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高中数学几类递推数列的通项公式的求解策略-苏教版必修5

几类递推数列的通项公式的求解策略 已知递推数列求通项公式,是数列中一类非常重要的题型,也是高考的热点之一.数列的递推 公式千变万化,由递推数列求通项公式的方法灵活多样,下面谈谈它们的求解策略. 一、 an?1 ? an ? f (n) 方法:利用叠加法 a2 ? a1 ? f (1) , a3 ? a2 ? f (2),?, an ? an?1 ? f (n ? 1) , a n ? a1 ? ? f (k ) . k ?1 n ?1 例 1.数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? 解:由 1 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项公式. n ?n 2 1 得 (n ? 1) ? (n ? 1) n ?1 n ?1 1 1 1 1 1 = an ? a1 ? ? 1 ? ( ? ) =1 ? 1 ? = 2 ? ? 2 n n k ?1 k ?1 k k ?1 (k ? 1) ? (k ? 1) 例 2.数列 {an } 满足 nan?1 ? (n ? 1)an ? 1 ,且 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式. 分析:注意到左右两边系数与下标乘积均为 n(n ? 1) ,将原式两边同时除以 n(n ? 1) ,变形为 a a n ?1 a n 1 1 .令 bn ? n ,有 bn ?1 ? bn ? ,即化为类型 1 , 以下略. ? ? n n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1) a ? an f (n) 二、 n?1 a n ?1 ? a n ? 2 方法:利用叠代法 a2 ? a1 f (1) , a3 ? a2 f (2),?, an ? an?1 f (n ? 1) , a n ? a1 ? f ( k ) . k ?1 n ?1 例 3.数列 {an } 中 a1 ? 2 ,且 a n ? (1 ? 解:因为 a n ?1 ? [1 ? 1 )a n ?1 ,求数列 {an } 的通项. n2 1 ]a n ,所以 (n ? 1) 2 n ?1 n ?1 n ?1 k k ? 2 n ?1 1 a n ? a1 ? f ( k ) = 2 ?[1 ? 2 ?[ ? ]= = ] 2 k ?1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ?1 n (k ? 1) 三、 an?1 ? pan ? q ,其中 p, q 为常数,且 p ? 1, q ? 0 当出现 an?1 ? pan ? q (n ? N ) 型时可利用叠代法求通项公式,即由 an?1 ? pan ? q 得 ? an ? pan?1 ? q ? p( pan?2 ? q) ? q ? ? ? p n?1a1 ? ( p n?2 ? p n?3 ? ? ? p 2 ? p ? 1)q = q( p n?1 ? 1) ( p ? 1) 或者利用待定系数法,构造一个公比为 p 的等比数列,令 p ?1 q q } 是一个公比为 p 的等比数 ,从而 {a n ? an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,则 ( p ? 1)? ? q, 即 ? ? p ?1 p ?1 3 2 ? ?1 ,可将问题转化为等比数列求解.待定系数法有时 列.如下题可用待定系数法得 ? ? 1 ? ?1 2 a1 p n?1 ? 比叠代法来地简便. 3 ? a n ?1 1 , an ? , n ? 2,3,4,?,求数列 {an } 通项公式. 2 2 3 ? an ?1 1 1 3 ? ? an ?1 ? , n ? 2,3,4,?,∴ k ? ?1 , 解:令 an ? k ? ? ? an ?1 ? k ? ,又∵ an ? 2 2 2 2 1 1 1 1 ∴ a n ? 1 ? ? ( a n ?1 ? 1) , 又 a1 ? , ∴ {an ? 1} 是 首 项 为 ? , 公 比 为 ? 的 等 比 数 列 , 即 2 2 2 2 1 n ?1 1 n a n ? 1 ? (a1 ? 1)( ? ) ,即 an ? ( ? ) ? 1 . 2 2 四、 an?1 ? pan ? qan?1 (n ? 2) , p, q 为常数 例 4.设数列 {an } 的首项 a1 ? 方法:可用下面的定理求解:令 ? , ? 为相应的二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根(此方程又称为 特征方程),则当 ? ? ? 时, an ? A? n ? B? n ;当 ? ? ? 时, an ? ( A ? Bn)? n?1 ,其中 A, B 分别 由初始条件 a1 , a 2 所得的方程组 ? ? A? ? B ? ? a1 , 2 2 ? A? ? B ? ? a2 ? an ?1 ? ? an ? 2bn (1) 例 5.数列 {an } , {bn } 满足: ? ,且 a1 ? 2 , b1 ? 4 ,求 an , bn . ?bn ?1 ? 6an ? 6bn (2) 和? ? A ? B ? a1 , 唯一确定. ?( A ? 2 B )? ? a2 1 1 bn ?1 ? bn , a n ?1 ? bn ? 2 ? bn ?1 ,代入到 (1) 式中,有 6 6 28 bn?2 ? 5bn?1 ? 6bn ,由特征方程可得 bn ? ?12 ? 2n ? ? 3n ,代入到 ( 2) 式中,可得 3 14 an ? 8 ? 2n ? ? 3n . 3 说明:像这样由两个数列 {an } , {bn } 构成的混合数列组求通项问题,一般是先消去 an 解:由 ( 2) 得 a n ? (或 bn ),得到 bn?2 ? pbn?1 ? qbn?1 (或 an?2 ? pan?1 ? qan?1 ),然后再由特征方程方法求解. 五、 an?1 ? pan ? f (n) 型,这里 p 为常数,且 p ? 1 例 6.在数列 {an } 中,

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