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2018秋人教A版高中数学选修2-1习题:3.2.3空间向量在空间问题中的综合应用


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2018 秋人教 A 版高中数学选修 2-1 习题:3.2.3 空间向量在空 间问题中的综合应用

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 1. 在三棱锥 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA=1,PB=2,PC=3,则点 P 到三角形 ABC 重 心 G 的距离为( A. 2 B. ) C. 1 D. 中,点 分别为棱 , 中点,若平行六面体

2.如图,在平行六面体

的各棱长均相等,给出下列说法:

① ③ A. 1



;②


;④

;

∥ 平面
B. 2

∥ 平面
D. 4

,则以上正确说法的个数为(

)

C. 3

3.如图,三棱锥 A-BCD 中,AB⊥底面 BCD,BC⊥CD,且 AB=BC=1,CD=2,点 E 为 CD 的中点,则 AE 的长为

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A.

2
B.

3
C. 2 D.

5

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

4 .在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 , 有下列命题 :①( )=0;③ 号是_____. 与 的夹角为 60°;④正方体的体积为|

)2=3

;②

· (

|.其中正确命题的序

5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别是棱 BC、DD1 上的点,如果 B1E ⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

评卷人

得分 三、解答题

6. 如图,矩形 ABCD 所在的平面与平面 AEB 垂直,且∠ BAE=120° ,AE=AB=4,AD=2,F,G,H 分别为 BE,AE,BC 的中点.

(1)求证:直线 DE 与平面 FGH 平行; (2)若点 P 在直线 GF 上,且二面角 D-BP-A 的大小为 ,试确定点 P 的位置. 7.如图,ABCD 是边长为 a 的正方形,PA⊥平面 ABCD.

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(1)若 PA=AB,点 E 是 PC 的中点,求直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值; (2)若 BE⊥PC 且交点为 E,BE= a,G 为 CD 的中点,线段 AB 上是否存在点 F,使得 EF∥平 面 PAG?若存在,求 AF 的长;若不存在,请说明理由. 8.如图,在四棱锥 A-BCDE 中,底面 BCDE 是等腰梯形,BC∥ DE,∠ DCB=45° ,O 是 BC 中 点,AO= ,且 BC=6,AD=AE=2CD= .

(1)证明:AO⊥平面 BCD; (2)求二面角 A-CD-B 的平面角的正切值.

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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参考答案 1.D 【解析】 【分析】 以 P 点为坐标原点建立空间直角坐标系,得出 A、B、C 的坐标,进而得出 G 的坐标。最后 由两点间的距离公式,可得出 P、G 之间的距离。 【详解】 以 P 点为坐标原点, PA 、 PB 、 PC 所在直线为 x 、 y、 z 轴建立空间直角坐标系。易得 A 故G 所以 = = 、B 、C

【点睛】 本题主要考察利用空间直角坐标系求两点间的距离。 若三角形的三顶点坐标分别为 、 、 .则其重心坐标为

2.C 【解析】 【分析】 连接 PM,易得 显然 由①知 【详解】 连接 PM,因为 M、P 为 AB、CD 的中点,故 PM 平行且等于 AD。由题意知 AD 平行且等 于 显然 由①知 且 。故 PM 平行且等于 与 。所以 为平行四边形,故①正确。 与 为平行四边形,故①正确。

为异面直线。故②错误。



。由于

即在平面

内,又在平面

内。故③④正确

为异面直线。故②错误。



。由于

即在平面 内,又不在平面

内,又在平面 内。

内。

即不在在平面

故③④正确

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【点睛】 本题主要考察线面平行的判断。其中通过证明平行四边形得到线线平行为关键。 3.B 【解析】试题分析:连 AE,∵ △ CBD 是等腰 Rt△ , ∴ BE⊥CD 且 BE=1.AB⊥底面 BCD, ∴ AB⊥BE,由勾股定理, AE ? ? AB?? BE ? ? 1 ? 2 ? 3 ∴ AE= 3 ,故选 B。 窗体顶端 窗体底端 考点:本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。 点评:也可建立直角坐标系,根据几何体的特征,写出点的坐标。 4.①② 【解析】 【分析】 由向量的运算法则以及垂直向量其数量积为 0, 可得①正确。 由向量线性运算以及空间中 与 与 垂直可知②正确。 易得三角形 的补角为 120°,故③错误。| 为等边三角形。 又 |= , 故 | 与 夹角为

|故④错误

【详解】 ( · ( 因为 夹角为 // 与 )2= )= , · 、 、 2 0,故②正确。 均为面对角线, 所以三角形 与 |,而| 为等边三角形, 而 与 的 2 2 =3 故①正确

的补角。所以 || ||

的夹角为 120°,故③错误。 |= | |故④错误

正方体的体积为| 【点睛】

本题主要考察空间向量的线性运算。在求向量夹角时,注意判断向量的方向。 5.1 【解析】以 D1A1、D1C1、D1D 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 CE=x,DF=y,则易 知 E(x,1,1), B1(1,1,0), ∴ B1E =(x-1,0,1), 又 F(0,0,1-y), B(1,1,1), ∴ FB =(1,1, y),由于 AB⊥B1E,故若 B1E⊥平面 ABF,只需 FB · B1E =(1,1,y)·(x-1,0,1)=0?x+y =1.

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6. (1)见解析; (2)见解析 【解析】 【分析】 取 AD 中点 M,易得 M 在平面 FHG。另一方面,MG∥DE。故直线 DE 与平面 FGH 平行 以 A 为坐标原点。建立合适的坐标系,设 n1=(5-2λ, ,2 =λ =(0,2λ,0),求出平面 PBD 的一个法向量 ,即可得

)。又平面 ABP 的一个法向量为 n2=(0,0,1),又 cos<n1,n2>=

出 λ 的值。进而可求出 P 点坐标。 【详解】 (1)证明取 AD 的中点 M,连接 MH,MG. ∵G,H 分别是 AE,BC 的中点, ∴MH∥AB,GF∥AB,∴M∈平面 FGH. 又 MG∥DE,且 DE?平面 FGH,MG?平面 FGH, ∴DE∥平面 FGH. (2)解在平面 ABE 内,过 A 作 AB 的垂线,记为 AP(图略),则 AP⊥平面 ABCD. 以 A 为原点,AP,AB,AD 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz. 所以 A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2 则 设 则 =(0,2,0), =λ =(0,-4,2), =( ,-2,0),G( ,-1,0),F( ,1,0).

,-5,0).

=(0,2λ,0), =( ,2λ-5,0).

设平面 PBD 的法向量为 n1=(x,y,z), 则 取 y= ,得 z=2 ,2 ( ,x=5-2λ, ). - )

故 n1=(5-2λ,

又平面 ABP 的法向量为 n2=(0,0,1), 因此 cos<n1,n2>=
( - )

,解得 λ=1 或 λ=4. (P( ,1,0)或 P( ,7,0)).

故 【点睛】



=4

本题主要考察利用线线平行证明线面平行, 其中取中点构建三角形中位线证明线线平行为关 键。 利用空间直角坐标系解决存在问题时, 常利用向量共线用一个未知数来表示所求点的坐
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标,再利用题中所给条件列出一个方程,解得即可。 7. (1) ; (2)见解析 【解析】 【分析】 (1)以 A 为坐标原点建立坐标系,得出 PCD 所成角为 ,由 sin =|cos< (2)设 P(0,0,c)(c>0), =λ 以及平面 PCD 的一个法向量,设直线 AE 与平面

,m>|,即可求出直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值。

由 BE= a 以及 BE⊥PC 可得 λ= ,c=a 设 AF=l, 求出平面 PAG

的法向量为 n,由 · n=0 即可得出答案。 【详解】 (1) 以 A 为 原 点 , 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 , 则

A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),E

=(a,0,0),

=(0,a,-a).

设平面 PCD 的法向量 m=(x,y,z),则 取 m=(0,1,1), 则 cos< ,m>= .

-

设直线 AE 与平面 PCD 所成角为 , 则 sin =|cos< (2)G 则 设 ∴ ,m>|,所以直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .

,设 P(0,0,c)(c>0), =(-a,-a,c). =λ ,则 E((1-λ)a,(1-λ)a,λc),

=(-λa,(1-λ)a,λc).

∵BE= a,

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∴(-λa)2+[(1-λ)a]2+(λc)2= .



∵BE⊥PC,∴λa2-(1-λ)a2+λc2=0. ∴c2=
-

=a2.



由①②解得 λ= ,c=a, ∴E ,P(0,0,a).

若存在满足条件的点 F,可设 AF=l(0≤l≤a), 则 F(l,0,0), .

设平面 PAG 的法向量为 n=(s,t,p), 则 ∴n=(-2,1,0).

∵EF∥平面 PAG,∴ · n=0. ∴-2l+ a- a=0,∴l= a. ∴存在满足条件的点 F,且 AF= a. 【点睛】 本题(1)问主要考察利用空间向量法求线面角。在利用空间向量法解决存在性问题时,常 用向量共线, 通过一个未知数来表示所求点的坐标, 最后根据题中所给条件列出方程即可求 出。 8. (1)见解析; (2) 【解析】 【分析】 (1)连接 OD。在三角形 OCD 中,利用余弦定理求出 OD,在三角形 AOD 中通过验证勾股 定理可得 AD⊥ OD.同理可得 AO⊥OE。 故可得出 AO⊥ 平面 BCD.(2) 以 O 点为坐标原点, 建立空间直角坐标系, 求出平面 ACD 以及平面 BCD 的法向量。 进而可得出二面角的余弦值 以及正切值。 【详解】 (1) 证 明 易 得 OD= OC=3, 连 接 ° , OD,OE, 在 △OCD 中 , 由 余 弦 定 理 可 得

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因为 AD=2

,

所以 AO2+OD2=AD2,所以 AO⊥OD. 同理可证 AO⊥OE,又 OD∩OE=O, 所以 AO⊥平面 BCD. (2)解以 O 点为原点,建立空间直角坐标系 O-xyz(如图).

则 A(0,0, 所以

),C(0,-3,0),D(1,-2,0), ), =(-1,2, ).

=(0,3,

设 n=(x,y,z)为平面 ACD 的法向量, 则 解得 ), )为平面 CDB 的一个法向量, , 即 -

令 x=1,得 n=(1,-1, 由(1)知, =(0,0, >=

所以 cos<n,

即二面角 A'-CD-B 的平面角的正切值为 . 【点睛】 本题主要考察线面垂直的判定和利用空间向量法求二面角, 其中通过验证勾股定理证明线线 垂直为关键。

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