? ?? 1

f (x1 ) ?f (x2 )? s

成立,则 s 的最小值为__________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15. (本小题 12 分) 已知复数 z ? (m ? 5m ? 6) ? (m ? 2m ? 15)i (m ? R) ,试求 m 为何值时,
2 2

(1) z 为实数? (2) z 所对应的点落在第三象限?

16.(本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已知函数

1 3 1 2 x ? ax ? 3x 3 2 .

(1)若 f ( x ) 在 x ? 3 处有极值,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求 f ( x ) 在区间 [0, 4] 上的最大值.

17. (本小题 14 分)

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 。 设 二次函数
求 函数f ( x) 的表达式; 求函数 f ( x) 的图像与直线 x+y-1=0 所围成的图形的面积。

18.某地区预计从 2013 年初开始的第 x 月,商品 A 的价格

f ( x) ?

1 2 ( x ? 12 x ? 69 ) 2 ( x ? N , x ? 12 ,价
3

格单位:元) ,且第 x 月该商品的销售量 g ( x) ? x ? 12 (单位:万件).(1)2013 年的最低价格是多少? (2)2013 年的哪一个月的销售收入最少?

19、数列

?a n ? 的前 n 项和为 S n ,满足
a3 , a4 ;

an ?

Sn 1 a ? n?2n ? 1? ,且 1 3 .

(Ⅰ)求 a 2 ,

(Ⅱ)猜想数列

?a n ? 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

20. (本小题满分 14 分)

f ( x) ?
已知

a ln x ? ln x g ( x) ? x x , x ? ?0, e? ,其中 e 是无理数且 e=2.71828 ,

,a?R .

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间与极值;

f ( x) ? g ( x) ?
(2)求证:在(1)的条件下,

1 2;

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 ?1 ?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

2013-2014 学年度第二学期四校联考 高二年级数学科理科参考答案 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. ) 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 D 6 C 7 A 8 D 9 B 10 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
4

11.___1__

12. 7 ? 8 ? 9 ? ? ? 19 ? 169 14. 2

13. (1,??) ? (?1,0)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。 ) 15.(本小题满分 12 分) 已知复数 z ? (m ? 5m ? 6) ? (m ? 2m ? 15)i (m ? R) ,试求 m 为何值时,
2 2

(1) z 为实数? (2) z 所对应的点落在第三象限?
2 解: (1)Z 为实数,则虚部为 0,即 m ? 2m ? 15 ? 0 ,解得 m ? ?3 或 m ? 5 ??5 分

2 ? ?m ? 5m ? 6 ? 0 ? 2 ?m ? 2m ? 15 ? 0 (2) ? ???????????????????????7 分

?? 3 ? m ? ?2 ? ? 3 ? m ? 5 ?????????????????????????11 分 解得: ?
,故 m ? (?3,?2) ???????????????????????????12 分 16.(本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已知函数

1 3 1 2 x ? ax ? 3x 3 2 .

(1)若 f ( x ) 在 x ? 3 处有极值,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求 f ( x ) 在区间 [0, 4] 上的最大值.

? 解: (1) f ( x) ? x ? ax ? 3 .
2

?????1 分

f ( x ) 在 x ? 3 处有极值, ? f ?(3) ? 9 ? 3a ? 3 ? 0 ,
即a ? 2. ?????3 分 ?????4 分

? f ?( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) .
? ? 当 x ? (?1,3) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (3, ??) 时, f ( x) ? 0 ,
∴ f ( x ) 在 x ? 3 处取得极值时, a ? 2 . ?????5 分 ?????6 分

f ( x) ?
(2)在(1)的条件下,
'

1 3 x ? x 2 ? 3x ' 2 3 , f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,
?????7 分
5

令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 3 ,

由(1)知函数 f ( x ) 在 x ? ?1 和 x ? 3 处有极值.

?????8 分

又 f (0) ? 0 , f (3) ? ?9 ,

f (4) ? ?

20 3 ,

?????11 分 ?????12 分

∴ f ( x ) 在区间 [0,4] 上的最大值为 f (0) ? 0 . 17. (本小题 14 分)

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 。 设 二次函数
求 函数f ( x) 的表达式; 求函数 f ( x) 的图像与直线 x+y-1=0 所围成的图形的面积。

? 解: (1) f ( x) ? 2ax ? b ??????????????????????????1 分

由题知,

? 2a ? 2 ? ? b?2 ?b 2 ? 4ac ? 0 ?

??????????????????????????4 分

?a ? 1 ? ?b ? 2 ?c ? 1 解得 ? ???????????????????????????????6 分

所以,f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ?????????????????????????7 分

? y ? x 2 ? 2x ? 1 由? 解得x1 ? ?3, x2 ? 0 y ? ? x ? 1 (2) ? ????????????????9 分
所以 S ? ?
0 ?3

[(? x ? 1) ? ( x 2 ? 2 x ? 1)]dx

??????????????????11 分

0 1 3 9 ? ? (? x 2 ? 3x)dx ? ?( x 3 ? x 2 ) |0 ?3 ? ?3 3 2 2 ????????????????14 分

18、某地区预计从 2013 年初开始的第 x 月,商品 A 的价格

f ( x) ?

1 2 ( x ? 12 x ? 69 ) 2 ( x ? N , x ? 12 ,价

格单位:元) ,且第 x 月该商品的销售量 g ( x) ? x ? 12 (单位:万件).(1)2013 年的最低价格是多少? (2)2013 年的哪一个月的销售收入最少?

1 ? f ( x) ? [( x ? 6) 2 ? 33],? 2 解: (1) 当 x ? 6 时, f ( x) 取得最小值,
即第 6 月的价格最低,最低价格为 16.5 元;?????????4 分 (2)设第 x 月的销售收入为

y (万元) ,依题意有
6

y?

1 2 1 ( x ? 12 x ? 69)( x ? 12) ? ( x 3 ? 75 x ? 828) 2 2 ,?????????6 分 1 3 (3x 2 ? 75) ? ( x ? 5)( x ? 5) 2 2 ,??????????????7 分

? y? ?

? y 所以当 1 ? x ? 5 时 y ? 0 , 递减;????????????????9 分 ? y 当 5 ? x ? 12 时 y ? 0 , 递增,?????????????????11 分
所以当 x ? 5 时, y 最小,即第 5 个月销售收入最少. ????????13 分 答:2013 年在第 5 月的销售收入最低. ???????????????14 分

19、数列

?a n ? 的前 n 项和为 S n ,满足
a3 , a4 ;

an ?

Sn 1 a1 ? n?2n ? 1? ,且 3.

(Ⅰ)求 a 2 ,

(Ⅱ)猜想数列

?a n ? 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
1 1 1 a3 ? a4 ? 3? 5 ; 5? 7 ; 7 ? 9 ??????????????3 分

解: (Ⅰ)

a2 ?

(Ⅱ)猜想数列

?a n ? 的通项公式为

an ?

1 ( 2n ? 1)(2n ? 1) ????????6 分

下面用数学归纳法进行证明: 当 n ? 1 时,

a1 ?

1 1 ? 3 ( 2 ? 1 ? 1)(2 ? 1 ? 1) ,猜想成立.??????7 分
ak ? 1 ( 2k ? 1)(2k ? 1) 成立,??????????8 分 S k ?1 ( k ? 1)?2k ? 1? ,得 S k ?1 ? ?k ? 1??2k ? 1?a k ?1

假设当 n ? k 时,

则当 n ? k ? 1 时,由

a k ?1 ?

ak ?


Sk k ?2k ? 1? ,得 S k ? k ?2k ? 1?a k ks5??????10 分

两式作差得: 即

S k ?1 ? S k ? ?k ? 1??2k ? 1?ak ?1 ? k ?2k ? 1?ak

ak ?1 ? ?k ? 1??2k ? 1?ak ?1 ? k ?2k ? 1?ak ?????11 分
2

?2k

? 3k ak ?1 ? k ?2k ? 1?ak

?

7

a k ?1 ?

2k ? 1 2k ? 1 1 1 ak ? ? ? 2k ? 3 2k ? 3 ?2k ? 1??2k ? 1? ?2k ? 1??2k ? 3? ,所以猜想成立. 1 ( 2n ? 1)(2n ? 1) .????????14 分

??????????????????????????????????13 分

an ?
综上所述,对一切正的自然数都有 20. (本小题满分 14 分)

f ( x) ?
已知

a ln x ? ln x g ( x) ? x x , x ? ?0, e? ,其中 e 是无理数且 e=2.71828 ,

,a?R .

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间与极值;

f ( x) ? g ( x) ?
(2)求证:在(1)的条件下,

1 2;

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 ?1 ?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

f ( x) ?
解: (1)当 a=1 时,

1 x ?1 ? ln x f ?( x) ? 2 x x , x ? ?0, e? ,

(1 分)

f ?( x) ?


x ?1 ?0 x2 ,得 x=1.
(2 分) (3 分)

? 当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减; ? 当 x ? (1, e) 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增.

所 以 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ( 0 , 1 ) ,单调递增区间为(1,e) , f ( x) 的 极 小 值 为 f (1) ? 1 . (4 分) (2)由(1)知 f ( x) 在 ?0, e?上的最小值为 1. (5 分)

h( x ) ? g ( x ) ?


1 ln x 1 1 ? ln x ? ? h ?( x) ? ? ? x ? 0 , e 2 x 2, x2 . ,所以

(6 分) (7 分)

当 x ? (0, e) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 在 ?0, e?上单调递增,

?

所以

h( x) max ? h(e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? f ( x) min e 2 2 2 . f ( x) ? g ( x) ? 1 2.

故在(1)的条件下,

(8 分)

8

f ( x) ?
(3)假设存在实数 a,使

a ? ln x x ( x ? ?0, e? )有最小值-1.

f ?( x) ? ?
因为

a 1 x?a ? ? 2 x2 x x ,

(9 分)

? ①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 ?0, e?上单调递增,此时 f ( x) 无最小值; (10 分) ? ? ②当 0 ? a ? e 时,当 x ? (0, a) 时, f ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在(0,a)单调递减;当 x ? (a, e) 时, f ( x) ? 0 ,
故 f ( x) 在(a,e)单调递增; (11 分)

所以

f ( x) min ? f (a) ?

a 1 ? ln a ? ?1 a? 2 a e ,满足条件; ,得

(12 分)

? ③当 a ? e 时,因为 0 ? x ? e ,所以 f ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 ?0, e?上单调递减.
f ( x) min ? f (e) ? a ? ln e ? ?1 e ,得 a ? ?2e (舍去) ; 1 e 2 ,使得 f ( x) 在 ?0, e?上的最小值为-1.

(13 分)

a?
综上,存在实数

(14 分)

9


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