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2014届高考数学二轮专题复习常考问题6 三角函数的图象与性质


常考问题 6

三角函数的图象与性质

(建议用时:50 分钟)

? π? 1.(2013·青岛模拟)将函数 y=sin?x- ?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 3? ?
π 坐标不变),再将所得图象向左平移 个单位,则所得函数图象对应的解析式为 3 ( ).

?1 π ? A.y=sin? x- ? 3? ?2
1 C.y=sin x 2

π? ? B.y=sin?2x- ? 6? ?

?1 π ? D.y=sin? x- ? 6? ?2

?1 π ? 解析 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 y=sin? x- ?的图象,然 3? ?2
π ?1? π ? π ? ?1 π ? 后将所得图象向左平移 个单位得到 y=sin? ?x+ ?- ?=sin? x- ?的图象. 3 6? 2 3 3 ? ?2 ? ? ? 答案 D 2.(2013·浙江卷)已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0,φ ∈R),则“f(x)是奇函 π 数”是“φ = ”的 2 A.充分不必要条件 C .充分必要条件 解析 B.必要不充分条件
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(

).

D.既不充分也不必要条件

π? π ? φ = ? f(x)=Acos?ω x+ ?=-Asin ω x 为奇函数,∴“f(x)是奇函数”是 2? 2 ?

π “φ = ”的必要条件. 2 π π 又 f(x)=Acos(ω x+φ )是奇函数? f(0)=0? φ = +kπ (k∈Z)D/? φ = . 2 2 π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ = ”的充分条件. 2 答案 B π ?π ? 3.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0)的图象关于直线 x= 对称,且 f? ?=0,则 ω 3 ?12? 的最小值为 A.2 B.4 C.6 ( D.8 ).

π ?π ? ?π ? 解析 由 f? ?=0 知? ,0?是 f(x)图象的一个对称中心,又 x= 是一条对称轴,所 3 ?12? ?12 ?

ω >0, ? ? 以应有?2π ?π π ? 解得 ω ≥2,即 ω 的最小值为 2,故选 A. ≤4? - ?, ? ? 3 12? ?ω 答案 A 4.(2013·湖北卷)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度 后,所得到的 图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 π A. 12 解析 π B. 6 C. π 3 ( ). D. 5π 6

y = 3 cos x + sin x = 2sin ?x+ ? , 向 左 平 移 m 个 单 位 长 度 后 得 到 y = 3

? ?

π?

?

π π π ? π ? 2sin?x+ +m?,由它关于 y 轴对称可得 sin( +m)=±1,∴ +m=kπ + ,k∈Z, 3 3 3 2 ? ? π π ∴m=kπ + ,k∈Z,又 m>0,∴m 的最小值为 . 6 6 答案 B

? ?π ?? 5.已知函数 f( x)=sin(2x+φ ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤?f? ?? 对 x∈R 恒成立,且 ? ? 6 ??
f ? ?<f(π ),则下列结论正确的是 ?2?

?π ?

(

).

?11 ? A.f ? π ?=-1 ?12 ?
C.f(x)是奇函数

?7π ? B.f ? ?>f ? 10 ?

?π ? ?5? ? ?

π π? ? D.f(x)的单调递增区间是?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 3 6? ?

π π π ? ?π ?? 解析 由 f(x)≤?f? ?? 恒成立知 x= 是函数的对称轴,即 2× +φ = + 6 6 6 2 ? ? ??

kπ ,k∈Z,所以 φ = +kπ ,k∈Z,又 f ? ?<f(π ),所以 sin (π +φ )< 6 ?2?
π sin(2π +φ ),即-sin φ <sin φ .所以 sin φ >0,得 φ = , 6 π? π π π π ? 即 f(x)=sin ?2x+ ?,由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- + 6? 2 6 2 3 ? π π? π ? kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z,即函数的单调递增区间是?kπ - ,kπ + ?(k ∈Z). 6

π

?π ?

?

3

6?

答案 D

?π ? 1 ?π ? 6.若 sin? +α ?= ,则 sin? +2α ?=______. 3 6 3 ? ? ? ?
解析 7 . 9 7 答案 - 9

?π ? ?π π ? ?2π +2α ?=2sin2?π +α ?-1=- sin? +2α ?=-cos? + +2α ?=-cos? ? ?3 ? ?6 ? ?2 6 ? ? 3 ? ? ?

? π? ?π π ? 7 .若函数 f(x)=sin ω x(ω >0)在区间?0, ?上单调递增,在区间? , ?上单调递减, 3? ? ?3 2?
则 ω =________ . π 解析 由题意知 f(x)的一条对称轴为直线 x= ,和它相邻的一个对称中心为原点,则 3

f(x)的周期 T=
答案 3 2

4π 3 ,从而ω = . 3 2

π 8.已知函数 f(x)=3sin(ω x- )(ω >0)和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象的对称中心完全相 6

? π? 同,若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是______. 2? ?
解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω =2,所以

f(x)=3sin?2x- ?,那么当 x∈?0, ?时,- ≤2x- ≤ 6 2

? ?

π?

?

? ?

π?

?

π 6

π 6

5π , 6

1 π ? 3 ? 所以- ≤sin(2x- )≤1,故 f(x)∈?- ,3?. 2 6 ? 2 ?

? 3 ? 答案 ?- ,3? ? 2 ?
π 9.(2013·西安五校二次模拟)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的图 2 象的一部分如图所示.

. (1)求函数 f(x)的解析式; 2? ? (2)当 x∈?-6,- ?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3? ? 2π 解 (1)由图象知 A= 2,T=8= , ω π ?π ? ∴ω = ,得 f(x)=2sin? x+φ ?. 4 4 ? ? π π π 由 ×1+φ =2kπ + ? φ =2kπ + , 4 2 4 π? π π ?π 又|φ |< ,∴φ = .∴f(x)=2sin? x+ ?. 4? 2 4 ?4 π? π? ?π ?π (2)y=2sin? x+ ?+2sin? (x+2)+ ? 4? 4? ?4 ?4
[来源:Zxxk.Com]

π? π? ?π ?π =2sin? x+ ?+2cos? x+ ?. 4? 4? ?4 ?4 =2 2sin?

?π x+π ?=2 2cosπ x, 2? 4 ?4 ?

[来源:学。科。网]

2? ? ∵x∈?-6,- ?, 3? ? π? π π π 2 ? 3π ∴ x∈?- ,- ?,∴当 x=- ,即 x=- 时,y 的最大值为 6; 2 6 4 4 6 3 ? ? π 当 x= -π ,即 x=-4 时,y 的最小值为-2 2. 4 10.已知函数 f(x)=2sin ω x·cos ω x+2 3cos ω x- 3(其中 ω >0),且函数 f(x)的周 期为π . (1)求 ω 的值; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度, 再将所得图象各点的横坐标缩小到原 4 1 ? π π? 来的 倍(纵坐标不 变)得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在?- , ?上的单调区 2 ? 6 24? 间. 解 (1) 因 为 f(x) = 2sin ω x · cos ω x + 2 3cos ω x - 3 = sin 2 ω x + 3cos 2 ω x =
2 2

π? ? 2sin?2ω x+ ?, 3? ? 又因为函数 f(x)的周期为π ,且 ω >0, 2π π 所以 T= = =π ,所以 ω =1. 2ω ω
[来源:Zxxk.Com]

π? ? (2)由(1)知, f(x )=2sin?2x+ ?. 3? ? 将 函 数 y = f(x) 的 图 象 向 右 平 移 π ? π? π 个 单 位 后 得 到 函 数 y = 2sin[2 ?x- ? + ] = 4? 3 4 ?

π? 1 ? 2sin?2x- ? 的图象,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 倍(纵坐标不变),得 6? 2 ? π 到函数 g(x)=2sin(4x- )的图象. 6 π π π 由- +2kπ ≤4x- ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 得


2

π kπ π - ≤x≤ + (k∈Z); 12 2 6

[来源:Z§xx§k.Com]

π π 3π 由 +2kπ ≤4x- ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 得



π kπ 5π + ≤x≤ + (k∈Z). 2 6 2 12

? π π? ? π π? 故 函 数 g(x) 在 ?- , ? 上 的 单 调 递 增 区 间 为 ?- , ? , 单 调 递 减 区 间 为 ? 6 24? ? 12 24? ?-π ,-π ?. ? 6 12? ? ?
π ? π? 2x 11.(2013·湖南卷)已知函数 f(x)=s in?x- ?+cos(x- ),g(x)=2sin . 6? 3 2 ? 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= .求 g(α )的值; 5 (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

? π? ? π? 解 f(x)=sin?x- ?+cos?x- ? 6? 3? ? ?
= 3 1 1 3 sin x- cos x+ cos x+ sin x= 3sin x, 2 2 2 2 2

x g(x)=2sin2 =1-cos x.
3 3 3 (1)由 f(α )= ,得 sin α = , 5 5 又 α 是第一象限角,所以 cos α >0. 4 1 2 从而 g(α )=1-cos α =1- 1-sin α =1- = . 5 5 (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x, 即 3sin x+cos x≥1.

? π? 1 于是 sin?x+ ?≥ . 6? 2 ?
π π 5π 从而 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 2π 即 2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 3 2π 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z}. 3


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