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南京师大附中2012届高三上学期期中考试数学试题


南京师大附中 2011~2012 学年度第一学期 高三年级期中考试数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1、已知集合 A={x|0<x<2,x∈R},B={x|x2≤1},则 A∩B= 。 2、“x=y”是“|x|=|y|”的 条件。 (填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”) 3、已知 x ? ( ?
?
2 , 0 ), c o s x ? 1 2?i 4 5 , 则 ta n 2 x ?

。 象限。 。

4、在复平面内,复数 z ?

对应的点位于第

5、在等比数列{an}中,若 a7a9=4,a4=1,则 a12=

1, x ? 0 ? 6、已知符号函数 sgnx= ? 0 , x ? 0 ,则不等式(x+1)sgnx>2 的解集是 ? ? 1, x ? 0



7、已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=3,a、b 之间的夹角为 600,则 a· (a+b)= 。 8、已知数列{an}的各项都为正数,它的前三项依次为 1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式 an= 9、△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 c=3,C= 10、曲线 y ?
x x?2

。 。

?
3

,a=2b,则 b 的值为

在点(-1,-1)处的切线方程为

。 。 。

11、已知函数 y=sin(ωx+ψ)(ω>0,|ψ|<π)的图像如图所示,则 ψ= 12、在△ OAC 中,B 为 AC 的中点,若 O C ? x O A ? y O B ,则 x-y=
???? ??? ? ??? ?

13、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1,f’(x)为 f(x)的导函数,已知 y=f’(x)的图像如图所示,若两个正数 a、b 满足 f(2a+b)<1,则 y 1
2? 3 b ?1 a ?1

的取值范围是 C

。 y

B xO A O 第 13 题图 x

O -1

?
6

第 11 题图

第 12 题图

14、某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种在点 Pk(xk,yk)处,其中 x1=1,y1=1,当 k≥2 时,
? 5 5 ? k ?1 k ?2 ?y ? y ?T( )?T( ) k k ?1 5 5 x k ? x k ? 1 ? 1 ? 5[ T ( k ?1 )?T( k ?2 )]

,T(a)表示非负实数 a 的整数部分,例如 T(2.6)=2,T(0.2)=0。

则第 2011 棵树的种植点的坐标为


—1—

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15、 (本题满分 14 分) 已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x,x∈R. (1)当 x 取何值时,f(x)取得最大值,并求其最大值。 (2)若 θ 为锐角,且 f (? ?
?
8 )? 2 3

,求 tanθ 的值。

16、 (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,E、F、G、H 分别是 AB、AC、PC、BC 的中点且 PA=PB,AC=BC。 (1)证明 AB⊥PC; P (2)证明:PE∥平面 FGH。 G

A E B

F H 第 16 题图

C

—2—

17、已知椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 过点 P(1,

6 2

) ,且 c= 2 ,定点 A 的坐标为(1,0) 。

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 Q 的 C 上的动点,求 QA 的最大值。

18、某企业在第 1 年初购买价值为 120 万元是设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年起,每年初 M 的价值是上年初价值的 75﹪. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 A n ?
a 1 ? a 2 ? ... ? a n n

,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,求须在

第几年初对 M 更新。

—3—

19、已知函数 f(x)=lnx,g(x)=-x2+ax. (1)函数 h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求 a 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设 ψ(x)=e2x+aex,x∈[0,ln2],求函数 ψ(x)的最小值。

20、在数列{an}中,已知 a1=p>0,且 an+1·n=n2+3n+2,n∈N*. a (1)若数列{an}是等差数列,求 p 的值; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)当 n≥2 时,求证: ?
i ?1 n

2 ai
2

?

n ?1 n ?1



—4—

南京师大附中 2011-2012 学年度第 1 学期 高三年级期中考试数学试卷答案
1.(0,1] 8. 3 n ? 1 2.充分不必要 9. 3 3. ?
24 7

4.四 11.
?
6

5.4 12. ? 3

6. ( ?? , ? 3 ) ? (1, ?? ) 13. ( , 5 )
3 1

7.

5 2

10. y ? 2 x ? 1

14.(1,403)

15.(1) 解: f ? x ? ? 2 sin x co s x ? co s 2 x ? sin 2 x ? co s 2 x
? ? 2 ? 2 2? s in 2 x ? cos 2 x ? ? ? 2 ? 2 ? ?

? ? ? 2 s in ? 2 x ? ?. 4 ? ?

∴当 2 x ?
? ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,即 x ? k ? ?
? ?

?
8

( k ? Z ) 时,函数 f

? x ? 取得最大值,其值为
∴ c o s 2? ?
1 3

2 .

(2)∵ f ? ? ?

? ?

? ? 8 ?

2 3

, ∴ 2 s in ? 2 ? ?
?
2

? ?

?? 2 ?

2 3

.

.

∵ ? 为 锐 角 , 即 0?? ?
ta n 2 ? ? s in 2 ? c o s 2? ? 2

,
2 ta n ?

∴ 0 ? 2? ? ? .
? 2

∴ s in 2? ?

1 ? c o s 2? ?
2

2 3

2

.



2

.



1 ? ta n ?
2

2

.



2 tan ? ? tan ? ?
2

2 ? 0 .



?

2 tan ? ? 1

? ? tan ? ?

2 ? 0 .∴ ta n ? ?

?

2 2

或 tan ? ? ? 2 (不合题意,舍去)

.

16. 解: (1)证明:连接 EC, 有 EC ? AB 又? PA ? PB ,
? AB ? PE

? AB ? 面 PEC , PC ? 面 PEC ? AB ? PC

(2)连结 FH,交于 EC 于 R.
? PE ? FHG .GR ? 面 FHG .
2 2

连接 GR. 在 ? PEC 中 , GR // PE .
? PE // 面 FHG .

?a ? b ? 2 ?a ? 2 ? ? ? 17. 解: (1) ? 1 3 ?1 ?b ? 2 ? 2 ? 2 2b ?a
m 4
QA
2

?

x

2

?

y

2

?1

4

2

2

(2)设 Q(m,n)



?

n

2

?1
m 4 1 2

2
? ( m ? 1 ) ? 2 (1 ?
2

? ( m ? 1) ? n
2

2

)

2

?

(m ? 2) ? 1
2

?2? m ? 2

当 m= -2 时, QA

max

? 3
—5—

18. 解: (I)当 n ? 6 时,数列 { a n } 是首项为 120,公差为 ? 1 0 的等差数列.
a n ? 1 2 0 ? 1 0 ( n ? 1) ? 1 3 0 ? 1 0 n ; 当 n ? 6 时, 数列 { a n } 是以 a 6 为首项, 公比为
3 4

为等比数列, a 6 ? 7 0 , 又

所以 a n ? 7 0 ? ( )
4

3

n?6

;

?1 2 0 ? 1 0 ( n ? 1) ? 1 3 0 ? 1 0 n , n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 a n 的表达式为 a n ? ? 3 n?6 an ? 70 ? ( ) , n ? 7 ? ? 4

(II)设 S n 表示数列 { a n } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, S n ? 1 2 0 n ? 5 n ( n ? 1), A n ? 1 2 0 ? 5( n ? 1) ? 1 2 5 ? 5 n ;
S n ? S 6 ? (a7 ? a8 ? ? ? a n ) ? 5 7 0 ? 7 0 ? 3 3 n?6 3 n?6 ? 4 ? [1 ? ( ) ] ? 7 8 0 ? 2 1 0 ? ( ) 4 4 4

当 n ? 7 时,

3 n?6 780 ? 210 ? ( ) 4 An ? . n

因为 { a n } 是递减数列,所以 { A n } 是递减数列,又
3 8?6 3 9?6 780 ? 210 ? ( ) 780 ? 210 ? ( ) 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 8 0 , A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96

所以须在第 9 年初对 M 更新. 19. 解: (I)依题意: h ( x ) ? ln x ? x ? ax ? h ( x ) 在(0,+ ? )上是增函数,
2

? h'(x) ? ?a ? 1 x

1 x

? 2 x ? a ? 0 对 x ∈(0,+ ? )恒成立, 1 x
2

? 2 x ,? x ? 0 ,则

? 2x ? 2

2.

? b 的取值范围是 ( ? ? , 2

2].

x (II)设 t ? e ,则函数化为 y ? t ? at , t ? [1, 2 ]

? y ? (t ?

a 2

) ?
2

a

2

当?

a 2

? 1 ,即 ? 2 ? a ? 2

2 时,函数 y 在[1,2]上为增函数,

4

当 t ? 1 时, y min ? a ? 1 ;
当1 ? ? 当? a a 2 ? 2 , 即 ? 4 ? a ? ? 2时 , 当 t ? ? a 2 时 ,y
min

? ? ,

a

2

;

4

? 2 , 即 a ? ? 4时 , 函数 y 在 [1, 2 ]上是减函数 2 当 t ? 2 时, y min ? 2 a ? 4 .

—6—

? a ? 1, ? 2 ? a ? 2 2 ; ? 2 ? a 综上所述: ? ( x ) ? ? ? , ? 4 ? a ? ? 2; 4 ? ?2 a ? 4, a ? ?4. ?

20. 解: (1)设数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd. 由题意得,[a1+(n-1)d](a1+nd)=n2+3n+2 对 n∈N*恒成立. 即 d2n2+(2a1d-d2)n+(a12-a1d)=n2+3n+2.

? ?d =1,2 ?d=1, ?d=-1, 所以?2a1d-d =3,即? 或? ?a1=2, ?a1=-2. ? ?a12-a1d=2,
因为 a1=p>0,故 p 的值为 2. ……………………………………………………3 分 (2)因为 an+1?an=n2+3n+2=(n+1)(n+2),所以 an+2?an+1=(n+2)(n+3). an+2 n+3 所以 = . ……………………………………………………………………5 分 an n+1 a3 4 a5 6 an n+1 ①当 n 为奇数,且 n≥3 时, = , = ,…, = . a1 2 a3 4 an-2 n-1 n+1 an n+1 相乘得 = ,所以 an= p.当 n=1 时也符合. a1 2 2 a4 5 a6 7 an n+1 ②当 n 为偶数,且 n≥4 时, = , = ,…, = . a2 3 a4 5 an-2 n-1 n+1 an n+1 相乘得 = ,所以 an= a. a2 3 3 2 2(n+1) 6 因为 a1?a2=6,所以 a2= .所以 an= ,当 n=2 时也符合. p p

2

?n+1p,(n为奇数) 2 所以数列{a }的通项公式为 a =? 2(n+1) ? p ,(n为偶数)
n n

………………………7 分

n n n (1+ ) (3+n+1) 2 2 22 6 10 n 2(n+1) 当 n 为偶数时,Sn=p+ +2p+ +…+ p+ =p? + ? p p 2 p 2 p 2 = n(n+2) n(n+4) p+ . 8 2p

6 10 14 2n n+1 当 n 为奇数时,Sn=p+ +2p+ +3p+ +…+ + p p p p p 2 n+1 n+1 n-1 (1+ ) (3+n) 2 2 (n+1)(n+3) (n-1)(n+3) 2 2 =p? + ? = p+ . 2 p 2 8 2p

?(n+1)(n+3)p+(n-1)(n+3),(n为奇数) 8 2p 所以 S =? n(n+2) n(n+4) ? 8 p+ 2p ,(n为偶数).
n

………………………10 分

—7—

n

(3)当 n 为偶数时, ∑

+ 2≥4( + +…+ ) 2= 2+ 2+ 2+…+ a1 a2 a3 a1a2 a3a4 an-12 an an-1an i=1ai 1 1 1 =4[ + +…+ ] 2× 4× 3 5 n× (n+1) 1 1 1 1 1 >2[ + + +…+ + ] 2× 3× 4× 3 4 5 n× (n+1) (n+1)× (n+2) 1 1 1 1 1 1 n =2( - + - +…+ - )= .…………13 分 2 3 3 4 n+1 n+2 n+2
n

2

2

2

2

2

2

1

1

1

当 n 为奇数,且 n≥2 时, ∑

+ 2 2= 2+ 2+ 2+…+ a1 a2 a3 an-12 an i=1ai

2

2

2

2

2

2

1 1 1 2 1 1 1 ≥4( + +…+ )+ 2>4( + +…+ ) a1a2 a3a4 2× 4× 3 5 an-2an-1 an (n-1)× n n-1 1 1 1 1 >2( + +…+ + )= . 2× 3× 3 4 (n-1)× n× n (n+1) n+1 …………………………………………………………15 分 n-1 n 又因为对任意 n∈N*,都有 < , n+1 n+2
n

故当 n≥2 时, ∑

.…………………………………………………………16 2> n+1 i=1ai

2

n-1



—8—


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