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2014届高考数学一轮复习 第8讲《幂函数、指数与指数函数》热点针对训练 理


第8讲

幂函数、指数与指数函数

1 2.5 2.5 0 1.(2013·广东省韶关市高三模拟)设 a=2 ,b=2.5 ,c=( ) ,则 a,b,c 的大 2 小关系 是( C ) A.a>c>b B.c> a>b C.a>b>c D.b>a>c 1 2.5 1 2 1 2.5 2 0 解析:因为 a=2 >2 =4,b=2.5 =1,c=( ) <( ) < ,故选 C. 2 2 4 f? 4? 1 2.(2012·山东省冠县武训二 次质检)若 f(x)是幂函数,且满足 =3,则 f( ) f? 2? 2 =( C ) A.3 B.-3 1 1 C. D.- 3 3 α f? 4? 4 α α 解析:设幂函数为 y=x ,则由 =3,得 α =3,即 2 =3,所以 α =log23,所 f? 2? 2 1 1 1 1 以 f( )=( )log23=2-log23 =2log2 = ,故选 C. 2 2 3 3 3.(2012·新课标提分专家高考 2 月预测)若定义运算 f(a*b)=? 函数 f(3 *3 )的值域是( A ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) x -x -x 0 解析:当 x>0 时,f(3 *3 )=3 ∈(0,1);当 x=0 时,f(3 ] 4.(2013·湖南省益阳第二次模拟)函数 y= (0<a<1)的图象的大致形状是( D ) |x|
x
-x

?b ?

? ?

a≥b? a<b?

? ?a

,则

xax

?a ? 解析:根据绝对值的意义函数 y=? x ? ?-a

x

? ?

x>0? x<0?

,根据 0<a<1 可知 D 选项正确.
3x-2

5.(改编)已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2, 2),则函数 y= α -4的定义 域为 (-∞,0] . 1 1 3x-2 α 解析:由 2=2 ,得 α = ,所以 y= ? ? -4. 2 2 1 3x-2 于是由( ) -4≥0,得 x≤0, 2 即函数的定义域为(-∞,0]. 2 6.函数 y= 1-ax -x-2(0<a<1)的定义域为 (-∞,-1]∪[2,+∞) .
1

α

解析:由 1-ax -x-2≥0,得 ax -x-2≤1=a , 2 又 0<a<1,所以 x -x-2 ≥0,即(x-2)(x+1)≥0, 所以 x≤-1 或 x≥2. 故函数的定义域为(-∞,-1]∪[2,+∞). 2 2 7.(2013·广州一模)已知幂函数 y=(m -5m+7)xm -6 在区间(0, +∞)上单调递增 , 则实数 m 的值为 3 . 2 2 解析:由 m -5m+7=1,即 m -5m+6=0 ,得 m=2 或 m=3. -2 当 m=2 时,y=x ,函数在区间(0,+∞)上单调递减,不满足条件; 3 当 m=3 时,y=x ,函数在区间(0,+∞) 上单调递增,满足条件. 2 2 8.已知幂函数 y=(k -2k-2)·xm -2m-3(m∈N+)的图象关于 y 轴对称,且在(0, +∞)上 是减函数. (1)求 m 和 k 的值; m 1 (2)求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的取值范围. 3 3 2 2 解析:(1)因为函数 y=(k -2k-2)xm -2m-3 为幂函数, 2 所以 k -2k-2=1,即(k-3)(k+1)=0, 所以 k=3 或 k=-1,又函数在(0,+∞)上递减, 2 ? ? ?m -2m-3<0 ?-1<m<3 所以? ,即? ,所以 m=1 或 2. ? ? ?m∈N+ ?m∈N+ 而函数图象关于 y 轴对称,即函数为偶函数, -4 所以 m=1,此时 y=x . 综上,得 k=-1 或 3, m=1. 1 1 (2)由(1),(a+1)- <(3-2a)- , 3 3 1 1 1 1 3a-2 2 3 即 < ,所以 < , <0,所以 a<-1 或 <a< . a+1 3-2a ? a+1? ? 2a-3? 3 2 3 3 a+1 3-2a 2 3 故满足条件的 a 的取值范围是(-∞,-1)∪( , ). 3 2 x 9.已知函数 f(x)=b·a ( 其中 a,b 为常量,且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,6), B(3,24). (1)求 f(x)的表达式; 1 x 1 x (2)若不等式( ) +( ) -m≥0 在 x∈(-∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围.

2

2

0

a

b

解析:(1)因为 f(x)的图象过 A(1,6),B(3,24), ? ?b·a=6 则? , 3 ? ?b·a =24 2 所以 a =4,又 a>0,所以 a=2,则 b=3. x 所以 f(x)=3·2 . (2)由(1 )知 a=2,b=3,则 x∈(-∞,1]时, 1 x 1 x ( ) +( ) -m≥0 恒成立, 2 3 1 x 1 x 即 m≤( ) +( ) 在 x∈(-∞,1]时恒成立. 2 3 1 x 1 x 又因为 y=( ) 与 y=( ) 均为减函数, 2 3 1 x 1 x 所以 y=( ) +( ) 也是减函数, 2 3

2

1 x 1 x 5 所以当 x=1 时,y=( ) +( ) 有最小值 ; 2 3 6 5 5 所以 m≤ ,即 m 的取值范围是(-∞, ]. 6 6

3


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